Standardnormalverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Mo 04.06.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | X1 und X2 sind unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen mit den Parametern [mm] \mu_1 [/mm] = 150 und
[mm] \sigma_1 [/mm] = 12 sowie [mm] \mu_2 [/mm] = 120 und [mm] \sigma_2 [/mm] = 16.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt die Zufallsgröße Y = [mm] X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] Werte an, die im Intervall von 260 bis
300 liegen? |
Meine Lösung bisher:
$z := [mm] \frac{x-\mu}{\sigma}$
[/mm]
$P(260 [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] 300) = [mm] Phi\left( \frac{x-\mu_1}{\sigma_1} \right) [/mm] + [mm] \Phi\left( \frac{x-\mu_2}{\sigma_2} \right) [/mm] = ...$
Nun hab ich aber das Problem, dass ich in der Normierung z nicht weiß, was in x rein soll... Wo liest man das raus? Ist dieses $x = 300-160 = 40$?
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> X1 und X2 sind unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen
> mit den Parametern [mm]\mu_1[/mm] = 150 und
> [mm]\sigma_1[/mm] = 12 sowie [mm]\mu_2[/mm] = 120 und [mm]\sigma_2[/mm] = 16.
>
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt die Zufallsgröße Y =
> [mm]X_1[/mm] + [mm]X_2[/mm] Werte an, die im Intervall von 260 bis
> 300 liegen?
>
>
> Meine Lösung bisher:
>
> [mm]z := \frac{x-\mu}{\sigma}[/mm]
>
> [mm]P(260 \leq X \leq 300) = Phi\left( \frac{x-\mu_1}{\sigma_1} \right) + \Phi\left( \frac{x-\mu_2}{\sigma_2} \right) = ...[/mm]
>
> Nun hab ich aber das Problem, dass ich in der Normierung z
> nicht weiß, was in x rein soll... Wo liest man das raus?
> Ist dieses [mm]x = 300-160 = 40[/mm]?
Hallo,
du solltest zuerst für die Verteilung der Summe [mm] X:=X_1+X_2
[/mm]
(das wird auch wieder eine Normalverteilung sein) die Parameter
[mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] berechnen. Diese Werte brauchst du dann für
die eigentliche Rechnung am Beispiel.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mo 04.06.2012 | | Autor: | bandchef |
$X = [mm] X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] = [mm] \Phi\left( \frac{x-\mu_1}{\sigma_1} \right) [/mm] + [mm] \Phi\left( \frac{x-\mu_2}{\sigma_2} \right)$
[/mm]
Wie soll ich hier nun [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] berechnen? Die sind ja schon gegeben...
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> [mm]X = X_1 + X_2 = \Phi\left( \frac{x-\mu_1}{\sigma_1} \right) + \Phi\left( \frac{x-\mu_2}{\sigma_2} \right)[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Dies ist (als Gleichung so geschrieben) sinnlos !
> Wie soll ich hier nun [mm]\mu[/mm] und [mm]\sigma[/mm] berechnen? Die sind ja
> schon gegeben...
Gegeben sind [mm] \mu_1 [/mm] und [mm] \mu_2 [/mm] und [mm] \sigma_1 [/mm] und [mm] \sigma_2 [/mm] .
Du sollst [mm] \mu [/mm] durch [mm] \mu_1 [/mm] und [mm] \mu_2 [/mm] und [mm] \sigma [/mm] durch [mm] \sigma_1 [/mm] und [mm] \sigma_2 [/mm] ausdrücken.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 04.06.2012 | | Autor: | bandchef |
[mm] $\frac{x-(\mu_1 + \mu_2)}{\sigma_1 + \sigma_2}$
[/mm]
So?
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Hallo bandchef,
> [mm]\frac{x-(\mu_1 + \mu_2)}{\sigma_1 + \sigma_2}[/mm]
>
> So?
Nein...
...'tschuldigung, aber manchmal machst du es dir schon sehr einfach. Der Erwartungswert zweier normalerteilter Zufallsvariablen ist die Summe der einzelnen Erwartungswerte, soweit ist das richtig. Aber du kannst das nicht einfach auf die Standardabeichung übertragen, ohne es zu hinterfragen?
Und du musst doch über irgendwelche Unterlagen zu diesem Fachgebiet verfügen: schlage dort nach, was für die Varianz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen gilt und übertrgae das geeignet auf die Standardabweichung.
Gruß, Diophant
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Hallo bandchef,
> X1 und X2 sind unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen
> mit den Parametern [mm]\mu_1[/mm] = 150 und
> [mm]\sigma_1[/mm] = 12 sowie [mm]\mu_2[/mm] = 120 und [mm]\sigma_2[/mm] = 16.
>
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt die Zufallsgröße Y =
> [mm]X_1[/mm] + [mm]X_2[/mm] Werte an, die im Intervall von 260 bis
> 300 liegen?
Für [mm] X_1\sim\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2), X_2\sim\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2) [/mm] stochastisch unabhängig gilt
[mm] Y:=X_1+X_2\sim\mathcal{N}(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2).
[/mm]
In der Aufgabe soll [mm] P(260\le Y\le [/mm] 300) berechnet werden.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Do 07.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Danke für deine Hilfe!
Ich hab jetzt das hier stehen:
$P(260 [mm] \leq [/mm] Y [mm] \leq [/mm] 300) = [mm] P(Y\leq [/mm] 300) - P(Y [mm] \geq [/mm] 260) = [mm] \Phi(300) [/mm] - [mm] (1-\Phi(260)) [/mm] = [mm] \Phi\left( \frac{300-270}{400 \right)} [/mm] - [mm] \Phi\left( \frac{260-270}{400 \right)} [/mm] = 0,5299 - (1 - 0,51) = -0,3701$
Minus Prozent macht doch irgendwie keinen Sinn, oder?
