Steigung in Punkt (intuitiv) < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:48 Mi 10.09.2014 | | Autor: | mrat |
Servus Forengemeinde,
da mich immer wieder mal Mathefragen quälen (und evtl. auch mal zu deren Lösung beitragen kann), habe ich beschlossen mich nun endlich einem Forum anzuschließen.
Somit komme ich gleich auf den Punkt:
Ich habe Probleme mir die Steigung in einem Punkt vorzustellen (also das was man beim ableiten berechnet)
Wenn man es sich "mathematisch" ansieht (also mit dem ableiten, Sekante wird zur Tangente...) dann scheint es mir schon klar zu sein, dass es in diesem mathematischen Rahmen korrekt ist und es scheint auch irgendwie "richtig".
Jedoch kann ich mir trotzdem nichts unter diesr berechneten Steiung in dem betreffenden Punkt vorstellen. Eine Steigung bedingt ja einen weiteren Punkt, welchen ich als Bezugspunkt nehmen - zu dem die Steigung vom Ausgangspunkt "Relation" hat?
Ich kann ja eigentlich keine Steigung haben, wenn ich nur einen Punkt betrachte?
Ich weiß nicht, ob ich es geschafft habe mein Problem halbwegs zu veranschaulichen, aber bitte mal um etwas Erleuchtung
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: Nirgendwo
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Hallo, mal eine nichtmathematische Antwort, damit Du eine Vorstellung von der Steigung hast, skizziere Dir eine bergige Straße, es geht bergauf, es geht bergab, irgendwo erreicht sie den höchsten Punkt, mal verläuft sie waagerecht, so, jetzt stelle Dir vor, Du fährst mit dem Fahrrad auf der Straße entlang, Du befindest Dich an einem Punkt auf der Straße, sie geht bergauf, mal mehr mal weniger, der Anstieg ist an diesen Punkten positiv, geht sie steiler bergauf ist der Anstieg größer, als wenn sie weniger steil ist, die Straße geht bergab, der Anstieg ist an diesen Punkten negativ, an Punkten, an denen die Straße waagerecht verläuft, hast Du keinen Anstieg, er ist gleich Null, bei allen Mathematikern möchte ich mich für diese Antwort entschuldigen, aber mir hat diese nichtmathematische Vorstellung vor vielen Jahren mal geholfen, um den Anstieg einer Funktion an einem ganz bestimmten Punkt mir vorstellen zu können, ich stelle mal auf teilweise beantwortet, Steffi
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
dann möchte ich der Antwort von steffi21 noch eine etwas mathematischere Antwort hinzufügen. 
Nehmen wir für den Moment an, die waagerechte Achse wäre die Zeitachse, unsere Funktion würde somit irgendeinen Wert repräsentieren, welcher von der Zeit abhängt und sich daher i.a. mit der Zeit ändert. Ist unsere Funktion nicht zufällig linear, so wird sich diese Änderungsrate selbst auch ständig ändern, sie hängt dann nämlich ebenfalls von der Zeit ab. Nichts anderes beschreibt die erste Ableitung, weshalb man auch aus gutem Grund neben dem Begriff der Steigung heutzutage den Begriff der momentanen Änderungsrate an die Hand bekommt.
Meiner Ansicht nach ist das alles gar nicht so einfach, wie wir Mathematiker uns das nach Jahren bzw. Jahrzehnten des Umgehens mit diesem Konzept so vorstellen. Die Differenzial- und Integralrechnung wurden in der formalen Art, wie wir sie kennen, Ende des 17. Jahrhunderts entwickelt. Und man übertreibt sicherlich nicht wenn man sagt, dass die Analyis die Welt verändert hat, indem sie nämlich an der industriellen Revolution und der Entwicklung der Technik bis heute einen nicht zu unterschätzenden Anteil in Form verschiedenster essentiell wichtiger Anwendungen hat, wie Ingenieure sicherlich bestätigen können.
