Steigung Tangente u. Normale < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Steigung der Tangente t und der Normalen n an das Schaubild der Funktion f im Berührungspunkt B; geben Sie Gleichungen von t und n an.
a) f(x)=x²; B (2/4)
b) f(x)=x²-6x B (0/0)
c) f(x)=1:9x³ -x²; B (3/-6)
d) f(x)= 6:x+3 B (3/1)
e) f(x)=12:x²; B (2/3)
f) f(x)= 2Wurzelx; B (9/6) |
Hallo,
ich hoffe irgendjemand kann mir helfen auf den Lösungsweg zu kommen. Die Lösungen sind:
a) t:f(x)= 4x-4 n:f(x)= -1:4x+4,5
b)t:f(x)=-6x n:f(x)= 1:6x
c)t:f(x)=-3x+3 n:f(x)=1:3x-7
d)t:f(x)= -1:6x+1,5 n:f(x)=6x-17
e)t:f(x)=-3x+9 n:f(x)=1:3x+7:3
f) t:f(x)=1:3x+3 n:f(x)=-3x+33
herzlichen Dank!!!
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo LadyGlamour,
was hast du denn bisher unternommen, um die Aufgaben zu lösen? Nicht, dass wir dir hier Dinge erzählen, die du eh schon kennst.
Hast du mal in deinen Unterlagen nach dem Thema geschaut?
Oder für den unmöglichen Fall, dass ihr nichts dazu im Unterricht gemacht habt: Schon mal den Begriff "Tangente" bei Wiki eingegeben?
Einen großen Lösungsweg gibts weniger, es beschränkt sich auf eine einfache Gleichung, in die man nur gegebene Werte einsetzen muss.
Gruß
Slartibartfast
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Hallo Slartibartfast,
habe die Aufgaben selbst gelöst, jeodch ist das schon Monate her und weiß einfach nimmer wie ich darauf gekommen bin. Habe natürlich meine Unterlagen schon durchforstet, unter den Begriffen Differentialrechnung,...und auch schon ausgiebig rumprobiert. Mit Ableitungen, Formeln, x einsetzen...Bitte gebe mir einen Tipp wie ich bei solchen Aufgaben nochmal vorgehen muss. Lieben Dank
Angi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Mo 11.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du eine Funktion f(x) gegeben hast, kannst du mit [mm] f'(x_{p}) [/mm] die Steigung des Graphen im Punkt [mm] P(x_{p}/f(x_{p})) [/mm] bestimmen.
Dann kannst du die Tangente t(x)=mx+n bestimmen, da du zwei Bedingungen kannst, die Steigung [mm] m_{t} [/mm] der Tangente und einen Punkt P auf der Tangente.
Für die Normalensteigung [mm] m_{n} [/mm] gilt: [mm] m_{t}*m_{n}=-1, [/mm] damit hast du dann auch zwei Bedingungen für die Normale.
Marius
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Hallo Marius,
danke für Deine Antwort. Hab es gerade mit deiner Anleitung versucht, komme aber nicht sehr weit...Kannst du mir eine Schritt für Schritt Anleitung geben, anhand zum Bsp. der Aufgabe a.) f8x)= x² B(2/4)
Lieben lieben Dank
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Hallo!
Gegeben ist die Funktion
$f(x) = [mm] x^{2}$,
[/mm]
an welche wir nun im Punkt (2|4) eine Tangente anlegen sollen. Zunächst berechnen wir die Ableitung der Funktion, f'(x):
$f'(x) = 2*x$
(Wie man das macht, kannst du den Ableitungsregeln aus Tafelwerk und Hefter entnehmen). Die Ableitung f' einer Funktion f gibt an jeder Stelle x die Steigung der Funktion f an. Wir wollen bei diesem Beispiel die Steigung an der Stelle x = 2 wissen, weil wir eine Tangente im Punkt (2|4) berechnen sollen.
Also setzen wir nun die 2 in unsere Ableitung ein und erhalten die Steigung m:
$m = f'(2) = 2*2 = 4$
Wenn man zwei lineare Funktionen der Form $y = [mm] m_{1}*x+n_{1}$ [/mm] und $y = [mm] m_{2}*x+n_{2}$ [/mm] gegeben hat, dann stehen diese im Graphen senkrecht aufeinander, wenn [mm] $m_{1}*m_{2} [/mm] = -1$ (Das ist eine merkenswerte Information!).
Wenn wir also oben unsere Steigung der Tangente an der Stelle 2 berechnet haben, erhalten wir die Steigung der Normalen folgendermaßen:
[mm] $m_{1}*m_{2} [/mm] = -1 [mm] \gdw m_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{m_{1}}$
[/mm]
D.h. die Steigung [mm] m_{N} [/mm] der Normalen der Funktion f an der Stelle x = 2 wäre dann
[mm] $m_{N} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{m} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{4}$.
[/mm]
Nun kennen wir schon die Steigungen unserer beiden Geraden, die wir suchen. Wir können nun also schon schreiben, dass die Tangente bzw. Normale die folgende Form haben werden:
Tangente:
$y = m*x+n = 4*x+n$
Normale:
$y = [mm] -\bruch{1}{4}*x+n_{N}$
[/mm]
Uns fehlen also noch die n's. Die erhalten wir dadurch, dass wir wissen, dass beide Gerade ja durch den Punkt (2|4) gehen sollen (Die Tangente z.B. berührt den Graphen an der Stelle). Der Punkt (2|4) muss also auf der Tangente bzw. Normale liegen. Das bedeutet, wenn ich die x-Koordinate des Punktes in die Geradengleichung einsetze, muss die y-Koordinate des Punktes herauskommen. Das liefert uns für die n's folgende Gleichungen:
Tangente: (x|y) = (2|4) einsetzen:
$4 = 4*2+n$
Normale: (x|y) = (2|4) einsetzen:
$4 = [mm] -\bruch{1}{4}*2+n_{N}$
[/mm]
Diese Gleichungen kannst du nun nach den n's umstellen, dann hast du deine fertigen Tangenten/Normalengleichungen.
Viele Grüße, Stefan.
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Hallo Stefan,
vielen Dank für Deine ausführliche Antwort.
Hat mir wirklich sehr weiter geholfen.
Herzl. Dank für Eure Hilfe!!!
Alles Gute.
Angi
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