Standardabweichung berechnen < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Do 01.09.2011 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | Zwei elektrische Widerstände werden mehrmals gemessen und es ergeben sich dabei die Widerstandswerte [mm] $R_1=(150\pm0,8)$ [/mm] Ohm und [mm] $R_2=(250\pm1,0)$ [/mm] Ohm.
1.1 Berechnen Sie den Widerstandswert bei Parallelschaltung.
1.2 Berechnen Sie den zu 1.1 gehörigen mittleren (zufälligen) Fehler. |
1.1 ist kein Problem.
[mm] $R=\bruch{R_1*R_2}{R_1+R_2}=93,75$ [/mm] Ohm
1.2 kriege ich allerdings nicht hin.
Also wenn ich mich nicht irre muss ich einfach die Standardabweichung berechnen. Eine Formel dafür habe ich auch gefunden.
$s= [mm] \wurzel{ \bruch{1}{n-1}\summe_{i=1}^{n} (x_{i} - \overline{x})^{2}} [/mm] $
Nur irgendwie versteh ich nicht wie genau ich sie anwenden soll.
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Do 01.09.2011 | | Autor: | Hoopy86 |
Du hast bei beiden Widerständen ja einen maximalen Fehler in negativer Richtung (150-0,8Ohm bzw. 250-1 Ohm) und einen maximalen Fehler in positiver Richtung (150+0,8Ohm bzw. 250+1 Ohm). Mit diesen beiden Wertepaaren musst du deine Formel für die Parallelschaltung wieder ausrechnen, und kannst diese in die Formel der Standardabweichung einsetzen.
[mm] \overline{x} [/mm] ist der Mittelwert, das heißt der bereits berechnete Wert aus Aufgabenteil 1.1.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Do 01.09.2011 | | Autor: | bOernY |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Danke für den Tipp! Aber irgendwie passt das Ergebnis immernoch nicht ganz.
$R_+=94,9$ Ohm und $R_-=93,99$Ohm.
In die Formel eingesetzt:
$ s= \wurzel{ \bruch{1}{2-1}*(94,9-93,75)^2 + (93,99-93,75)^2 $
$ s= 1,175$
Das Ergebnis soll laut Lösung 0,34 betragen...
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Hallo bOernY,
> Danke für den Tipp! Aber irgendwie passt das Ergebnis
> immernoch nicht ganz.
> [mm]R_+=94,9[/mm] Ohm und [mm]R_-=93,99[/mm]Ohm.
Hier habe ich andere Werte.
>
> In die Formel eingesetzt:
> [mm]s= \wurzel{ \bruch{1}{2-1}*(94,9-93,75)^2 + (93,99-93,75)^2[/mm]
>
> [mm]s= 1,175[/mm]
>
> Das Ergebnis soll laut Lösung 0,34 betragen...
Es sind alle 4 Möglichkeiten zu berücksichtigen,
d.h. auch die Möglichkeiten daß
[mm]R_{1}=150+0.8 \ \operatorname{Ohm}, \ R_{2}=250-1 \ \operatorname{Ohm}[/mm]
und
[mm]R_{1}=150-0.8 \ \operatorname{Ohm}, \ R_{2}=250+1 \ \operatorname{Ohm}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Do 01.09.2011 | | Autor: | Hoopy86 |
Hab die Ergebnisse mal eingegeben und jetzt 0,39 raus.
Hatte aber auch erst 0,34, weil ich durch n (=4) statt durch n-1 geteilt hab ^^
könnte also so stimmen.
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> Die allgemeine Formel lautet:
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> [mm]\bruch{R_{\pm}}{R_m} \approx \bruch{1 \pm \bruch{\Delta R_1}{R_1} \pm \bruch{\Delta R_2}{R_2}}{1+\bruch{\pm \Delta R_1 \pm \Delta R_2}{R_1 + R_2}}[/mm]
>
> >
> > Das Ergebnis soll laut Lösung 0,34 betragen...
>
> Wie man damit auf eine 'Lösung 0,34' kommen soll, ist mir
> schleierhaft !
> Was soll überhaupt '0,34' sein ? Ein Verhältniswert oder
> was ?
Hallo Calli,
es handelt sich um die Standardabweichung von R .
Man kann also schreiben:
[mm] \sigma_R\approx0.34\,\Omega
[/mm]
Ihr (Hoopy, MathePower und du) habt die Aufgabe so
interpretiert, als ginge es bei den [mm] $\mbox{\Large{\pm}}$ [/mm] -Angaben um
maximale Abweichungen. So interpretiert, kann man
daraus durch Betrachtung einiger möglicher Fälle die
resultierenden maximalen Abweichungen für R
ermitteln. Dies wäre aber eine etwas andere Aufgabe
als die, die wohl gemeint war. Die bezieht sich nicht
auf maximale, sondern mittlere zu erwartende Abwei-
chungen im Sinne der Standardabweichung.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Do 01.09.2011 | | Autor: | Calli |
> Hallo Calli,
>
> es handelt sich um die Standardabweichung von R .
> Man kann also schreiben:
>
> [mm]\sigma_R\approx0.34\,\Omega[/mm]
>
> Ihr (Hoopy, MathePower und du) habt die Aufgabe so
> interpretiert, als ginge es bei den [mm]\mbox{\Large{\pm}}[/mm]
> -Angaben um
> maximale Abweichungen. So interpretiert, kann man
> daraus durch Betrachtung einiger möglicher Fälle die
> resultierenden maximalen Abweichungen für R
> ermitteln. Dies wäre aber eine etwas andere Aufgabe
> als die, die wohl gemeint war. Die bezieht sich nicht
> auf maximale, sondern mittlere zu erwartende Abwei-
> chungen im Sinne der Standardabweichung.