Man kann da eher ein Leben lang daran arbeiten, diese Denkweise immer besser zu verinnerlichen. Dabei hat es sich für mich über die Jahre als hilfreich herausgestellt, wenn ich weder alles veranschauliche noch die Dinge rein abstrakt betrachte: nein, ich versuche stets beide Wege, und wenn ich sie ein Stück gegangen bin suche ich nach den Gemeinsamkeiten. Und die zentrale Gemeinsamkeit der ersten Ableitung, egal ob man sie abstrakt oder anschaulich (im Koordinatensystem) betrachtet: sie beschreibt, wie eine Funktion sich ändert (wenn man ihre Werte entlang der horizontalen Achse in aufsteigender Richtung betrachtet), also bspw. in der stets voranschreitenden Zeit.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Mi 10.09.2014 | | Autor: | mrat |
Hallo und vielen Dank für eure Inputs,
ich denke, dass steffis Ansatz mit der Straße wohl der beste ist. Nun in bezug auf mein Problem ist nun. Ich stehe in einem Punkt, es geht bergauf, die Steigung ist positiv - nun sie ist positiv, da ich weiß, dass ich einen weiteren Punkt vor mir habe, der oberhalb des betrachteten ersten Punktes liegt.
Wenn ich nun ableite, gehe ich ja mit der Differenz zwischen 2 Punkten gegen Null, also schließe ich die Betrachtung des Punktes der vor mir liegt aus. Trotzdem habe ich jetzt so etwas wie, oder besser die, Steigung.
Aber wohin steigt diese Steigung? Zum nächstliegenden Punkt ja wohl nicht?
Analog kann man es, denke ich mal, auch bei der Änderungsrate sehen. Die habe ich ja, da ich von einem Zeitpunkt zum nächsten etwas ändert ...
Ich denke, dass ich da an einem Punkt angekommen bin, wo das mathematische Konzept soweit schon passt, aber leider mit der Vorstellung darüber nicht ganz so übereinpasst. Diophants gesuchte Gemeinsamkeiten würde ich hier gerne finden :).
Dank und liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Mi 10.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo mrat,
> Ich denke, dass ich da an einem Punkt angekommen bin, wo
> das mathematische Konzept soweit schon passt, aber leider
> mit der Vorstellung darüber nicht ganz so übereinpasst.
Ja, mein Beitrag wollte ja aber auch darauf aufmerksam machen, dass diese Vorstellung sich sicherlich nicht in 5 Minuten generieren lässt, sondern - trotz der total einfachen Definition - etwas ist, an dem man gedanklich eine Weile dranbleiben muss um eine einigermaßen tragfähige Vorstellung zu entwickeln.
Aber wenn du eher der Typ bist, der die Dinge vom Anschaulichen her anpackt, dann ist doch eben die Tangentensteigung der richtige Ausgangspunkt.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Mi 10.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Servus Forengemeinde,
>
> da mich immer wieder mal Mathefragen quälen (und evtl.
> auch mal zu deren Lösung beitragen kann), habe ich
> beschlossen mich nun endlich einem Forum anzuschließen.
>
> Somit komme ich gleich auf den Punkt:
>
> Ich habe Probleme mir die Steigung in einem Punkt
> vorzustellen (also das was man beim ableiten berechnet)
> Wenn man es sich "mathematisch" ansieht (also mit dem
> ableiten, Sekante wird zur Tangente...) dann scheint es mir
> schon klar zu sein, dass es in diesem mathematischen Rahmen
> korrekt ist und es scheint auch irgendwie "richtig".
> Jedoch kann ich mir trotzdem nichts unter diesr berechneten
> Steiung in dem betreffenden Punkt vorstellen. Eine Steigung
> bedingt ja einen weiteren Punkt, welchen ich als
> Bezugspunkt nehmen - zu dem die Steigung vom Ausgangspunkt
> "Relation" hat?
> Ich kann ja eigentlich keine Steigung haben, wenn ich nur
> einen Punkt betrachte?
Du hast es doch eigentlich auch schon selbst gesagt:
Wenn eine Funktion $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] differenzierbar in [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] ist, dann
kann man geometrisch die Ableitung [mm] $f\,'(x_0)=:m$ [/mm] auffassen als
die Steigung der Tangente, die man am Graphen im Punkt von [mm] $f\,$ [/mm] im
Punkte [mm] $P=(x_0|f(x_0))$ [/mm] anlegen kann.
