Stationäre Punkte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Sa 28.08.2010 | | Autor: | Vampiry |
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] f(x)=5y^{3}-5x^{3}-6xy+10.
[/mm]
Bestimmen Sie Art und Lage der stationären Punkte. |
Hallo!
Ich habe ein Problem bei der Berechnung von stationären Punkten, ich verstehe das nämlich nicht.
Bisher habe ich die partiellen Ableitungen gemacht und die Hesse-Matrix erstellt.
[mm] \bruch{\partial f_{x}}{\partial x}=-15x^{2}-6y
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^{2} f_{x^{2}}}{\partial x^{2}}=-30x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f_{y}}{\partial y}=15y^{2}-6x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^{2} f_{y^{2}}}{\partial y^{2}}=30y
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^{2} f_{x,y}}{\partial x \partial y}=\bruch{\partial^{2} f_{y,x}}{\partial y \partial x}=-6
[/mm]
[mm] H(f)=\pmat{ -30x & -6 \\ -6 & 30y }
[/mm]
Jetzt habe ich die 1. Ableitungen von x und y als Gleichungssytem geschrieben und komme auf folgendes:
[mm] 0=-15x^{2}-6y
[/mm]
[mm] 0=15y^{2}-6x
[/mm]
x=0; y=0 f(x,y)=10
Und wie gehts jetzt weiter um auf die stationären Punkte zu kommen?
Danke für eure Hilfe!
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Hallo,
> Gegeben sei [mm]f(x)=5y^{3}-5x^{3}-6xy+10.[/mm]
> Bestimmen Sie Art und Lage der stationären Punkte.
> Hallo!
> Ich habe ein Problem bei der Berechnung von stationären
> Punkten, ich verstehe das nämlich nicht.
> Bisher habe ich die partiellen Ableitungen gemacht und die
> Hesse-Matrix erstellt.
>
> [mm]\bruch{\partial f_{x}}{\partial x}=-15x^{2}-6y[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^{2} f_{x^{2}}}{\partial x^{2}}=-30x[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f_{y}}{\partial y}=15y^{2}-6x[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^{2} f_{y^{2}}}{\partial y^{2}}=30y[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^{2} f_{x,y}}{\partial x \partial y}=\bruch{\partial^{2} f_{y,x}}{\partial y \partial x}=-6[/mm]
>
> [mm]H(f)=\pmat{ -30x & -6 \\ -6 & 30y }[/mm]
>
> Jetzt habe ich die 1. Ableitungen von x und y als
> Gleichungssytem geschrieben und komme auf folgendes:
>
> [mm]0=-15x^{2}-6y[/mm]
> [mm]0=15y^{2}-6x[/mm]
>
> x=0; y=0 f(x,y)=10
ok, hier hast du schonmal einen Punkt gefunden, aber es gibt doch bestimmt noch mehr.
> Und wie gehts jetzt weiter um auf die stationären Punkte
> zu kommen?
Forme mal die erste gleichung um, z.b. nach x oder y und setze dies dann in die zweite gleichung ein und bedenke, wenn du z.b. [mm] x^2=\wurzel{4}, [/mm] dann kann x=2 oder x=-2 sein...
(Einen Punkt kannst du noch finden)
LG
pythagora
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Sa 28.08.2010 | | Autor: | Vampiry |
ok, also ich habe jetzt noch x=0,4;y=-0,4 und f(x,y)=10,32 rausbekommen, kann das stimmen?
Und wie kann ich jetzt prüfen ob es Sattelpunkt,Maximum oder Minimum ist?
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Hallo
> ok, also ich habe jetzt noch x=0,4;y=-0,4 und f(x,y)=10,32
> rausbekommen, kann das stimmen?
jap,stimmt
> Und wie kann ich jetzt prüfen ob es Sattelpunkt,Maximum
> oder Minimum ist?
jetzt geht's zur zweiten abletung, du musst schauen, ob diese positiv definit ist, oder negativ def, oder indefinit...
LG
pythagora
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Sa 28.08.2010 | | Autor: | Vampiry |
Also muss ich jetzt in die jeweilige 2. Ableitung den Punkt einsetzen?
Da habe ich jetzt für [mm] P_{1}(1/1) [/mm] einen Sattelpunkt und für [mm] P_{2}(0,4/-0,4) [/mm] ein Maximum raus.
Danke nochmal^^ In meinem Uniskript steht das total unverständlich und kompliziert drin, dass versteh ich immer nicht.
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Hallo,
> Also muss ich jetzt in die jeweilige 2. Ableitung den Punkt
> einsetzen?
ja, genau, einfach einsetzen^^
> In meinem Uniskript steht das total unverständlich und kompliziert drin, dass versteh ich immer nicht.
^^ kommt vor
LG
pythagora
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 So 29.08.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Vampiry,
zur SIcherheit ein Hinweis, der möglicherweise überflüsig ist:
> Also muss ich jetzt in die jeweilige 2. Ableitung den Punkt
> einsetzen?
Hier gibt es ja nicht "die" 2. Ableitung, sondern sozusagen vier Stück, die zur Hesse-Matrix zusammengefasst werden.
> Da habe ich jetzt für [mm]P_{1}(1/1)[/mm] einen Sattelpunkt und
> für [mm]P_{2}(0,4/-0,4)[/mm] ein Maximum raus.
Du hast hier also tatsächlich die Definitheit der Hesse-Matrix entschieden (und nicht --so, wie es sich anhört-- die Punkte in eine der 2. Ableitungen eingesetzt)?
Viele Grüße,
Marc
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