>
> LG Al-Chw.
Hi Al-Chwarizmi,
Ok und Danke für die Klarstellung ! ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Und wer lesen kann, ist klar im Vorteil:
![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]")
"Zwei elektrische Widerstände werden mehrmals gemessen und es ergeben sich dabei die Widerstandswerte $ [mm] R_1=(150\pm0,8) [/mm] $ Ohm und $ [mm] R_2=(250\pm1,0) [/mm] $ Ohm."
(also die Mittelwerte und Standardabweichungen)
Ciao Calli
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> "Zwei elektrische Widerstände werden mehrmals gemessen
> und es ergeben sich dabei die Widerstandswerte
> [mm]R_1=(150\pm0,8)[/mm] Ohm und [mm]R_2=(250\pm1,0)[/mm] Ohm."
> (also die Mittelwerte und Standardabweichungen)
Nun ja, was manche Leute mit derartigen $ [mm] \mbox{\Large{\pm}} [/mm] $ - Angaben
jeweils genau meinen, ist keineswegs immer klar ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Fr 02.09.2011 | | Autor: | Hoopy86 |
Ich entschuldige mich auch voreilig Al-Chwarizmis Beitrag als fehlerhaft gekennzeichnet zu haben.
Laut Aufgabenstellung ist eure Aufgabenauffassung vollkommen richtig, aber in der Praxis gibt es eben diese Maximalwerte, damit eben bei Aufstellen von Schaltplänen eine gewisse Toleranzbreite (die es immer gibt) bei diesen Bauteilen definiert eingehalten werden kann.
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> Zwei elektrische Widerstände werden mehrmals gemessen und
> es ergeben sich dabei die Widerstandswerte [mm]R_1=(150\pm0,8)[/mm]
> Ohm und [mm]R_2=(250\pm1,0)[/mm] Ohm.
> 1.1 Berechnen Sie den Widerstandswert bei
> Parallelschaltung.
> 1.2 Berechnen Sie den zu 1.1 gehörigen mittleren
> (zufälligen) Fehler.
Hallo bOernY,
ich denke, dass die Toleranzangaben [mm] \pm0.8 [/mm] und [mm] \pm1.0 [/mm] nicht
als Maximalfehler, sondern als Standardabweichungen für
[mm] R_1 [/mm] bzw. [mm] R_2 [/mm] aufzufassen sind.
Die Frage ist nun, wie man daraus die Standardabweichung
für das Ergebnis
$\ R\ =\ [mm] \frac{R_1*R_2}{R_1+R_2}$
[/mm]
was man auch so schreiben kann: $\ R\ =\ [mm] \frac{1}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}$
[/mm]
berechnen kann. Das kann man schrittweise tun. Natürlich
nimmt man dabei an, dass die Zufallsvariablen [mm] R_1 [/mm] und [mm] R_2
[/mm]
unabhängig sind. Nun berechnet man der Reihe nach Mittel-
werte, Varianzen und Standardabweichungen für die Zufalls-
variablen
$\ [mm] Q_1:=\ \frac{1}{R_1}$
[/mm]
$\ [mm] Q_2:=\ \frac{1}{R_2}$
[/mm]
$\ T:=\ [mm] Q_1+Q_2$
[/mm]
$\ R:=\ [mm] \frac{1}{T}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 14:10 Do 01.09.2011 | | Autor: | Hoopy86 |
Hier geht es um Widerstände, die auf Grund der Herstellung immer eine gewisse Toleranz haben, die auch außen an den Widerständen gekennzeichnet ist.
Leider hab ich als Quelle gerade nur Wikipedia gefunden.
"Je nach Toleranz können Widerstände mit Werten aus der E12- (10 %), E24- (5 %), E48- (2 %) oder E96-Reihe (1 %) hergestellt werden. Die Prozent-Zahlen geben Mindestgenauigkeiten für die jeweilige Reihe an."
Link:
http://de.wikipedia.org/wiki/Widerstand_(Bauelement)#Festwiderst.C3.A4nde
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> Hier geht es um Widerstände, die auf Grund der Herstellung
> immer eine gewisse Toleranz haben, die auch außen an den
> Widerständen gekennzeichnet ist.
>
> Leider hab ich als Quelle gerade nur Wikipedia gefunden.
>
> "Je nach Toleranz können Widerstände mit Werten aus der
> E12- (10 %), E24- (5 %), E48- (2 %) oder E96-Reihe (1 %)
> hergestellt werden. Die Prozent-Zahlen geben
> Mindestgenauigkeiten für die jeweilige Reihe an."
>
> Link:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Widerstand_(Bauelement)#Festwiderst.C3.A4nde
Hallo Hoopy86,
ich denke, dass diese Normangaben nicht auf die vorliegende
Aufgabe angewandt werden können. In dieser steht:
Zwei elektrische Widerstände werden mehrmals gemessen
und es ergeben sich dabei die Widerstandswerte $ [mm] R_1=(150\pm0,8) [/mm] $ Ohm
und $ [mm] R_2=(250\pm1,0) [/mm] $ Ohm.
