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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Di 30.12.2003 | | Autor: | nonni |
Ein Polynom n.Grades hat im Nullpunkt einen Wendepkt. mit waagerechter Tangente, schneidet diese in P(4/0) und schließt mit ihr eine Fläche vom Inhalt 12,8 ein.Wie lautet die Funktionsgleichung?
Die ersten Bedingungen kann ich aufstellen:f(0)=0 wegen NS und PKT.
f ´(0)=0 wegen waagerechter Tangente Extrempkt.
f ``(0)=0 wegen Wendepkt.
f(4)=0 wegen NS
aber was mache ich mit der gegebenen Fläche muß ich F(x) bilden und wie muß ich die Werte einsetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Di 30.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo nonni,
> Die ersten Bedingungen kann ich aufstellen:f(0)=0 wegen NS #
> und PKT.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> f ´(0)=0 wegen waagerechter Tangente Extrempkt.
Die Bedingung stimmt, allerdings liegt hier kein Extrempunkt vor. Das Vorliegen einer waagerechten Tangente ist nicht gleichbedeutend mit einer Extrempunkt, wie du dir sehr leicht am Graphen von f(x)=x³ (an der Stelle 0) veranschaulichen kannst. Stattdessen haben wir hier eine Wendestelle mit waagerechter Tangente, auch Sattelstelle genannt.
> f ``(0)=0 wegen Wendepkt.
> f(4)=0 wegen NS
> aber was mache ich mit der gegebenen Fläche muß ich F(x)
> bilden und wie muß ich die Werte einsetzen?
Ja, genau, so ähnlich.
Zunächst einmal mußt du ermitteln, zwischen welchen Stellen (über welchen Intervallen) das besagte Flächenstück gebildet wird. Das kann hier nur das Intervall [0; 4] sein, da wir außerhalb dieses Intervalls keine Informationen über die Funktion vorliegen haben.
Also bildest du die Stammfunktion F(x); der Term
F(4)-F(0)
stellt dann den orientierten Flächeninhalt dar. "Orientiert" deshalb, weil wir noch gar nicht wissen, ob der Flächeninhalt ober- oder unterhalb der x-Achse gebildet werden soll.
Liegt die Fläche oberhalb der x-Achse, so können wir die Gleichung
F(4)-F(0) = 12,8
aufstellen; liegt er unterhalb
F(4)-F(0) = -12,8
Ich verstehe die Aufgabe so, dass hier eine Schar von Polynomen angegeben werden soll, von denen jedes einzelnen die obigen Eigenschaften erfüllen soll.
Versuch's doch mal und poste uns (ins Forum  ) deine Versuche oder weitere Fragen.
Viel Erfolg,
Marc
P.S.: Was ist mit der anderen Aufgabenstellung, die du mir per eMail geschrieben hast? Soll ich sie ins Forum stellen, in den entsprechenden Diskussionsstrang?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Di 30.12.2003 | | Autor: | nonni |
Erstmal danke!
Die Mail hab ich schon ins Forum gestellt unter uni-analysis:analytische geometrie der ebene!
Die Lösung ist [mm] -0,25X^4+x^3 [/mm]
War richtig was Du gesagt hast!
Also wenn man ein Wendepkt mit waagerechter Tangente hat ist das ein Sattelpkt und die Bedingung ist f´(x)=0
richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:53 Mi 31.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo nonni,
ich meinte eigentlich diesen Teil deiner eMail:
"Eure Seite ist echt super werde sie weiter empfehlen!
Aber wieso steht so etwas denn nicht in einer Formelsammlung (Papula)?
Wenn man das weiß ist die Bedingung ja sehr leicht aufzustellen. Die Aufgabe lautete:
Eine Parabel n.Ordnung ist zentralsymetrisch zum Koordinatenursprung.
Sie schneidet die x-Achse bei x=2 und hat für x=-1 einen Wendepkt.
Die Tangente im Ursprung steht senkrecht auf der Geraden mit der Gleichung y=0,5x+2.
Bestimmen sie die Funktionsgleichung. Wegen zentralsymetrisch nur ungerade Exponenten!
Also [mm] ax^5+bx^3+cx^1=f(x)
[/mm]
Deshalb fällt auch der P(0/0) weg weil wenn man ihn einsetzen würde, würde man 0=0 bekommen.
