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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Sa 14.01.2006 | | Autor: | yvkiv |
| Aufgabe | Gesucht ist die Gleichung einer ganz-rationalen Funktion f 2. Grades, die folgende Bedingungen erfüllt:
a) Gf geht durch A(3/7) und B(1/-9) und hat in A die Steigung 2.
b) Gf schneidet die x- Achse in dem Punkt Px (6/0) und die y-achse im Punkt Py(0/6) und hat ein relativer Minimum an der Stelle xo = 2/5. |
Hallo,
Ich war die letzte Woche in der Schule krank.Ich habe die Lösung zu der Aufgabe, aber ich verstehe nicht wie man zu diesem Ansatz kommt:
f(x) = ax² + bx + c
I. 7 = 9a + 3b + c
II. -9 = a + b + c
III. 2 = 6a + b
___________________________
IV. I - II. 16 = 8a + 2b
III. 2 = 6a + b
__________________________
IV : 2 - III. 6 = -2a -> a = - 3
a in III. : 2 = - 18 + b -> b = 20
a + b in II. : - 9 = - 3 +20 +c -> c = - 26
=> f(x) = - 3 x ² +20 x -26
So diesen Lösungsvorgang von a) verstehe ich, aber ich weiß nicht, wie man die Angaben einsetzt. Und bei b) habe ich gar keinen Durchblick.
Danke!
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Hi, Yvkiv,
> Gesucht ist die Gleichung einer ganz-rationalen Funktion f
> 2. Grades, die folgende Bedingungen erfüllt:
>
> a) Gf geht durch A(3/7) und B(1/-9) und hat in A die
> Steigung 2.
> b) Gf schneidet die x- Achse in dem Punkt Px (6/0) und die
> y-achse im Punkt Py(0/6) und hat ein relativer Minimum an
> der Stelle xo = 2/5.
> Hallo,
> Ich war die letzte Woche in der Schule krank.Ich habe die
> Lösung zu der Aufgabe, aber ich verstehe nicht wie man zu
> diesem Ansatz kommt:
>
> f(x) = ax² + bx + c
Das ist der allgemeine Ansatz für eine Funktion 2.Grades [mm] (x^{2} [/mm] als höchste x-Potenz).
Eine Funktion 3. Grades wäre dann: f(x) = [mm] ax^{3}+bx^{2}+cx+d,
[/mm]
eine 4.Grades [mm] f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e [/mm] usw.
Und hier werden nun Deine vorgegebenen Punkte eingesetzt, die 1.Koordinate für das x, die 2.Koordinate für das f(x).
Beispiel: A(3;7):
Setze für f(x) die 7, für x die 3 ein:
7 = [mm] a*3^{2} [/mm] + b*3 + c
oder:
7 = 9a + 3b + c
Das gleiche geschieht dann mit dem Punkt B (x=1; statt f(x) setzt Du -9).
Ist eine STEIGUNG gegeben, muss man die x-Koordinate des Punktes in die 1. Ableitung einsetzen.
1.Ableitung: f'(x) = 2ax + b
Hier wird nun die x-Koordinate von A eingesetzt, also die 3:
f'(3) = 2a*3 + b = 6a + b.
Die Steigung, die hier herauskommen soll ist mit m=2 vorgegeben; daher: 6a + b = 2.
Naja und damit hast Du drei Gleichungen für die drei Unbekannten a, b und c:
> I. 7 = 9a + 3b + c
> II. -9 = a + b + c
> III. 2 = 6a + b
> ___________________________
>
> IV. I - II. 16 = 8a + 2b
> III. 2 = 6a + b
> __________________________
>
> IV : 2 - III. 6 = -2a -> a = - 3
>
>
> a in III. : 2 = - 18 + b -> b = 20
>
>
> a + b in II. : - 9 = - 3 +20 +c -> c = - 26
>
>
> => f(x) = - 3 x ² +20 x -26
>
>
> So diesen Lösungsvorgang von a) verstehe ich, aber ich
> weiß nicht, wie man die Angaben einsetzt. Und bei b) habe
> ich gar keinen Durchblick.
Aufgabe b) fängt ähnlich an wie Aufgabe a):
Zunächst hast Du zwei Punkte, deren x- und y-Koordinaten Du einsetzen musst.
Die 3. Gleichung ergibt sich diesmal aus der Tatsache, dass bei x= [mm] \bruch{2}{5} [/mm] ein relatives Minimum liegt. Und hier musst Du Dir merken:
Wenn der Graph einer Funktion ein relatives Extremum (Minimum oder Maximum - das ist egal!) aufweist, dann ist dort die STEIGUNG gleich 0,
also: [mm] f'(\bruch{2}{5}) [/mm] = 0.
Viel Erfolg beim Rechnen!
mfG!
Zwerglein
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