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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:46 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Eirene |
Ich brauche dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:
ganzrationale Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse. W(1/0) ist der Wendepunkt, T([mm] \wurzel{a} [/mm] /-1) ist ein Tiefpunkt.
Bestimme den Funktionsterm von f.
Ich weiß: ganzrationale Funk. 4. Grades: [mm] f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
[/mm]
da es aber symmetrisch zur yAchse ist fallen [mm] bx^3 [/mm] und dx weg, also habe ich f(x) = [mm] ax^4+cx^2+e
[/mm]
W ist auch ein Punkt des Graphen: also:
f(1)=0 also
a + c + e = 0
dann 2.Ableitung = [mm] 12ax^2+2c [/mm] so
f"(1)=0 also
12a+2c=0
T ist auch ein Punkt des Graphen also
[mm] $f(\wurzel(a))= [/mm] -1$ ,daraus folgt:
[mm] a^3+ac+e=-1 [/mm] ,
dann die erste Ableitung: [mm] $f'(\wurzel{a}) [/mm] =0$ daraus folgt:
[mm] $4a^2*\wurzel [/mm] a + [mm] 2c*\wurzel{a} [/mm] = 0$
So, jetzt haben wir 4 Gleichungen:
1. a + c + e = 0
2. 12a + 2c = 0
3. [mm] a^3 [/mm] + ac + e = -1
4. [mm] $4a^2*\wurzel [/mm] {a} + 2c * [mm] \wurzel{a} [/mm] = 0$
Und jetzt brauche ich die Werte a c und e ich kann das nähmlich irgendwie nicht
Bitte!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Emily |
Hallo Eirene,
Du mußt eine Variable umbenennen.
z. B. f(x) = b [mm] x^4 [/mm] + c [mm] x^2 [/mm] + d
a darf nicht im Ansatz und als x-Wert vor kommen.
Probier´s nochmal.
Liebe Grüße
Emily
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 So 30.05.2004 | | Autor: | Andi |
> Hallo Eirene,
>
> Du mußt eine Variable umbenennen.
>
>
> z. B. f(x) = b [mm] x^4 [/mm] + c [mm] x^2 [/mm] + d
>
> a darf nicht im Ansatz und als x-Wert vor kommen.
Hallo Emily,
warum darf a nicht im Ansatz und als x-Wert vor kommen?
Wenn beidesmal das selbe a gemeint ist, kann ich das doch so ansetzen?
Was soll denn das sonst für ein komisch a sein ?
naja .... ich hab mal wieder keine ahnung...
mfg Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 So 30.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Andi,
> > Du mußt eine Variable umbenennen.
> >
> >
> > z. B. f(x) = b [mm] x^4 [/mm] + c [mm] x^2 [/mm] + d
> >
> > a darf nicht im Ansatz und als x-Wert vor kommen.
>
> Hallo Emily,
>
> warum darf a nicht im Ansatz und als x-Wert vor kommen?
> Wenn beidesmal das selbe a gemeint ist, kann ich das doch
> so ansetzen?
>
> Was soll denn das sonst für ein komisch a sein ?
Das a war ja in der Aufgabenstellung vorgegeben, wenn auch nicht als konkreter Wert.
Deswegen sollte man --wenn man sich Variablennamen selbst ausdenkt-- nicht ausgerechnet dieses a verwenden:
f hat Grad 4 [mm] $\Rightarrow$ $f(x)=bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$
[/mm]
Oder eine Frage noch an Eirene:
Die Form [mm] $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ [/mm] ist nicht etwa in der Aufgabenstellung vorgegeben, oder?
Da steht doch nur: Vom Grad 4, und du hast dir dann diese Form ausgedacht, oder?
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Eirene
>
> ganzrationale Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur
> y-Achse. W(1/0) ist der Wendepunkt, T([mm] \wurzel{a}[/mm] /-1) ist
> ein Tiefpunkt.
>
> Bestimme den Funktionsterm von f.
>
Ich habe das Ganze mal etwas analysiert und bin zum Schluss gekommen: irgendetwas kann in der Aufgabenstellung nicht stimmen.