Bei den angegebenen Widerstandswerte handelt es sich also
nicht um Angaben, die man auf den Widerständen abgelesen
hat. Vielleicht handelt es sich ja überhaupt nicht um solche
Bauteile, die man so kaufen kann.
Da ferner die Aufgabe unter dem Stichwort "Standardabweichung"
eingereicht wurde und von "mittlerem Fehler" die Rede ist, darf
man wohl davon ausgehen, dass auch die angegebenen Toleranzen
als solche aufzufassen sind.
LG Al-Chw.
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> > Zwei elektrische Widerstände werden mehrmals gemessen und
> > es ergeben sich dabei die Widerstandswerte [mm]R_1=(150\pm0,8)[/mm]
> > Ohm und [mm]R_2=(250\pm1,0)[/mm] Ohm.
> > 1.1 Berechnen Sie den Widerstandswert bei
> > Parallelschaltung.
> > 1.2 Berechnen Sie den zu 1.1 gehörigen mittleren
> > (zufälligen) Fehler.
>
>
> Hallo bOernY,
>
> ich denke, dass die Toleranzangaben [mm]\pm0.8[/mm] und [mm]\pm1.0[/mm]
> nicht
> als Maximalfehler, sondern als Standardabweichungen für
> [mm]R_1[/mm] bzw. [mm]R_2[/mm] aufzufassen sind.
> Die Frage ist nun, wie man daraus die Standardabweichung
> für das Ergebnis
>
> [mm]\ R\ =\ \frac{R_1*R_2}{R_1+R_2}[/mm]
>
> was man auch so schreiben kann: [mm]\ R\ =\ \frac{1}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}[/mm]
>
> berechnen kann. Das kann man schrittweise tun. Natürlich
> nimmt man dabei an, dass die Zufallsvariablen [mm]R_1[/mm] und [mm]R_2[/mm]
> unabhängig sind. Nun berechnet man der Reihe nach
> Mittel-
> werte, Varianzen und Standardabweichungen für die
> Zufalls-
> variablen
>
> [mm]\ Q_1:=\ \frac{1}{R_1}[/mm]
>
> [mm]\ Q_2:=\ \frac{1}{R_2}[/mm]
>
> [mm]\ T:=\ Q_1+Q_2[/mm]
>
> [mm]\ R:=\ \frac{1}{T}[/mm]
>
> LG Al-Chw.
Hallo zusammen,
Hoopy86 hatte meine Antwort als "fehlerhaft" gekennzeichnet -
aus einem Grund, der nicht wirklich Bezug zur Aufgabestellung
hat.
Nun habe ich aber leider festgestellt, dass meine Argumentation
wirklich einen erheblichen bis "fundamentalen" Fehler aufwies,
welcher mir zunächst - auch der vermeintlichen rechnerischen
Bestätigung wegen, die ich aus einer numerischen Simulation
glaubte entnehmen zu dürfen - nicht klar wurde.
Da das Ganze doch einigermaßen verzwickt ist, möchte ich
hier das Problem darstellen, in der Hoffnung, dass jemand
ein wenig weiterhelfen kann.
Zuerst zur Simulation: Ich habe (für jeweils 40000 Läufe) mit
Hilfe der "Zwölferregel" aus gleichverteilten Zufallszahlen
jeweils ein Paar [mm] (R_1,R_2) [/mm] erzeugt, so dass [mm] R_1 [/mm] und [mm] R_2 [/mm] ungefähr
nach [mm] N(150,0.8^2) [/mm] und [mm] N(250,1^2) [/mm] normalverteilt und unabhängig
waren. Dann habe ich die entstandenen R-Werte mit
[mm]\ R\ =\ \frac{R_1*R_2}{R_1+R_2}[/mm]
ausgewertet, Mittelwert und empirische Standardabweichung
berechnet. Ergebnisse: [mm] \mu_R\approx93.749 [/mm] und [mm] \sigma_x\approx0.343 [/mm] .
So weit, so gut.
Nun aber zu meiner Idee, die Standardabweichung von R auch auf
theoretischem Weg herzuleiten. Oben habe ich die Idee dazu
schon skizziert: Zuerst ausgehend von den normalverteilten
[mm] R_i [/mm] deren Kehrwerte [mm] Q_i:=\frac{1}{R_i} [/mm] bilden, dann diese addieren:
[mm]\ T:=\ Q_1+Q_2[/mm] , und schließlich davon wieder die Reziprok-
funktion bilden: $ \ R:=\ [mm] \frac{1}{T} [/mm] $ .
Ich dachte, dass dies eine relativ leicht zu bewältigende Übung
sein sollte ... aber oha ! .
Nähere Untersuchung zeigt, dass man zwar aus der Dichtefunktion
der Normalverteilung für [mm] R_i [/mm] leicht die Dichtefunktion für [mm] Q_i:=\frac{1}{R_i}
[/mm]
herleiten kann. Auch die Bestätigung, dass dies wirklich eine
Dichtefunktion mit [mm] $\integral_{-\infty}^{\infty}f_{Q_i}(x)\,dx\ [/mm] =\ 1$ ist , gelingt (mit Wolframs Hilfe)
problemlos. Zunächst ist dabei natürlich ein kleiner Schönheits-
fehler: die Normalverteilung für [mm] R_i [/mm] erlaubt auch negative Werte,
was physikalisch kaum Sinn ergibt. Angesichts [mm] |\sigma_{R_i}|<<|\mu_{R_i}| [/mm] scheint
dies noch keine Katastrophe zu sein. Die folgt aber gleich:
Die Verteilung, die sich für [mm] Q_i:=\frac{1}{R_i} [/mm] ergibt, hat weder
einen endlichen Mittelwert noch eine endliche Varianz !