Die anderen Bedingungen sind f"(-1)=0 wegen Wendepkt,
f `(0)=-2 wegen der Tangente wie du mir geschrieben hast,
f(2)=0 wegen Nullstelle!Die obere f(x) noch 2 mal ableiten und dann das LGS aufstellen.
Die Lösung ist [mm] y=3/4x^5-5/2x^3-2x"
[/mm]
Ich werde mich morgen Mittag noch mal mit dieser Aufgabe beschäftigen und dir eine Antwort geben.
Viele Grüße,
Marc.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Mi 31.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo nonni,
> Eine Parabel n.Ordnung ist zentralsymetrisch zum #
> Koordinatenursprung.
> Sie schneidet die x-Achse bei x=2 und hat für x=-1 einen #
> Wendepkt.
> Die Tangente im Ursprung steht senkrecht auf der Geraden #
> mit der Gleichung y=0,5x+2.
> Bestimmen sie die Funktionsgleichung. Wegen #
> zentralsymetrisch nur ungerade Exponenten!
> Also [mm] ax^5+bx^3+cx^1=f(x)
[/mm]
> Deshalb fällt auch der P(0/0) weg weil wenn man ihn #
> einsetzen würde, würde man 0=0 bekommen.
Ja, so könnte man das sagen. Jedenfalls ist die Information, dass die Parabel durch (0|0) verläuft, redundant, da sie bereits in der Information "punktsymmetrisch zum Ursprung" (zentralsymmetrisch ist ein lustiger neuer Begriff für mich) steckt.
> Die anderen Bedingungen sind f"(-1)=0 wegen Wendepkt,
> f `(0)=-2 wegen der Tangente wie du mir geschrieben #
> hast,
> f(2)=0 wegen Nullstelle!
> Die obere f(x) noch 2 mal ableiten #
> und dann das LGS aufstellen.
, ich probiere es mal selbst:
Zunächst einmal versuche ich, eine Parabel vom Grad 3 zu finden (da Grad 1 eine Gerade wäre, die offenbar keinen Wendepunkt hat). Warum du sofort mit Grad 5 beginnst, sehe ich jetzt noch nicht.
[mm] f(x)=bx^3+cx [/mm]
[mm] f'(x) = 3bx^2+c [/mm]
[mm] f''(x) = 6bx [/mm]
Einsetzen der Werte = Aufstellen der Gleichungen:
[mm]f''(-1)=0[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm] 6b(-1)=0 [/mm]
Okay, jetzt sehe ich es auch, dass die Parabel nicht vom Grad 3 sein kann (weil hier ja b=0 folgt).
Also probiere ich es mit Grad 5:
[mm] f(x)=ax^5+bx^3+cx [/mm]
[mm] f'(x) = 5ax^4+3bx^2+c [/mm]
[mm] f''(x) = 20ax^3 + 6bx [/mm]
Einsetzen der Werte = Aufstellen der Gleichungen:
[mm]f''(-1)=0[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm] 20a*(-1)^3 + 6b*(-1)=0 [/mm]
[mm]f'(0)=-2[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm] c=-2 [/mm]
[mm]f(2)=0[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm] a*2^5+b*2^3+2c=0 [/mm]
Es ergibt sich unmittelbar folgendes LGS:
[mm]-20a-6b=0[/mm]
[mm]32a+8b=4[/mm]
vereinfacht:
[mm]-10a-3b=0[/mm]
[mm]8a+2b=1[/mm]
Aus der ersten Gleichung folgt nun [mm]b=-\frac{10}{3}a[/mm], eingesetzt in zweite Gleichung:
[mm]8a+2*\left(-\frac{10}{3}*a\right)=1[/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]\frac{24}{3}a-\frac{20}{3}*a=1[/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]\frac{4}{3}a=1[/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]a=\frac{3}{4}[/mm]
[mm]a=\frac{3}{4}[/mm] in [mm]b=-\frac{10}{3}a[/mm] eingesetzt:
[mm]b=-\frac{10}{3}*\frac{3}{4}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]b=-\frac{10}{4}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]b=-\frac{5}{2}[/mm]
> Die Lösung ist [mm] y=3/4x^5-5/2x^3-2x
[/mm]
, das habe ich auch raus.
Alles Gute und guten Rutsch,
Marc.
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