Siehe auch
![[]](/images/popup.gif) http://www.youtube.com/watch?v=Ww0jAwK-gjI,
auch, wenn ich die Bezeichnung [mm] "$h\,$-Methode" [/mm] alles andere als gut finde.
Und jetzt habe ich eine Bitte an Dich:
Zeichne etwa den Graphen von
[mm] $f(x)=x^3\,,$
[/mm]
so, dass Du [mm] $f(2)=8\,$ [/mm] auch noch sehen kannst. [mm] ($x_0:=2.$)
[/mm]
Berechne
[mm] $m:=f\,'(2)\,.$
[/mm]
(Könnt ihr das schon? Falls nicht: [mm] $m=f\,'(2)=\red{3}*2^2=\red{12}\,.$)
[/mm]
Zeichne nun den Graphen der Funktion
[mm] $t_2(x):=m*x+(f(2)-2*m)$
[/mm]
Was siehst Du?
(Allgemein:
[mm] $t_{x_0}(x):=f\,'(x_0)*x+(f(x)-x_0*f\,'(x_0))$ $(=f\,'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0))$.)
[/mm]
Und nur, damit wir nicht zu formal bleiben, es gibt auch noch eine andere
Möglichkeit, sich die Steigung des Graphen in einem Punkt anschaulich
klarzumachen:
Zeichen einen (Ausschnitt) des Graphen einer Funktion $f [mm] \colon \IR \to \IR,$ [/mm] und diese
sei in [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar. Markiere Dir den Punkt
[mm] $P=(x_0|f(x_0))\,.$
[/mm]
Leg' jetzt ein Lineal auf Dein Blatt, und schiebe es auf den genannten
Punkt. Falls Du damit schon die Tangente hast, hast Du das Lineal schon
gut platziert gehabt. Falls nicht, so musst Du es ein wenig drehen, so,
dass es aber immer noch den Punkt [mm] $P\,$ [/mm] *berührt*, bis Du siehst, dass
es tangential anliegt. Wenn Du das hast, so siehst Du, dass das Lineal
eigentlich ein Ausschnitt einer Gerade des [mm] $\IR^2$ [/mm] ist. Für solch' eine kennst
Du eine Funktionsbeschreibende Geradengleichung. Das, was in dieser
Geradengleichung die Steigung ist, ist ja eben nichts anderes als die
Steigung der Tangente in [mm] $P=(x_0|f(x_0))\,.$
[/mm]
Das (anschauliche) Problem bei dieser Methode ist, dass es vllt. nicht
so klar ist, dass die Tangente in dem Punkt auch eindeutig ist. Bei dem
"Übergang mithilfe von Sekanten" scheint mir das klarer zu sein...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Mi 10.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Servus Forengemeinde,
>
> da mich immer wieder mal Mathefragen quälen (und evtl.
> auch mal zu deren Lösung beitragen kann), habe ich
> beschlossen mich nun endlich einem Forum anzuschließen.
>
> Somit komme ich gleich auf den Punkt:
>
> Ich habe Probleme mir die Steigung in einem Punkt
> vorzustellen (also das was man beim ableiten berechnet)
> Wenn man es sich "mathematisch" ansieht (also mit dem
> ableiten, Sekante wird zur Tangente...) dann scheint es mir
> schon klar zu sein, dass es in diesem mathematischen Rahmen
> korrekt ist und es scheint auch irgendwie "richtig".
> Jedoch kann ich mir trotzdem nichts unter diesr berechneten
> Steiung in dem betreffenden Punkt vorstellen. Eine Steigung
> bedingt ja einen weiteren Punkt, welchen ich als
> Bezugspunkt nehmen - zu dem die Steigung vom Ausgangspunkt
> "Relation" hat?