Insbesondere nach dem so hübschen Ergebnis der numerischen
Simulation kann ich mich da nur hinter den Ohren kratzen und
fragen: Wie kann das sein ??
Leider verwandelt sich damit meine anfängliche Idee, die Standard-
abweichung von $ \ R\ =\ [mm] \frac{R_1\cdot{}R_2}{R_1+R_2} [/mm] $ analytisch zu berechnen, in eine
rätselhafte Wolke ...
Als nächstes werde ich nun einmal versuchen, ob es mit einer
anderen Annahme über die Verteilung von R (etwa Lognormal-
verteilung anstatt Normalverteilung) funktioniert.
Wenn sich jemand in der Materie auskennt, bin ich froh über
allfällige Tipps !
LG Al
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Fr 02.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Al,
durch die Kehrwertbildung bekommt man ja für den Bereich, der sehr nahe bei der Null liegt, Anteile in der Dichtefunktion, die über alle Grenzen wachsen. Alleine das kommt mir schon sehr dubios vor aus statistischer Sicht, auch wenn es mathematisch nicht ausschließbar ist. Ich muss gestehen, dass ich mir nicht darüber im Klaren bin, wie mit diesem Teil der neuen Dichtefunktion sauber umzugehen ist. Ich habe eben mal das Kapitel im Papoulis über die Funktionenbildung bei Zufallsvariablen durchgelesen, aber auch das brachte mir nicht eine richtige Erleuchtung, da bei den betrachteten Funktionen keine mit Polstellen auftreten. In allen beispielen ergibt sich eine Abbildung eines Wertes der Originalzufallsdichte auf einen zweiten, endlichen Wert.
Vielleicht gibt es ja noch Helfer, die hier weiterhelfen können. Für mich als Ingenieur ist dies ein pathologischer Fall.
Viele Grüße,
Infinit
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> Hallo Al,
> durch die Kehrwertbildung bekommt man ja für den Bereich,
> der sehr nahe bei der Null liegt, Anteile in der
> Dichtefunktion, die über alle Grenzen wachsen.
Es ist klar, dass darin das Problem liegen muss. Trotzdem
war ich überrascht, dass dies dann gerade dazu führt,
dass weder Erwartungswert noch Varianz für die Kehr-
wertfunktion existieren.
Es ist ja zwar bewährte Praxis, Binomial- und auch andere
Verteilungen durch Normalverteilungen zu ersetzen. Im
vorliegenden Beispiel etwa mit einem Widerstand von
[mm] 250\pm1\,\Omega [/mm] ahnt man doch nichts Schlimmes dabei,
dass die als Näherung verwendete Normalverteilung theo-
retisch (aber mit extrem winzigen Wahrscheinlichkeiten)
auch negative oder Widerstände nahe bei Null liefern
könnte. Für die allermeisten (praktischen) Zwecke ist
dies absolut vernachläßigbar.
> Alleine das
> kommt mir schon sehr dubios vor aus statistischer Sicht,
> auch wenn es mathematisch nicht ausschließbar ist. Ich
> muss gestehen, dass ich mir nicht darüber im Klaren bin,
> wie mit diesem Teil der neuen Dichtefunktion sauber
> umzugehen ist. Ich habe eben mal das Kapitel im Papoulis
> über die Funktionenbildung bei Zufallsvariablen
> durchgelesen, aber auch das brachte mir nicht eine richtige
> Erleuchtung, da bei den betrachteten Funktionen keine mit
> Polstellen auftreten. In allen beispielen ergibt sich eine
> Abbildung eines Wertes der Originalzufallsdichte auf einen
> zweiten, endlichen Wert.
> Vielleicht gibt es ja noch Helfer, die hier weiterhelfen
> können. Für mich als Ingenieur ist dies ein
> pathologischer Fall.
> Viele Grüße,
> Infinit
Mich lehrt das Beispiel, dass man bei solchen theoretischen
Untersuchungen eben doch mit Vorteil "saubere" Modelle
benützen sollte. Für einen elektrischen Widerstand, der
definitionsgemäß nur positive Werte annehmen kann, ist
deshalb eine Normalverteilung (wenigstens im vorliegenden
Fall)nicht eine gute Wahl.
Eine "abgeschnittene Normalverteilung" erscheint mir
(obwohl das anstehende Problem damit wohl gelöst
werden könnte) nicht schön. Aber die Lognormalverteilung,
welche nur positive Werte liefern kann, scheint ein möglicher
Kandidat zu sein. Für [mm] |\sigma_R|<
in der interessierenden Umgebung von [mm] R_0 [/mm] einen ebenso
gut definierten scharfen "Peak" wie die gewöhnliche Nor-
malverteilung.
Die Rechnungen dazu muss ich aber erst durchführen.
Ein Problem befürchte ich dann nur noch beim letzten
Schritt, nämlich von [mm] T=Q_1+Q_2 [/mm] zu [mm] R=\frac{1}{T} [/mm] ...
LG Al
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> > Hallo Al,
> > durch die Kehrwertbildung bekommt man ja für den Bereich,
> > der sehr nahe bei der Null liegt, Anteile in der
> > Dichtefunktion, die über alle Grenzen wachsen.