Ich glaube, es müsst heissen:
T([mm] \wurzel{3}[/mm] /-1) ist ein Tiefpunkt, und nicht
T([mm] \wurzel{a}[/mm] /-1) ist ein Tiefpunkt.
Willst du das bitte auch noch überprüfen?
Liebe Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Eirene |
Nein , ich hab die Aufgabe noch mal überprüft, da steht Wurzel aus a und nicht aus drei.
Ok, also ich habe dann f(x) = bx4 + cx3 + dx2 + ex + f dann habe ich folgende Gleichungen:
1. b + d + f = 0
2. 12b + 2d = 0
3. a^2b + ad + f= -1
4. 4b [mm] \wurzel{a}[/mm] *a + 2d [mm] \wurzel{a}[/mm] = 0
und ich kann damit trotzdem nicht rechnen
Hilfe!!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 So 30.05.2004 | | Autor: | Eirene |
> > Ok, also ich habe dann f(x) = bx4 + cx3 + dx2 + ex + f
> dann
> > habe ich folgende Gleichungen:
> >
> > 1. b + d + f = 0
> > 2. 12b + 2d = 0
> > 3. a^2b + ad + f= -1
> > 4. 4b [mm]\wurzel{a}[/mm] *a + 2d [mm]\wurzel{a}[/mm] = 0
>
Ich mache mal den folgenden Vorschlag:Betrachte vorläufig
> nur deine 1. zwei Gleichungen (die zweite kannst du noch
> durch 2 dividieren). Aus diesen zwei Gleichungen kannst du
> alle Unbekannten eliminieren, bis auf $b$. Dann stellst du
> die Funktionsgleichung auf (immer noch mit dem $b$ drin)
> und berechnest mal die Tiefpunkte.
ok, also wenn ich nur mit den ersten 2 Gleichungen rechne dann hab ich :
b + d + f = 0
12b + 2d = 0 / :2
-----------------------
b + d + f = 0
6b + d = 0
ich subtrachiere dann die 2. minus die 1. Gleichung und hab dann:
5b + f =0 hier hab ich aber immer noch 2 Unbekannte, damit kann man doch nicht rechnen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 So 30.05.2004 | | Autor: | Emily |
Bist Du sicher, dass alle Bedingungen richtig angegeben wurden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 So 30.05.2004 | | Autor: | Eirene |
Ja, ich bin mir sicher dass ich alles richtig angegeben hab.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 So 30.05.2004 | | Autor: | Emily |
Es gilt: 5b - f = 0 Daraus folgt: f = 5b
Außerdem: d = - 6b
Einsetzen in 4.: 4*Wurzel(a)*a*b - 12*Wurzel(a)*b = 0
Wurzel(a)*b*( 4a - 12) = 0
Für a, b ungleich 0 folgt:
a = 3
Einsetzen in 3.: 9b - 18b + 5b = -1
b = 1/4
d = -3/2
f = 5/4
f(x) = 1/4 [mm] x^3 [/mm] - 3/2 [mm] x^2 [/mm] + 5/4
(b ist sicher ungleich 0, den Fall a = 0 müsste man noch untersuchen.)
Gruß Emily
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 So 30.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Eirene,
dann will ich auch mal meinen Senf dazu geben 
$W(1|0)$ Wendepunkt
[mm] $T(\wurzel{a}|-1)$ [/mm] Tiefpunkt
Ich rechne deine Ergebnisse nach:
Ansatz:
[mm] $f(x)=bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$
[/mm]
$f$ achsensymmetrisch zur y-Achse [mm] $\Rightarrow [/mm] c=e=0\ [mm] \Rightarrow\ $f(x)=bx^4+dx^2+f$$
[/mm]
[mm] $f'(x)=4bx^3+2dx$
[/mm]
[mm] $f''(x)=12bx^2+2d$
[/mm]
1. [mm] $W\in G_f\ \gdw\ f(1)=0\gdw\ \blue{b+d+f=0}$
[/mm]
2. $W$ Wendepunkt [mm] $\Rightarrow\ f''(1)=0\gdw\ 12b+2d=0\gdw\ \blue{6b+d=0}$
[/mm]
3. [mm] $T\in G_f\ \gdw\ f(\wurzel{a})=-1\gdw\ \blue{ba^2+da+f=-1}$
[/mm]
4. $T$ Tiefpunkt [mm] $\Rightarrow\ f'(\wurzel{a})=0\gdw\ 4b(\wurzel{a})^3+2d\wurzel{a}=0\gdw\ \blue{2b(\wurzel{a})^3+d\wurzel{a}=0}$
[/mm]
> > > habe ich folgende Gleichungen:
> > >
> > > 1. b + d + f = 0
> > > 2. 12b + 2d = 0
> > > 3. a^2b + ad + f= -1
> > > 4. 4b [mm]\wurzel{a}[/mm] *a + 2d [mm]\wurzel{a}[/mm] = 0
Deine Gleichungen waren also alle richtig.