> Ich kann ja eigentlich keine Steigung haben, wenn ich nur
> einen Punkt betrachte?
vielleicht auch noch ein, zwei Sachen zu Deinen letzten beiden Sätzen:
Das ist durchaus richtig. Wenn Du
[mm] $P=(x_0|f(x_0))$
[/mm]
"alleine" betrachtest, dann macht alles keinen Sinn. Es geht hier um die
Betrachtung von [mm] $P\,$ [/mm] im Zusammenhang mit der folgenden "Graphenausschnitts-
Teilmenge" [mm] $T_\delta=T_\delta(P)\,$ [/mm] mit
[mm] $T_\delta=T_\delta(P):=\{(x|f(x)):\;\; |x-x_0| < \delta\}\,,$
[/mm]
wobei Du [mm] $\delta [/mm] > 0$ durchaus sehr sehr klein wählen kannst...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Mi 10.09.2014 | | Autor: | mrat |
Ups, jetzt habe ich meine Mitteilung irrtümlich bei Diophant eingehängt - sollte aber als letztes im Hauptartikel stehen.
Kann man das ändern?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Mi 10.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ups, jetzt habe ich meine Mitteilung irrtümlich bei
> Diophant eingehängt - sollte aber als letztes im
> Hauptartikel stehen.
> Kann man das ändern?
ich sehe (selbst als Mod) gerade nicht, wie. Ich finde aber auch, dass das
nichts macht.
Übrigens, hier noch eine Methode, die zu meiner letzten fast identisch ist:
Stell' Dir vor, Du stehst an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] auf dem Graphen, also im Punkte
[mm] $P=(x_0|f(x_0)).$ [/mm] Jetzt hast Du ein Lineal dabei (das ist, da Du 2dimensional bis,
ja nur ein "Strich") und verankerst dessen Mitte im Punkt [mm] $P\,.$ [/mm] Du drehst nun
das Lineal so lange, bis Du siehst, dass der Graph im Punkte [mm] $P\,$ [/mm] nur noch
berührt wird (also nicht *durchstoßen*). Die Steigung der Geraden, die dann
"zu dem Lineal passt", ist die Steigung in dem Punkt [mm] $P\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Do 11.09.2014 | | Autor: | mrat |
Hallöchen und danke erstmal für eure Bemühungen!
Leider kam ich trotzdem nicht weiter. Das mit dem Tangentendings ist mir mathematisch schon klar. Aber nicht weshalb diese Tangente nun die Steigung in dem Punkt sein soll bzw. was Steigung in einem Punkt überhaupt für einen Sinn ergibt.
Ich habe so das Gefühl, dass mir Marcel`s Ansatz mit der "Graphenausschnitts-Teilmenge" weiterbringen könnte, kann mir unter den Formalismen nichts vorstellen.
(Und liege ich richtig, dass bei Marcel`s Ableitungsbeispiel [mm] f`(2)=3*2^2=12 [/mm] stehen sollte?)
Die Idee hinter der Tangente ist ja gerade die Umgebung "auszublenden" indem man die Differenz gegen 0 gehen lässt?
Ich kopiere hier nochmals das rein, was ich an falscher Stelle im Baum eingebunden hab:
"
ich denke, dass steffis Ansatz mit der Straße wohl der beste ist. Nun in bezug auf mein Problem ist nun. Ich stehe in einem Punkt, es geht bergauf, die Steigung ist positiv - nun sie ist positiv, da ich weiß, dass ich einen weiteren Punkt vor mir habe, der oberhalb des betrachteten ersten Punktes liegt.
Wenn ich nun ableite, gehe ich ja mit der Differenz zwischen 2 Punkten gegen Null, also schließe ich die Betrachtung des Punktes der vor mir liegt aus. Trotzdem habe ich jetzt so etwas wie, oder besser die, Steigung.
Aber wohin steigt diese Steigung? Zum nächstliegenden Punkt ja wohl nicht?
Analog kann man es, denke ich mal, auch bei der Änderungsrate sehen. Die habe ich ja, da ich von einem Zeitpunkt zum nächsten etwas ändert ...
"
und dann ist mir noch etwas ungereimtes eingefallen:
Wenn ich in einem Graph nun zB im Maximum bin, ist die erste Ableitung 0 -> ich habe also keine Steigung; jedoch wenn ich nur einen kleinen Schritt "nach vorne" ginge, so würde es ja bergab gehen.
Der Widerspruch scheint mir hier zu sein:
* Wenn ich die Umgebung betrachte, also den Punkt in dem ich mich befinde mit dem nächste, so dürfte ich, wenn ich im Maximum bin keine 0 als Steigung haben, denn es geht ja ab jetzt bergab und der nächste Punkt ist auf jeden Fall "niedriger" als der in dem ich mich befinde.