>
> Es ist klar, dass darin das Problem liegen muss. Trotzdem
> war ich überrascht, dass dies dann gerade dazu führt,
> dass weder Erwartungswert noch Varianz für die Kehr-
> wertfunktion existieren.
> Es ist ja zwar bewährte Praxis, Binomial- und auch andere
> Verteilungen durch Normalverteilungen zu ersetzen. Im
> vorliegenden Beispiel etwa mit einem Widerstand von
> [mm]250\pm1\,\Omega[/mm] ahnt man doch nichts Schlimmes dabei,
> dass die als Näherung verwendete Normalverteilung theo-
> retisch (aber mit extrem winzigen Wahrscheinlichkeiten)
> auch negative oder Widerstände nahe bei Null liefern
> könnte. Für die allermeisten (praktischen) Zwecke ist
> dies absolut vernachläßigbar.
>
>
> > Alleine das
> > kommt mir schon sehr dubios vor aus statistischer Sicht,
> > auch wenn es mathematisch nicht ausschließbar ist. Ich
> > muss gestehen, dass ich mir nicht darüber im Klaren bin,
> > wie mit diesem Teil der neuen Dichtefunktion sauber
> > umzugehen ist. Ich habe eben mal das Kapitel im Papoulis
> > über die Funktionenbildung bei Zufallsvariablen
> > durchgelesen, aber auch das brachte mir nicht eine richtige
> > Erleuchtung, da bei den betrachteten Funktionen keine mit
> > Polstellen auftreten. In allen beispielen ergibt sich eine
> > Abbildung eines Wertes der Originalzufallsdichte auf einen
> > zweiten, endlichen Wert.
> > Vielleicht gibt es ja noch Helfer, die hier weiterhelfen
> > können. Für mich als Ingenieur ist dies ein
> > pathologischer Fall.
> > Viele Grüße,
> > Infinit
>
> Mich lehrt das Beispiel, dass man bei solchen
> theoretischen
> Untersuchungen eben doch mit Vorteil "saubere" Modelle
> benützen sollte. Für einen elektrischen Widerstand, der
> definitionsgemäß nur positive Werte annehmen kann, ist
> deshalb eine Normalverteilung (wenigstens im vorliegenden
> Fall)nicht eine gute Wahl.
> Eine "abgeschnittene Normalverteilung" erscheint mir
> (obwohl das anstehende Problem damit wohl gelöst
> werden könnte) nicht schön. Aber die
> Lognormalverteilung,
> welche nur positive Werte liefern kann, scheint ein
> möglicher
> Kandidat zu sein. Für [mm]|\sigma_R|<
> Verteilung
> in der interessierenden Umgebung von [mm]R_0[/mm] einen ebenso
> gut definierten scharfen "Peak" wie die gewöhnliche Nor-
> malverteilung.
> Die Rechnungen dazu muss ich aber erst durchführen.
> Ein Problem befürchte ich dann nur noch beim letzten
> Schritt, nämlich von [mm]T=Q_1+Q_2[/mm] zu [mm]R=\frac{1}{T}[/mm] ...
>
> LG Al
Nachtrag:
Ich habe jetzt die Rechnungen unter der Annahme durch-
geführt, dass die Verteilungen von [mm] R_1 [/mm] und [mm] R_2 [/mm] durch
![[]](/images/popup.gif) Lognormalverteilungen mit den passenden Erwartungswerten
150 bzw. 250 und den Varianzen 0.64 bzw. 1 dargestellt
werden.
Das Nette daran ist, dass der Kehrwert einer lognormal
verteilten Zufallsvariable wieder lognormal verteilt ist.
Man muss dabei nur das Vorzeichen des Parameters [mm] \mu
[/mm]
umkehren.
Das vorherige Problem verschwindet dann auch erwartungs-
gemäß. Die Verteilungen von [mm] Q_1 [/mm] und [mm] Q_2 [/mm] haben klar definierte
Erwartungswerte und Varianzen.
(die Gleichungen [mm] E(Q_i)=\frac{1}{E(R_i)} [/mm] gelten dabei nicht exakt )
Aus den Parametern von [mm] Q_1 [/mm] und [mm] Q_2 [/mm] berechnet man leicht
Erwartungswert und Varianz der Summe [mm] T=Q_1+Q_2 [/mm] .
Allerdings ergibt sich jetzt ein anderes Problem:
Da eine Summe lognormalverteilter Zufallsvariablen
im Allgemeinen nicht auch wieder lognormalverteilt ist,
stehen wir für den letzten Schritt der geplanten Herleitung
wieder ein Stück weit im Regen. Da man die Verteilung von
T also nicht auf ganz einfache Weise exakt darstellen kann,
ist nun der Übergang von T zum reziproken Wert [mm] R(R_1,R_2):=\frac{1}{T}
[/mm]
auch nicht exakt durch einfache Formeln zu beschreiben.
Im vorliegenden Fall mit Verteilungen [mm] Q_1 [/mm] und [mm] Q_2 [/mm] und T,
die so wie jene von [mm] R_1 [/mm] und [mm] R_2 [/mm] durch schmale Peaks
(weit entfernt von der kritischen Stelle 0) charakterisiert sind,
dürfte dieses Problem aber praktisch irrelevant sein.
