Steckbriefaufg. bei Integralen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Di 05.02.2008 | | Autor: | M4nuel |
| Aufgabe | Der Graph der Funktion fmit f(x) [mm] x^4+ax³+bx²+cx+d [/mm] hat den Punkt P(0|1) als Sattelpunkt.
Der Flächeninhalt der Fläche, die die Tangente durch diesen Punkt und der Graph von f einschließen beträgt 5 000.
Wie heißt die Funktion? |
Hallo Zusammen,
ich schreibe morgen eine Mathegrundkursklausur und unser Lehrer hat uns heute noch kurz was über Steckbriefaufgaben zum Thema Integralrechnung reingereicht, was wir bis dato aufem' Kasten haben sollen :-|
Trotz langem Überlegen mit zwei Stufenkollegen über diese Aufgabe komme ich nicht weiter. Mein Lösungsansatz ist dabei folgender:
Ableitungen:
f'(x)=4x³+3ax²+2bx+c
f''(x)=12x²+6ax+2b
---------------------
Wegen dem Sattelpunkt ergeben sich folgende Hinweise:
f(0)=1 --> d=1
f'(0)=0 --> c=0
f''(0)=0 --> b=0
Dazu kommt:
[mm] \integral_{-a}^{0} f(x)^x\, [/mm] dx = 5 000
---------------------
Daraus ergibt sich vorläufige Funktion:
[mm] f(x)=x^4+ax³+1 [/mm] und es wird das Integral [mm] \left[\bruch{1}{5}x^5+\bruch{1}{4}x^4]\right]_{-a}^{0} [/mm] berechnet (Die+1 fällt weg, weil f(x) mit der wagerechten Tangente y=1 verechnet wird).
---------------------
---------------------
Soweit komme ich, aber mit dem Resultat komme ich beim besten Willen nicht auf das gewünschte Ergebnis a=-10 (Ergebnis kommt vom Lehrer)
Mache ich etwas in meinem Ansatz falsch und was kann ich tun um auf das Ergebnis zu kommen?
Würde mich über tatkräftige Hilfe innerhalb der nächsten Stunden sehr freuen.
Manuel
P.S.:Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Di 05.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Manuel!
Bei Deiner Stammfunktion geht Dir ein $a_$ verloren. Es muss heißen:
[mm] $$\left[ \ \bruch{1}{5}*x^5+\bruch{1}{4}*\red{a}*x^4 \ \right]_{-a}^{0} [/mm] \ = \ ... \ = \ 5000$$
Kommst Du damit zum Ziel?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Di 05.02.2008 | | Autor: | M4nuel |
Oh, da ist mir ein Tippfehler unterlaufen, sry.
Ich habe das schon so versucht auszurechnen mit $ [mm] \left[ \ \bruch{1}{5}\cdot{}x^5+\bruch{1}{4}\cdot{}{a}\cdot{}x^4 \ \right]_{-a}^{0} [/mm] \ = \ 5000 $, nur stellt sich mir folgendes Problem:
Wenn ich für [mm] $\bruch{1}{5}\cdot{}x^5+\bruch{1}{4}\cdot{}{a}\cdot{}x^4 [/mm] = 5000$ -a einsetze,bekomme ich [mm] $-\bruch{4}{20}\cdot{}a^5-\bruch{5}{20}\cdot{}{a}^5 [/mm] = 5000$ 'raus.
Und das nach a aufgelöst ergibt sich alles andere als -10 (irgendetwas mit -1,69 mal 10^20 O.o)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Di 05.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Oh, da ist mir ein Tippfehler unterlaufen, sry.
> Ich habe das schon so versucht auszurechnen mit [mm]\left[ \ \bruch{1}{5}\cdot{}x^5+\bruch{1}{4}\cdot{}{a}\cdot{}x^4 \ \right]_{-a}^{0} \ = \ 5000 [/mm],
> nur stellt sich mir folgendes Problem:
>
> Wenn ich für
> [mm]\bruch{1}{5}\cdot{}x^5+\bruch{1}{4}\cdot{}{a}\cdot{}x^4 = 5000[/mm]
> -a einsetze,bekomme ich
> [mm]-\bruch{4}{20}\cdot{}a^5-\bruch{5}{20}\cdot{}{a}^5 = 5000[/mm]
> 'raus.
Da liegt der [mm] Fehler!(-a)^4=a^4 [/mm] also
[mm]-\bruch{4}{20}\cdot{}a^5+\bruch{5}{20}\cdot{}{a}^5 = 5000[/mm]
da kommt zwar nicht -10 aber wenigstens 10 raus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Di 05.02.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, die -10 kommt von der Schnittstelle, du hast ja als Integrationsgrenzen -a und 0 durch Gleichsetzen [mm] x^{4}+ax^{3}+1=1 [/mm] also [mm] x_1=-a [/mm] und [mm] x_2=0 [/mm] berechnet, somit schneiden sich Funktion und waagerechte Tangente an der Stelle x=-10, die Funktion lautet aber [mm] f(x)=x^{4}+10x^{3}+1
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Di 05.02.2008 | | Autor: | M4nuel |
okey, das hört sich doch sehr gut an. hätte ich eigentlich auch selber merken müssen :-S naja, danke für eure schnellen und helfenden antworten! ich lerne das forum hier mehr und mehr zu schätzen ;)
|
|
|
|