> >
> Ich mache mal den folgenden Vorschlag:Betrachte vorläufig
>
> > nur deine 1. zwei Gleichungen (die zweite kannst du noch
>
> > durch 2 dividieren). Aus diesen zwei Gleichungen kannst
> du
> > alle Unbekannten eliminieren, bis auf $b$. Dann stellst
> du
> > die Funktionsgleichung auf (immer noch mit dem $b$ drin)
>
> > und berechnest mal die Tiefpunkte.
>
>
> ok, also wenn ich nur mit den ersten 2 Gleichungen rechne
> dann hab ich :
> b + d + f = 0
> 12b + 2d = 0 / :2
> -----------------------
> b + d + f = 0
> 6b + d = 0
>
> ich subtrachiere dann die 2. minus die 1. Gleichung und hab
> dann:
>
> 5b + f =0 hier hab ich aber immer noch 2 Unbekannte,
> damit kann man doch nicht rechnen...
Das sehe ich auch nicht, dass dies kein Umweg ist.
Stattdessen mache ich eine Fallunterscheidung (weil ich im zweiten Fall gerne mit [mm] $\wurzel{a}$ [/mm] multiplizieren würde):
I. Fall: [mm] $\wurzel{a}=0\gdw\ [/mm] a=0$
Die vier Gleichungen lauten in diesem Fall:
1. [mm] $b+d+f=0\gdw\ [/mm] b+d=1$ (da f=-1, siehe 3.)
2. $6b+d=0$
3. $f=-1$
4. $0=0$
Subtrahieren der 1. und 2. Gleichung liefert:
[mm] $5b=-1\gdw\ \blue{b=-\bruch{1}{5}}$ $\Rightarrow\ \blue{d}=1+\bruch{1}{5}\blue{=\bruch{6}{5}}$
[/mm]
II. Fall: [mm] $\wurzel{a}>0$
[/mm]
1. $b+d+f=0$
2. $6b+d=0$
3. [mm] $ba^2+da+f=-1$
[/mm]
4. [mm] $2b(\wurzel{a})^3+d\wurzel{a}=0$
[/mm]
Ich multipliziere die 2. Gleichung mit [mm] $\wurzel{a}$ [/mm] und subtrahiere dieses dann von der 4. Gleichung:
4.-2. [mm] $2b(\wurzel{a})^3-6b\wurzel{a}=0$
[/mm]
Unbekümmerte Division durch [mm] $2\wurzel{a}>0$:
[/mm]
[mm] $\gdw\ b\wurzel{a}^2-3b=0$
[/mm]
[mm] $\gdw\ [/mm] b*(a-3)=0$
[mm] $\gdw\ [/mm] b=0$ oder $a-3=0$
Also mache ich wieder eine Fallunterscheidung:
Fall II a): $b=0$
1. $d+f=0$
2. $d=0$
3. $da+f=-1$
4. [mm] $d\wurzel{a}=0$
[/mm]
Das ergibt einen Widerspruch in der ersten Gleichung, also kann dieser Fall nicht auftreten.