Wir nehmen also näherungsweise an, dass der Übergang
von T zum Kehrwert auch wieder in der einfachen Weise wie
bei einer exakt lognormalverteilten Verteilung berechnet
werden kann.
Durch diese Rechnungen kam ich auf folgende Ergebnisse:
$\ [mm] E(R)\approx 93.748\,\Omega$
[/mm]
[mm] $\sqrt{Var(R)}\approx 0.343\,\Omega$
[/mm]
(dass E(R) nicht exakt [mm] 93.75\,\Omega [/mm] beträgt, ist übrigens
absolut in Ordnung und hat nichts mit der Annahme der
Lognormalverteilung der Widerstände zu tun)
Numerisch stimmen die Ergebnisse für den mittleren Fehler,
die man nach dem "Fehlerfortpflanzungsgesetz" oder auf diesem
Weg durch die Betrachtung der Verteilungen erhält, jedenfalls
hervorragend überein: [mm] 0.34268\blue{3}\,\Omega [/mm] bzw. [mm] 0.34268\red{0}\,\Omega. [/mm]
Nebenbei: ich bin jetzt auch mit Calli einverstanden, dass in
der Aufgabe sehr wahrscheinlich der rechnerisch klar viel
einfachere Weg mittels Fehlerfortpflanzungsgesetz gemeint war.
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 So 04.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank für diese Beschreibungen. Die Sache mit der Kehrwertbildung habe ich gestern mittag mir auch noch überlegt, scheiterte dann aber an der Summenbildung. Deine Annahme, um hier weiterzukommen, ist sicherlich für die Praxis okay,für eine analytische Lösung würde man aber an dieser Stelle festhängen. Ich habe leider keine Programme mehr zur Verfügung, mit denen man solche Simulationen laufen lassen könnte und deswegen Dir ein herzliches Dankeschön für die numerische Aufbereitung.
Viele Grüße,
Infinit
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> Hallo Al-Chwarizmi,
> vielen Dank für diese Beschreibungen. Die Sache mit der
> Kehrwertbildung habe ich gestern mittag mir auch noch
> überlegt, scheiterte dann aber an der Summenbildung. Deine
> Annahme, um hier weiterzukommen, ist sicherlich für die
> Praxis okay,für eine analytische Lösung würde man aber
> an dieser Stelle festhängen. Ich habe leider keine
> Programme mehr zur Verfügung, mit denen man solche
> Simulationen laufen lassen könnte und deswegen Dir ein
> herzliches Dankeschön für die numerische Aufbereitung.
> Viele Grüße,
> Infinit
Hi Infinit,
ich mache ja solche Sachen nur, wenn sie mir Spass
machen und einigermaßen interessant scheinen.
Eine analytische exakte Lösung ist wohl kaum möglich.
Man könnte aber wohl Fehlerabschätzungen machen,
welche zeigen, wie weit man höchstens daneben liegt,
wenn man z.B. eine Lognormalverteilung mit gegebenem
Mittelwert E und Varianz V durch die Normalverteilung
mit denselben Werten E und V ersetzt. Für das vorliegende
Beispiel habe ich (numerisch) ermittelt, dass die Abwei-
chungen in den Werten der dabei relevanten Dichtefunk-
tionen höchstens etwa 3.5 Promille von deren Maximal-
wert ausmachen.
Praktisch sind derartige Feinheiten wohl fast immer
irrelevant. Sowohl die Normalverteilung als auch die
Lognormalverteilung sind ja theoretische Verteilungen,
die z.B. "reale" Verteilungen wie die von Widerständen,
Abfüllmengen, Blutdruckwerten, chemischen Konzentra-
tionen usw. ohnehin nur (oft relativ grob) modellieren.
Die Frage nach exakten analytischen Lösungen ist da
schon eher ein akademischer Luxus. Aber erst aus dem
Interesse an "schönen" mathematisch exakten Lösungen
für praktische Probleme sind schließlich solche sehr
nützlichen Konzepte wie etwa die Normalverteilung
erst entstanden.
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Sa 17.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Zwei elektrische Widerstände werden mehrmals gemessen und
> es ergeben sich dabei die Widerstandswerte [mm]R_1=(150\pm0,8)[/mm]
> Ohm und [mm]R_2=(250\pm1,0)[/mm] Ohm.
> 1.1 Berechnen Sie den Widerstandswert bei
> Parallelschaltung.
> 1.2 Berechnen Sie den zu 1.1 gehörigen mittleren
> (zufälligen) Fehler.
> 1.1 ist kein Problem.
> [mm]R=\bruch{R_1*R_2}{R_1+R_2}=93,75[/mm] Ohm
> 1.2 kriege ich allerdings nicht hin.
> Also wenn ich mich nicht irre muss ich einfach die
> Standardabweichung berechnen. Eine Formel dafür habe ich
> auch gefunden.
> [mm]s= \wurzel{ \bruch{1}{n-1}\summe_{i=1}^{n} (x_{i} - \overline{x})^{2}}[/mm]
>
> Nur irgendwie versteh ich nicht wie genau ich sie anwenden
> soll.
> Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!
Hallo,
ich habe inzwischen mittels einer Simulation festgestellt,
dass meine Interpretation der Aufgabenstellung richtig
war. Dabei habe ich für viele Tausende von Fällen mittels
Zufallszahlen jeweils Paare [mm] (R_1,R_2) [/mm] erzeugt und die
resultierenden R-Werte ausgewertet.