* Wenn ich die Umgebunga außer acht lasse, dann scheint mir das Konzept der Steigung unlogisch (denn zu was hin (wenn nicht zum nächsten Punkt) soll es denn steigen?)
Vielen lieben Dank und liebe Grüße, mrat> Servus Forengemeinde,
>
> da mich immer wieder mal Mathefragen quälen (und evtl.
> auch mal zu deren Lösung beitragen kann), habe ich
> beschlossen mich nun endlich einem Forum anzuschließen.
>
> Somit komme ich gleich auf den Punkt:
>
> Ich habe Probleme mir die Steigung in einem Punkt
> vorzustellen (also das was man beim ableiten berechnet)
> Wenn man es sich "mathematisch" ansieht (also mit dem
> ableiten, Sekante wird zur Tangente...) dann scheint es mir
> schon klar zu sein, dass es in diesem mathematischen Rahmen
> korrekt ist und es scheint auch irgendwie "richtig".
> Jedoch kann ich mir trotzdem nichts unter diesr berechneten
> Steiung in dem betreffenden Punkt vorstellen. Eine Steigung
> bedingt ja einen weiteren Punkt, welchen ich als
> Bezugspunkt nehmen - zu dem die Steigung vom Ausgangspunkt
> "Relation" hat?
> Ich kann ja eigentlich keine Steigung haben, wenn ich nur
> einen Punkt betrachte?
>
> Ich weiß nicht, ob ich es geschafft habe mein Problem
> halbwegs zu veranschaulichen, aber bitte mal um etwas
> Erleuchtung
>
> Vielen Dank!
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: Nirgendwo
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Hallo,
ich habe deine obige Frage durchgelesen, möchte jetzt aber mal auf Zitate verzichten und nochmal eine neue anschauliche Erklärung versuchen.
Wenn ein Massenpunkt (bspw. ein 'idealisiertes' KFZ) sich auf einer Kurvenbahn bewegt, dann müssen ständig Querkräfte wirken, um eben diese Kurvenbahn möglich zu machen. Denn wenn wir mal der Einfachheit halber eine gleichförmige Bewegung annehmen, müsste diese ja geradlinig verlaufen, so lange keine solchen Kräfte angreifen. Das bedeutet umgekehrt: wenn jetzt wegen Glatteis o.ä. ein KFZ aus der Kurve fliegt, dann tut es dass (zumindest nach der mathematischen Theorie) entlang derjenigen Tangente, die in genau dem Punkt an die Kurvenbahn anliegt, in dem das KFZ seine Haftreibung zur Straße verliert. Naturgemäß ändert sich die Richtung beim Durchfahren einer Kurve ja ständig, und jetzt kommt es: was ist denn die eigentliche Bedeutung des Begriffs Steigung letztendlich anderes als ein Konzept, Richtungen im Koordinatensystem eineindeutig auf reelle Zahlen abzubilden? Es geht also auch im [mm] \IR^2 [/mm] bei der Ableitung um die Richtung einer Kurve in einem bestimmten Punkt!
Das, was du nicht zu verstehen scheinst, ist die absolute Grundlage der (eindimensionalen) Analysis: nämlich eine Größe zunächst auf einem nichtleeren Intervall zu betrachten, dann zu erkennen, dass diese Betrachtung genauer wird, wenn man das Intervall verkleinert (wobei die Resultate dann natürlich auch nur noch in einem kleineren Bereich 'brauchbar' sind), um dann per Grenzübergang das Intervall unendlich klein werden zu lassen und dadurch eine exakte Aussage zu bekommen. Das funktioniert für Ableitung und Integral ja durchaus nicht analog, aber Ähnlichkeiten in der Vorgehensweise sind da schon, und der Zusammenhang zwischen beiden Konzepten dürfte bekannt sein.
Es gab früher mal so eine Redewendung mit zugegebenermaßen begrenztem Witzigkeitsgehalt:
Spezialisten sind Leute, die von immer weniger immer mehr verstehen, bis sie zum Schluss von überhaupt nichts mehr alles verstehen. Wenn man ein wenig darüber nachdenkt, ist das der Denkweise in der Analysis gar nicht so unähnlich.