Fall II b): $a=3$
1. $b+d+f=0$
2. $6b+d=0$
3. $9b+3d+f=-1$
4. [mm] $2b*3*\wurzel{3}+d*\wurzel{3}=0\gdw\ [/mm] 6b+d=0$
Nun subtrahiere ich die 1. Gleichung von der 3.:
3.-1.: [mm] $8b+2d=-1\gdw\ d=-\bruch{1}{2}-4b$
[/mm]
Dies eingesetzt in die 2. Gleichung ergibt: [mm] $6b-\bruch{1}{2}-4b=0\gdw\ b=\bruch{1}{4}$, $d=-\bruch{1}{2}-4*\bruch{1}{4}=-\bruch{3}{2}$
[/mm]
Aus der 1. Gleichung folgt dann [mm] $f=-\bruch{1}{4}+\bruch{3}{2}=\bruch{5}{4}$
[/mm]
Damit ergeben sich zwei Lösungen:
1. Lösung:
$a=0$, [mm] $b=-\bruch{1}{5}$, $d=\bruch{6}{5}$, [/mm] $f=-1$ also die Funktion:
[mm] $f(x)=-\bruch{1}{5}*x^4+\bruch{6}{5}*x^2-1$
[/mm]
Hier der ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot:
[Dateianhang nicht öffentlich]
2. Lösung:
$a=3$, [mm] $b=\bruch{1}{4}$, $d=-\bruch{3}{2}$, $f=\bruch{5}{4}$ [/mm] also die Funktion:
[mm] $f(x)=\bruch{1}{4}*x^4-\bruch{3}{2}*x^2+\bruch{5}{4}$
[/mm]
Hier der FunkyPlot:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 So 30.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Eirene
obschon Marc hilfreich eingegriffen hat, will ich doch noch zeigen, was ich meinte (ich habe halt auch mal die Sonne ein Wenig genossen, ich bitte, dies vielmals zu verzeihen  )
>
> 5b + f =0 hier hab ich aber immer noch 2 Unbekannte,
> damit kann man doch nicht rechnen...
Bei mir gibts aber $-5b+f=0$
Ja, hier dachte ich mir:
$f=5b$
womit sich die Form des Polynoms so darstellt:
[mm] $y=bx^4-6bx^2+5b$
[/mm]
Die erste Ableitung liefert dann:
[mm] $y'=4bx^3-12bx$
[/mm]
Das hat die drei Nullstellen $0$ und [mm] $\pm\wurzel{3}$, [/mm] wobei die $0$ nicht in Betracht fällt (eine gerade Funktion kann bei $x=0$ keinen Wendepunkt haben) und bei den Wurzeln wegen der Achsensymmetrie ja auch nur z.B. die positive Seite untersucht werden muss.
Hiermit kommst du wohl um Marcs zahlreichen Fallunterscheidungen, womit der Lösungsweg sich ein Bisserl abkürzt. (Ich habe aber dies auch erst entdeckt, nachdem ich es auf die andere Art gelöst hatte )
Somit ergibt diese Aufgabe nur eine Lösung, wenn $a=3$ vorgegeben wird.
Meine Lösung ist übrigens:
[mm] $y=\bruch{1}{4}x^4-\bruch{3}{2}x^2+\bruch{5}{4}$
[/mm]
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Mo 31.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Eirene
hoffentlich hast du mir nicht alles geglaubt. Ich habe da einiges durcheinander gebracht. Selbstverständlich muss $a=0$ auch noch untersucht werden! Kannst du das noch tun, bitte.
Ich muss mich vielmals entschuldigen: ich habe plötzlich Tiefpunkt und Wendepunkt durcheinander gebracht!
Es gibt also doch noch die 2. Lösung zu untersuchen, wenn $a=0$ ist.
Meine Lösung dazu (bitte unbedingt nachkontrollieren):
[mm] $f(x)=-\bruch{1}{5}x^{4}+\bruch{6}{5}x^{2}-1$
[/mm]
Da aber hier bei [mm] $x=\wurzel{3}$ [/mm] nciht ein Tiefpunkt, sondern ein Hochpunkt vorliegt, fällt diese Lösung wohl ausser betracht.
mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:50 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Eirene |
Hey,
also in der Schule haben wir nur den Fall a=3 betrachtet und haben auch keine Fallunterscheidung gemacht.
Danke euch allen für eure Mühe!!!
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