Dabei zeigte sich, dass deren Mittelwert sehr nahe beim
Wert [mm] 93.75\,\Omega [/mm] liegt (ganz exakt kann diese Übereinstimmung
allerdings theoretisch nicht zutreffen), und dass deren
Standardabweichung etwa [mm] 0.34\,\Omega [/mm] beträgt. Das entspricht dem
Resultat, das du angegeben hast.
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Do 01.09.2011 | | Autor: | Calli |
> Zwei elektrische Widerstände werden mehrmals gemessen und
> es ergeben sich dabei die Widerstandswerte [mm]R_1=(150\pm0,8)[/mm]
> Ohm und [mm]R_2=(250\pm1,0)[/mm] Ohm.
> 1.1 Berechnen Sie den Widerstandswert bei
> Parallelschaltung.
> 1.2 Berechnen Sie den zu 1.1 gehörigen mittleren
> (zufälligen) Fehler.
> 1.1 ist kein Problem.
> [mm]R=\bruch{R_1*R_2}{R_1+R_2}=93,75[/mm] Ohm
> 1.2 kriege ich allerdings nicht hin.
> Also wenn ich mich nicht irre muss ich einfach die
> Standardabweichung berechnen.
>...
> Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!
Hallo !
Es geht hier nicht um die Standardabweichung sondern um die Fehlerfortpflanzung gemäß:
[mm]\Delta R_m = \wurzel{\left ( \bruch{\partial R}{\partial R_1}\,\Delta R_1}\right)^2 + \left ( \bruch{\partial R}{\partial R_2}\,\Delta R_2}\right)^2}[/mm]
![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Ciao Calli
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> Hallo !
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> Es geht hier nicht um die Standardabweichung sondern um die
> Fehlerfortpflanzung gemäß:
>
> [mm]\Delta R_m = \wurzel{\left ( \bruch{\partial R}{\partial R_1}\,\Delta R_1}\right)^2 + \left ( \bruch{\partial R}{\partial R_2}\,\Delta R_2}\right)^2}[/mm]
>
>
> Ciao Calli
Hallo,
gib doch bitte noch an, was genau mit den Deltas gemeint ist
(absolute oder relative Fehler).
Das Ergebnis stimmt übrigens mit dem überein, was man durch
die Betrachtung der Standardabweichungen erhält.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Do 01.09.2011 | | Autor: | Calli |
Hallo !
Die [mm] \Delta R_i [/mm] sind die absoluten Fehler.
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> Es geht hier nicht um die Standardabweichung sondern um die
> Fehlerfortpflanzung gemäß:
>
> [mm]\Delta R_m = \wurzel{\left ( \bruch{\partial R}{\partial R_1}\,\Delta R_1}\right)^2 + \left ( \bruch{\partial R}{\partial R_2}\,\Delta R_2}\right)^2}[/mm]
Hallo Calli,
kleine Nebenfrage: woher weißt du dies plötzlich ?
(in der ursprünglichen Aufgabenstellung von bOernY,
die man ohnehin ein Stück weit erst zu interpretieren
versuchen musste, steht davon jedenfalls nichts; das
Stichwort "Standardabweichung" hat bOernY aber im
Titel und in der Fragestellung erwähnt ...)
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Fr 02.09.2011 | | Autor: | Calli |
> Hallo Calli,
>
> kleine Nebenfrage: woher weißt du dies plötzlich ?
Habe mich wieder an die Fehlerfortpflanzung nach Gauss erinnert.
> (in der ursprünglichen Aufgabenstellung von bOernY,
> die man ohnehin ein Stück weit erst zu interpretieren
> versuchen musste, steht davon jedenfalls nichts; das
> Stichwort "Standardabweichung" hat bOernY aber im
> Titel und in der Fragestellung erwähnt ...)
Hier hat der Fragesteller m.M.n. den falschen Gedanken gehabt. Die Aufgabe lautet:
"1.2 Berechnen Sie den zu 1.1 gehörigen mittleren (zufälligen) Fehler. "
Ciao Calli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mi 12.09.2012 | | Autor: | Varrader |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich freue mich sehr, dass ich genau diese Aufgabe hier in einer Diskussion gefunden habe.
Allerdings ist mir nicht wirklich klar, wie ich denn nun diese Formel benutzen soll:
$ \Delta R_m = \wurzel{\left ( \bruch{\partial R}{\partial R_1}\,\Delta R_1}\right)^2 + \left ( \bruch{\partial R}{\partial R_2}\,\Delta R_2}\right)^2} $
Ich würde jetzt bei diesen Zahlen folgendermaßen einsetzen:
$ \Delta R_m = \wurzel{\left ( \bruch{\ 93.75 \Omega}{\ 150 \Omega}\,\ 0.8 \Omega}\right)^2 + \left ( \bruch{\ 93.75 \Omega}{\ 250 \Omega}\,\ 1 \Omega}\right)^2} $ = 0.625\Omega
Leider soll da ja 0,34\Omega das Ergebnis sein...
Wäre dankbar, wenn mir jemand sagen könnte, wo und wie ich da einsetzen muss.
Grüße,
Stefan
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> Ich freue mich sehr, dass ich genau diese Aufgabe hier in
> einer Diskussion gefunden habe.