Und noch ein Nachtrag: diese geheimnisvollen unendlich kleinen (infinitesimalen) Intervalle, mit denen du dich da offensichtlich schwer tust: so klar ist das bis heute nicht, wie man damit umzugehen hat. Ein Ingenieur würde sofort sagen, die Dinger haben die Länge Null. Der Mathematiker schüttelt dann bedenklich den Kopf und jetzt kommt es: die Ansichten über das Wesen dieser infinitesimalen Größen, speziell der Differentiale, gehen auseinander. Ich glaube, es war Leibniz selsbt der von unendlich klein aber von Null verschieden sprach. Neuerdings gibt es Ansätze, diese Größen irgendwie klarer zu fassen und sie als Zahlen aufzufassen. Die Stichworte dazu wären Non-Standard-Analysis und Hyperreelle Zahlen. Da kannst du ja mal spaßeshalber im Netz suchen, um einfach einen Eindruck zu bekommen, wie schwer es heute noch ist, das alles gedanklich fassen zu können.
PS: weil mein Text hier doch ein wenig an deiner Frage vorbeigeht, stelle ich auf 'teilweise beantwortet', nicht ohne meine Freude darüber um Ausdruck zu bringen, dass hier mal wieder eine so interessante Diskussion über eines der wichtigsten elemtaren Konzepte der höheren Mathematik zustande gekommen ist.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Do 11.09.2014 | | Autor: | mrat |
Hallo Diophant,
und danke für deine Mühen und Gedankenanstöße.
Dein Absatz 2 "Was du nicht zu verstehen ..." trifft es denke ich. Ich verstehe es was da auf Seiten der Mathematik geschieht, jedoch nicht wie das mit der "Relität intuitiv" (um wieder mal diese Wörter zu gebrauchen :)) zusammenpassen kann.
Evtl. trifft es da widerum dein vorletzter Absatz mit dem "So sicher ist man sich da gar nicht ..."
Deinen ersten Absatz:"Es muss ja permanent eine Kraft wirkten ..." finde ich logisch.
Der Teil: "Steigung letztendlich anderes als ein Konzept, Richtungen im Koordinatensystem eineindeutig auf reelle Zahlen abzubilden" gibt mir allerdings noch zu grübeln - ich denke da steckt mehr dahinter als es ad hoc den Schein hat.
liebe Grüße, mrat
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Do 11.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Spezialisten sind Leute, die von immer weniger immer mehr
> verstehen, bis sie zum Schluss von überhaupt nichts mehr
> alles verstehen. Wenn man ein wenig darüber nachdenkt, ist
> das der Denkweise in der Analysis gar nicht so unähnlich.
finde ich nicht. In der Analysis gibt es aber durchaus auch verschiedene
Herangehensweisen, man kann es mit oder auch ohne Anschauung
angehen, und mal ist die Anschauung besser, mal führt sei einfach zu
zu vielen Trugschlussen (oder birgt eine zu große Gefahr).
Wir kennen doch Achilles und die Schildkröte. Kurzgesagt liegt dort auch
das Geheimnis, was ich mir anschaulich nicht vorstellen kann, darin
begraben, dass, würde Achilles die Schildkröte nicht überholen, auch
die Zeit gegen einen festen Wert konvergieren würde, den sie nicht
erreicht.
Aber egal: Eigentlich wollte ich oben nur noch einen Spruch ergänzen, den
man sicher auch kennt:
Theorie ist, wenn nichts funktioniert, aber jeder weiß, warum. Praxis ist,
wenn alles funktioniert, aber keiner weiß warum.
Wir vereinigen Theorie mit Praxis: Nichts funktioniert, und keiner weiß,
warum.
Bei manchen Firmen heutzutage scheint das durchaus der Leitspruch zu
sein. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Do 11.09.2014 | | Autor: | abakus |
> Der Widerspruch scheint mir hier zu sein:
> * Wenn ich die Umgebung betrachte, also den Punkt in dem
> ich mich befinde mit dem nächsten
Hallo,
du sprichst hier sehr konkret von einem Punkt und "dem nächsten..."
