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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Stationäre Punkte
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Stationäre Punkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 Fr 02.01.2009
Autor: drunkenmunky

Aufgabe
Bestimmen Sie alle stationären Punkte der Funktion f mit [mm] z=f(x,y)=2x^4+y^4-2x^2-2y^2 [/mm]

[mm] fx=8x^3-4x [/mm]
[mm] fy=4y^3-4y [/mm]
[mm] fxx=24x^2-4 [/mm]
[mm] fyy=12y^2-4 [/mm]
fxy=0

fx=fy=0
fx=0 für [mm] x_{1}=0; x_{2}=\wurzel{\bruch{1}{2}}; x_{3}=-\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm]

fy=0 für [mm] x_{1}=0; x_{2}=1; x_{3}=-1 [/mm]

Habe ich somit 5 mögliche stationäre Punkte?
(0|0); [mm] (\wurzel{\bruch{1}{2}}|0); (-\wurzel{\bruch{1}{2}}|0);(0|1);(0|-1) [/mm]
        
Bezug
Stationäre Punkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:30 Fr 02.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo drunkenmunky,

> Bestimmen Sie alle stationären Punkte der Funktion f mit
> [mm]z=f(x,y)=2x^4+y^4-2x^2-2y^2[/mm]
>  [mm]fx=8x^3-4x[/mm] [ok]
>  [mm]fy=4y^3-4y[/mm] [ok]
>  [mm]fxx=24x^2-4[/mm] [ok]
>  [mm]fyy=12y^2-4[/mm] [ok]
>  fxy=0 [ok]
>  
> fx=fy=0
>  fx=0 für [mm]x_{1}=0; x_{2}=\wurzel{\bruch{1}{2}}; x_{3}=-\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] [ok]


> fy=0 für [mm] $\red{y}_{1}=0; \red{y}_{2}=1; \red{y}_{3}=-1$ [/mm] [ok]
>  
> Habe ich somit 5 mögliche stationäre Punkte?
>  (0|0); [mm](\wurzel{\bruch{1}{2}}|0); (-\wurzel{\bruch{1}{2}}|0);(0|1);(0|-1)[/mm]

Ich komme auf 9 stat. Punkte, du musst jeden x-Wert mit jedem y-Wert kombinieren, denn genau für diese Kombinationen ist [mm] $f_x=f_y=0$ [/mm]


LG

schachuzipus  

Bezug
                
Bezug
Stationäre Punkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:52 Fr 02.01.2009
Autor: drunkenmunky

ja klingt einleuchtend :-)

also habe ich bei (0|0) ein lokales Maximum

bei [mm] (\wurzel{\bruch{1}{2}}|1); (\wurzel{\bruch{1}{2}}|-1); (-\wurzel{\bruch{1}{2}}|1); (-\wurzel{\bruch{1}{2}}|-1); [/mm]  jeweils ein lokales Minimum

und der Rest sind alles Sattelpunkte.

Richtig?

Bezug
                        
Bezug
Stationäre Punkte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:09 Fr 02.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> ja klingt einleuchtend :-)
>  
> also habe ich bei (0|0) ein lokales Maximum
>  
> bei [mm](\wurzel{\bruch{1}{2}}|1); (\wurzel{\bruch{1}{2}}|-1); (-\wurzel{\bruch{1}{2}}|1); (-\wurzel{\bruch{1}{2}}|-1);[/mm]
>  jeweils ein lokales Minimum
>  
> und der Rest sind alles Sattelpunkte.
>  
> Richtig?

Schreibe mal die Hessematrizen zu den stat. Punkten auf und wie du dann argumentiert hast für Max./Min./Sattelpunkt.

Du willst uns doch nicht zumuten ;-), alles selber zu rechnen?

Also zeigt her Eure Füße, zeigt her Eure Schuh' ...

;-)

LG

schachuzipus
>  

Bezug
                                
Bezug
Stationäre Punkte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:17 Fr 02.01.2009
Autor: drunkenmunky

;-) also Hesse Matrix [mm] H_{f}(x,y)=\pmat{ 24x^2-4 & 0 \\ 0 & 12y^2-4 } [/mm]

wenn ich dann einsetzte z.B. für (0|0) kann ich ja direkt die Eigenwerte  [mm] \lambda_{1}=-4 [/mm] ; [mm] \lambda_{2}=-4 [/mm] ablesen. Beide neg. -> Max

Bei den restlichen das gleiche...

Beide pos -> Min
unterschiedlich -> Sattelp.
Bezug
                        
Bezug
Stationäre Punkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 Fr 02.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> ja klingt einleuchtend :-)
>  
> also habe ich bei (0|0) ein lokales Maximum
>  
> bei [mm](\wurzel{\bruch{1}{2}}|1); (\wurzel{\bruch{1}{2}}|-1); (-\wurzel{\bruch{1}{2}}|1); (-\wurzel{\bruch{1}{2}}|-1);[/mm]
>  jeweils ein lokales Minimum
>  
> und der Rest sind alles Sattelpunkte.

Jo, das sieht gut aus !

>  
> Richtig?

Jau

LG

schachuzipus  

Bezug
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