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> Allerdings ist mir nicht wirklich klar, wie ich denn nun
> diese Formel benutzen soll:
>
> [mm]\Delta R_m = \wurzel{\left ( \bruch{\partial R}{\partial R_1}\,\Delta R_1}\right)^2 + \left ( \bruch{\partial R}{\partial R_2}\,\Delta R_2}\right)^2}[/mm]
>
> Ich würde jetzt bei diesen Zahlen folgendermaßen
> einsetzen:
>
> [mm]\Delta R_m = \wurzel{\left ( \bruch{\ 93.75 \Omega}{\ 150 \Omega}\,\ 0.8 \Omega}\right)^2 + \left ( \bruch{\ 93.75 \Omega}{\ 250 \Omega}\,\ 1 \Omega}\right)^2}[/mm]
> = [mm]0.625\Omega[/mm]
>
> Leider soll da ja [mm]0,34\Omega[/mm] das Ergebnis sein...
>
> Wäre dankbar, wenn mir jemand sagen könnte, wo und wie
> ich da einsetzen muss.
Hallo Stefan,
um die Formel anzuwenden, musst du zunächst die partiellen
Ableitungen [mm] \bruch{\partial R}{\partial R_1} [/mm] und [mm] \bruch{\partial R}{\partial R_2} [/mm] formal berechnen.
Ich erhalte z.B.: [mm] $\bruch{\partial R}{\partial R_1}\ [/mm] =\ [mm] \left(\frac{R_2}{R_1+R_2}\right)^2$
[/mm]
Dann die konkreten Zahlenwerte für $\ [mm] R_1\,,\ R_2\,,\ \Delta{R_1}$ [/mm] und [mm] \Delta{R_2} [/mm] einsetzen.
LG, Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Mi 12.09.2012 | | Autor: | Varrader |
Viele Dank für Deine schnelle und hilfreiche Antwort.
Damit komme ich jetzt auf das passende Ergebnis.
Eine Frage bleibt jedoch. Wie kommst du auf diese Ableitung?
Hätte jetzt ehrlich gesagt einfach
$ [mm] R=\bruch{R_1\cdot{}R_2}{R_1+R_2}
[/mm]
nach [mm] R_1 [/mm] bzw. [mm] R_2 [/mm] abgeleitet, aber dann kommt da ja was anderes raus...
Viele Grüße,
Stefan
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> Viele Dank für Deine schnelle und hilfreiche Antwort.
>
> Damit komme ich jetzt auf das passende Ergebnis.
>
> Eine Frage bleibt jedoch. Wie kommst du auf diese
> Ableitung?
>
> Hätte jetzt ehrlich gesagt einfach
>
> $ [mm]R=\bruch{R_1\cdot{}R_2}{R_1+R_2}[/mm]
>
> nach [mm]R_1[/mm] bzw. [mm]R_2[/mm] abgeleitet, aber dann kommt da ja was
> anderes raus...
... dann zeige mal deine Rechnung (Ableiten) im Detail !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Mi 12.09.2012 | | Autor: | Varrader |
Mmh, ich glaube ich muss da nochmal ein wenig in meine alten Unterlagen schauen, dass ist alles schon ein wenig her.
Von Hand habe ich da nur falsche Ergebnisse rausbekommen, aber mein Taschenrechner bekommt das richtige Ergebnis raus.
Viele Dank nochmal!
Viele Grüße,
Stefan
EDIT:
Wurmt mich ja doch irgendwie. Sollte doch einfaches Ableiten eines Bruches darstellen:
[mm] \bruch{a*b}{a+b}
[/mm]
Jetzt mal praktischerweise mit a und b.
Die Ableitungsregel schaut ja wie folgt aus:
[mm] f'=\bruch{u'*v-v'*u}{v^2}
[/mm]
also:
u(a) = a*b
u'(a) = b
v(a) = a+b
v'(a)= 1
und somit wäre die Ableitung
[mm] \bruch{b*(a+b)-a*b}{(a+b)^2}
[/mm]
Der Nenner sieht ja schonmal ganz gut aus, der Rest eher weniger.
EDIT2:
Asche auf mein Haupt...
[mm] \bruch{b*(a+b)-a*b}{(a+b)^2}=\bruch{b*a+b^2-a*b}{(a+b)^2}=\bruch{b^2}{(a+b)^2}[/mm]
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> Ableiten eines Bruches:
>
> [mm]\bruch{a*b}{a+b}[/mm]
>
> Jetzt mal praktischerweise mit a und b.
>
> Die Ableitungsregel schaut ja wie folgt aus:
>
> [mm]f'=\bruch{u'*v-v'*u}{v^2}[/mm]
>
> also:
> u(a) = a*b
> u'(a) = b
> v(a) = a+b
> v'(a)= 1
>
> und somit wäre die Ableitung
>
> [mm]\bruch{b*(a+b)-a*b}{(a+b)^2}[/mm]
>
> Der Nenner sieht ja schonmal ganz gut aus, der Rest eher
> weniger.
Na, ganz easy:
$\ Z [mm] \ddot [/mm] a hler\ =\ b*a+b*b-a*b\ =\ a*b+b*b-a*b\ =\ b*b\ =\ [mm] b^2$
[/mm]
$\ Bruch\ =\ [mm] \frac{Z \ddot a hler}{Nenner}\ [/mm] =\ [mm] \frac{b^2}{(a+b)^2}\ [/mm] =\ [mm] \left(\bruch{b}{a+b}\right)^2$ [/mm]
LG
Al-Chw.
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]"){kind=small}
