Stationäre Punkte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 So 20.12.2009 | | Autor: | Kirke85 |
| Aufgabe | Finden Sie die stationären Punkte von
f(x,y)= sin (x) + sin (y) + sin (x+y)
und klassifizieren Sie sie als Maximum, Minimum oder Sattelpunkt. |
Ich habe bereits die beiden partiellen Ableitungen gebildet, und sie Null gesetzt:
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x} [/mm] =cos(x) + cos(x+y) = 0
[mm] \bruch{\delta f}{\delta y} [/mm] =cos(y) + cos(x+y) = 0
Nur wie löse ich die Gleichungen nach x und y auf, sodass ich die stationären Punkte bestimmen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 So 20.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kirke!
Wende auf die jeweils letzten Terme die ![[]](/images/popup.gif) Additionstheoreme an.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 So 20.12.2009 | | Autor: | Kirke85 |
0 = cos(x) + cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
0 = cos(y) + cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
und nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mo 21.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> 0 = cos(x) + cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
> 0 = cos(y) + cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
> und nun?
Bilde doch mal die Differenz der beiden Gleichungen! Dann hast du [mm] $\cos [/mm] x [mm] =\cos [/mm] y$, und das impliziert [mm] $\sin [/mm] x = [mm] \pm \sin [/mm] y$.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Kirke85 |
Mein Problem ist, dass ich eine Zahl herausbekommen möchte.
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> Mein Problem ist, dass ich eine Zahl herausbekommen
> möchte.
Hallo Kirke,
was du brauchst ist nicht eine Zahl, sondern eine
(unendliche) Menge von Punkten bzw. Zahlenpaaren
im [mm] \IR^2. [/mm] Wegen der Periodizität genügt es dabei, sich
auf jene Lösungen zu beschränken, die sich in einem
Quadrat der Seitenlänge [mm] 2*\pi [/mm] befinden, zum Beispiel
in [mm] $0\le [/mm] x< [mm] 2*\pi$ [/mm] , [mm] $0\le [/mm] y< [mm] 2*\pi$ [/mm] .
Wir haben die beiden Gleichungen
(1) $\ cos(x) + cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)\ =\ 0$
(2) $\ cos(y) + cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)\ =\ 0$
Durch einen Blick in Wolfram Alpha habe ich festge-
stellt, dass die Lösungsmenge von (1) in der x-y-Ebene
ein Parallelogrammgitter ergibt. Dass diese Gleichung
z.B. für alle (x,y) mit y=(ungerade Zahl [mm] )*\pi [/mm] erfüllt
ist, kann man leicht erkennen. Nun wäre es schön,
wenn man eine Faktorisierung der Gleichung finden
könnte, die dies offenlegt und gleichzeitig den Weg
zu den übrigen Lösungen aufzeigt.
Gleichung (2) ist analog zu (1), wenn man nur die
Rollen von x und y vertauscht. Übrigens gibt es im
Bereich [mm] $0\le [/mm] x< [mm] 2*\pi$ [/mm] , [mm] $0\le [/mm] y< [mm] 2*\pi$ [/mm] genau drei
"stationäre Punkte" .
LG Al-Chw.
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