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Hallo bandchef,
> Danke für deine Hilfe!
>
> Ich hab jetzt das hier stehen:
>
> [mm]P(260 \leq Y \leq 300) = P(Y\leq 300) - P(Y \geq 260) = \Phi(300) - (1-\Phi(260)) = \Phi\left( \frac{300-270}{400 \right)} - (1-\Phi\left( \frac{260-270}{400 \right)})[/mm]
>
Wahrscheinlich ist das so gemeint:
[mm]P(260 \leq Y \leq 300) = P(Y\leq 300) - P(Y \geq 260) = \blue{\Phi\left( \frac{300-270}{400 \right)} - \Phi\left( \frac{260-270}{400 \right)}}[/mm]
[mm] = \Phi\left( \frac{300-270}{400 \right)} - (1-\Phi\left( \red{-}\frac{260-270}{400 \right)})[/mm]
> Stimmt das soweit? Das [mm](1-\Phi(260))[/mm] nach dem zweiten "ist
> gleich" muss wohl sein, weil ich ja auf die "richtige
> Wahrscheinlichkeit" kommen will.
>
> Was sagt ihr?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Do 07.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich hab jetzt nochmal nachgeschlagen und wenn ich nach meinen Folien gehen darf sieht das so aus, denn ich soll ja die Wahrscheinlichkeit innerhalb des Intervalls berechnen:
$ P(260 \leq Y \leq 300) = P\left( \frac{300-270}{400} \leq \frac{X-\mu}{\sigma} \leq \frac{260-270}{400 \right)\right) = \Phi\left( \frac{300-270}{400} \right) - \Phi\left( \frac{260-270}{400} \right) = 0,5299 - (1 - 0,51) = -0,3701 $
Minusprozent macht keinen Sinn, oder?
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Hallo bandchef,
> Ich hab jetzt nochmal nachgeschlagen und wenn ich nach
> meinen Folien gehen darf sieht das so aus, denn ich soll ja
> die Wahrscheinlichkeit innerhalb des Intervalls berechnen:
>
> [mm]P(260 \leq Y \leq 300) = P\left( \frac{300-270}{400} \leq \frac{X-\mu}{\sigma} \leq \frac{260-270}{400 \right)\right) = \Phi\left( \frac{300-270}{400} \right) - \Phi\left( \frac{260-270}{400} \right) = 0,5299 - (1 - 0,51) = -0,3701[/mm]
>
> Minusprozent macht keinen Sinn, oder?
>
Das hast Du Dich vertan:
[mm]0,5299-(1-0,51)=0,5299-0,49 > 0[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:05 Fr 08.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Nunja. Was ich manchmal hab ist unvorstellbar... Ich komm dann nun auf 3,99%. Ich denke das sollte passen!
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Fr 08.06.2012 | | Autor: | luis52 |
> Nunja. Was ich manchmal hab ist unvorstellbar... Ich komm
> dann nun auf 3,99%. Ich denke das sollte passen!
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die Standardabweichung von [mm] X_1+X_2 [/mm] ist [mm] 20=\sqrt{400} [/mm] ...
*Ich* erhalte so das Ergebnis $0.6247_$.
vg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Fr 08.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich soll doch laut Aufgabe das hier berechnen:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt die Zufallsgröße Y = X1 + X2 Werte an, die im Intervall von 260 bis 300 liegen?
$Y = x_1 + x_2 \sim N(\mu_1+\mu_2; \sigma_1^2 + \sigma_2^2) = N(270, 400)$
$ P(260 \leq Y \leq 300) = P\left( \frac{300-270}{400} \leq \frac{X-\mu}{\sigma} \leq \frac{260-270}{400 \right)\right) = \Phi\left( \frac{300-270}{400} \right) - \Phi\left( \frac{260-270}{400} \right) = 0,5299 - (1 - 0,51) = 0,0399 \Rightarrow 3,99\% $
Von einer Standardabweichung steht doch da gar nichts, oder?
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> Ich soll doch laut Aufgabe das hier berechnen:
>
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt die Zufallsgröße Y =
> X1 + X2 Werte an, die im Intervall von 260 bis 300 liegen?
>
>
> [mm]Y = x_1 + x_2 \sim N(\mu_1+\mu_2; \sigma_1^2 + \sigma_2^2) = N(270, 400)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>$\ P(260 \leq Y \leq 300) = P\left( \frac{300-270}{400} \leq \frac{X-\mu}{\sigma} \leq \frac{260-270}{400 \right)\right) = \Phi\left( \frac{300-270}{400} \right) - \Phi\left( \frac{260-270}{400} \right)$ ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> $\ = 0,5299 - (1 - 0,51) = 0,0399 \Rightarrow 3,99$%
>
> Von einer Standardabweichung steht doch da gar nichts,
> oder?
Hallo bandchef,
die Standardabweichung \sigma der Verteilung von Y=X_1+X_2 wurde
ja schon am Anfang berechnet durch die Gleichung \sigma^2=\sigma_1^2 + \sigma_2^2=400
Es ist deshalb \sigma=20 .
Die obige Rechenzeile ist ziemlich verkorkst und könnte
korrekt etwa so aussehen:
$\ P(260 \leq Y \leq 300) = P\left( \frac{260-270}{20} \leq \underbrace{\frac{Y-\mu}{\sigma}}_z \leq \frac{300-270}{20 \right)\right) =\ P(-0.5\le z\le 1.5)$
$\ =\ \Phi\left( 1.5 \right) - \Phi\left(-0.5 \right)\ \approx\ 0.9332-0.3085\ =\ 0.6247$
LG Al-Chwarizmi
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