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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Sa 13.02.2010 | | Autor: | Carina84 |
| Aufgabe | Aufgabe 2 (4+4+4)
Funktion: [mm] f:\IR^2\to\IR f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_2^2-x_1*x_2 [/mm] Punkt: [mm] x_0=\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
a) Wie groß ist die Steigung der Funktion im Punkt [mm] x_0 [/mm] in Richtung der beiden Koordinatenachsen?
b) Wie groß ist die maximale Steigung der Funktion im Punkt [mm] x_0?
[/mm]
c) Bestimmen Sie die Tangente an die Höhenlinie im Punkt [mm] x_0. [/mm] |
Hallo,
ich habe so meine Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe.
a) und b)
Ich verstehe die Fragen nicht so wirklich. Die Steigung im Punkt [mm] x_0 [/mm] ist doch immer die gleiche?
Ich habe die funktion [mm] f(x_1,x_2) [/mm] abgeleitet und habe: [mm] 2x_1+4x_2-1 [/mm] heraus bekommen.
Da habe ich dann für [mm] x_1 [/mm] die 1 eingesetzt und für [mm] x_2 [/mm] die 2 eingesetzt.
Als Ergebnis bekomme ich 9 raus.
Stimmt das? Und wo ist der Unterschied zwischen a) und b), bzw. was bedeutet "in Richtung der beiden Koordinatenachsen"?
c) Da habe ich die Tangente nun mit der Punkt-Richtungs-Form beschrieben.
Die Punkt-Richtungs-Form ist bei uns so definiert:
[mm] r=r_1+t*u
[/mm]
[mm] r_1 [/mm] müsste ja mein Punkt [mm] x_0 [/mm] sein.
und u müsste [mm] \vektor{9 \\ 1} [/mm] sein (was meine Steigung in diesem Punkt ist)
Also wäre meine Lösung: [mm] r=\vektor{1 \\ 2}+t*\vektor{9 \\ 1}
[/mm]
Kann das stimmen?
Würde mich über Hilfe freuen!
Grüße
Carina
P.S.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Sa 13.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Aufgabe 2 (4+4+4)
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> Funktion: [mm]f:\IR^2\to\IR f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_2^2-x_1*x_2[/mm]
> Punkt: [mm]x_0=\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
> a) Wie groß ist die Steigung der Funktion im Punkt [mm]x_0[/mm] in
> Richtung der beiden Koordinatenachsen?
>
> b) Wie groß ist die maximale Steigung der Funktion im
> Punkt [mm]x_0?[/mm]
>
> c) Bestimmen Sie die Tangente an die Höhenlinie im Punkt
> [mm]x_0.[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe so meine Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe.
>
> a) und b)
> Ich verstehe die Fragen nicht so wirklich. Die Steigung im
> Punkt [mm]x_0[/mm] ist doch immer die gleiche?
Nein,
stell dir vor, du stehst an einem Hang.
Nach Süden fällt de Hang steil ab, aber in westlicher Richtung läufst du einfach nur in gleicher Höhe den Hang entlang.
> Ich habe die funktion [mm]f(x_1,x_2)[/mm] abgeleitet und habe:
> [mm]2x_1+4x_2-1[/mm] heraus bekommen.
Wonach? Nach [mm] x_1? [/mm] Nach [mm] x_2?
[/mm]
Gruß Abakus
> Da habe ich dann für [mm]x_1[/mm] die 1 eingesetzt und für [mm]x_2[/mm]
> die 2 eingesetzt.
> Als Ergebnis bekomme ich 9 raus.
>
> Stimmt das? Und wo ist der Unterschied zwischen a) und b),
> bzw. was bedeutet "in Richtung der beiden
> Koordinatenachsen"?
>
> c) Da habe ich die Tangente nun mit der
> Punkt-Richtungs-Form beschrieben.
> Die Punkt-Richtungs-Form ist bei uns so definiert:
> [mm]r=r_1+t*u[/mm]
> [mm]r_1[/mm] müsste ja mein Punkt [mm]x_0[/mm] sein.
> und u müsste [mm]\vektor{9 \\ 1}[/mm] sein (was meine Steigung in
> diesem Punkt ist)
>
> Also wäre meine Lösung: [mm]r=\vektor{1 \\ 2}+t*\vektor{9 \\ 1}[/mm]
>
> Kann das stimmen?
>
> Würde mich über Hilfe freuen!
>
> Grüße
> Carina
>
> P.S.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Sa 13.02.2010 | | Autor: | Carina84 |
Hallo
wir haben so eine ähnliche Aufgabe schon einmal gemacht, allerdings nur mit einem x Wert.
Die habe ich gut verstanden, besonders nachdem ich die Zeichnung gemacht habe.
Ich hab mir jetzt mal die Funktion mit einem Programm gezeichnet... sonst hätte ich mir das nie vorstellen können.
Das ist jetzt allerdings ein Gebilde im Raum.
Ich habe als Punkt aber nur 2 Koordinatenpunkte.
Ich habe überhaubt keine Idee wie ich diese Aufgabe lösen könnte.
Die Ableitung von mir war falsch.
Nach [mm] x_1 [/mm] abgeleitet ist es [mm] 2x_1-x_2
[/mm]
Nach [mm] x_3 [/mm] abgeleitet ist es [mm] 4x_2-x_1
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Sa 13.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. zur Vorstellung der Funktion f(x,y) stell dir vor, dass zu jedem Punkt der Ebene (x,y) eine Höhe h=f(x,y) gehört. meistens schreibt man statt h auch z=f(x,y) du hast also über der Ebene eingebirge.
Wenn du gemütlich wandern willst, gehst du auf einer "Höhenlinie" also auf f(x,y)=const, da hast du dann gar keine Steigung.
jetz willst du vomm Punkt h=4, x=y=4 in x Richtung gehen, und die Steigung wissen, also wieviel es runter (oder rauf) geht, wenn du 1m in x Richtung gehst. dann must du doch
den höhenunterschied f(4+1,4)-f(4,4) rechnen. wenn du nicht 1m sonder [mm] \Delta [/mm] x m gehst musst du um die Steigung auszurechnen, [mm] (f(4+\Delta x,,4)-f(4,4))/\Delta [/mm] x rechnen, und du siehst hoffentlich, dass das die Ableitung nach x1 wird bei (4,4).
entsprechend in y Richtung.
die steilste Richtung ist die, in die der Vektor [mm] \vektor{\bruch{\partial f}{\partial x1} \\ \bruch{\partial f}{\partial x2}} [/mm] zeigt. der Betrag dieses Vektors ist dann die größte Steigung in dem Punkt.
Die Steigung der Höhenlinie ist 0, du kannst sie also dadurch kriegen; dass sie senkrecht auf [mm] \vektor{\bruch{\partial f}{\partial x1}\\ \bruch{\partial f}{\partial x2}} [/mm] denn senkrecht zur steilsten Linie ist die flachste!
Gruss leduart
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