Ich glaube, du wirst große Schwierigkeiten bekommen, wenn du angeben solltest, was denn "der nächste Punkt" ist.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Do 11.09.2014 | | Autor: | mrat |
Hallo Abakus,
ja das ist schwammig formuliert (so wie für einen Mathematiker wohl alles was ich bisher geschrieben habe :)).
Ich meine einen "unendlich nahen" Punkt - da ich mir solch einen irgendwie als Ergebnis der Grenzwertbildung vorstelle.
liebe Grüße, mrat
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Do 11.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Abakus,
>
> ja das ist schwammig formuliert (so wie für einen
> Mathematiker wohl alles was ich bisher geschrieben habe
> :)).
>
> Ich meine einen "unendlich nahen" Punkt - da ich mir solch
> einen irgendwie als Ergebnis der Grenzwertbildung
> vorstelle.
betrachte lieber die (überabzählbar vielen) Punkte, die alle "sehr nahe"
an dem Punkt liegen. ("Sehr nahe" ist natürlich immer noch schwammig.)
Da sind wir übrigens wieder dabei: Gerade in der Analysis definiert man
das formal sehr schön, so dass man mit *Logik* arbeiten kann, und
eine Vorstellung zwar nützlich ist, sie aber das Resultat der *Logik* sein
sollte, und nicht umgekehrt.
Wobei ich auch nicht sagen will, dass der *umgekehrte Weg* etwa *sinnlos*
wäre...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Do 11.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallöchen und danke erstmal für eure Bemühungen!
>
> Leider kam ich trotzdem nicht weiter. Das mit dem
> Tangentendings ist mir mathematisch schon klar. Aber nicht
> weshalb diese Tangente nun die Steigung in dem Punkt sein
> soll bzw. was Steigung in einem Punkt überhaupt für einen
> Sinn ergibt.
ich mach's jetzt mal kurz:
1. Nicht die Tangente ist die Steigung in dem Punkt, sondern die Tangente
charakterisiert die Steigung in dem Punkt. Denn die Tangentensteigung
(das ist die Steigung einer Geraden, sowas kennst Du aus der Schule!)
ist die Steigung an dem Punkt.
2. Die Steigung in dem Punkt macht, wie ich es schonmal gesagt habe, nur
dann Sinn, wenn man das richtig zu interpretieren weiß. Wenn ich sage:
Gib' mir die Steigung von
[mm] $P=(2|8)\,$
[/mm]
an, macht das keinen Sinn. (Ja, man könnte auch hier einen Sinn basteln,
aber das machen wir jetzt nicht. Wir betrachten den Punkt "ganz isoliert",
und dann macht das keinen Sinn.)
Wenn ich sage:
Gib mir die Steigung des Punktes
$P=(2|8)$
bzgl. [mm] $f(x)=x^3\,$ [/mm] an (wobei man sich dann auch von [mm] $f(2)=8\,$ [/mm] überzeugen sollte),
dann macht das einen Sinn. Denn hier reicht es, sich einen *kleinen*
(was immer das nun mathematisch korrekt formuliert heißen möge)
"Graphenausschnitt von [mm] $f\,$ [/mm] nahe um den Punkt" anzuschauen, und
dann kann man dort eine Tangente anlegen.
3. Hast Du vielleicht in der Physik die Formel
[mm] $s(t)=a*t^2$
[/mm]
gelernt? (Weißt Du, woher sie kommt? Was ist wohl [mm] $a\,$?)
[/mm]
Wie würdest Du denn etwa die Geschwindigkeit eines fallenden Körpers
zum Zeitpunkt [mm] $t_0=2\,$ [/mm] ermitteln?
P.S. Hast Du eigentlich auch das gemacht, was ich Dir in einer anderen
Antwort geraten habe; nämlich diese Funktion, die ich dort erwähnte,
und dann auch die genannte Gerade zu zeichnen?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 Do 11.09.2014 | | Autor: | mrat |
Hallo,
dann probiere ich es auch mal kurz, um eure Zeit nicht zu sehr zu strapazieren:
ad 1: ja, das war mich klar - da hatte ich mich missverständlich ausgedrückt
ad 2 und 3: da liegt ja vermutlich mein Verständnisproblem - ich sehe schon: ich schaffe es nicht in der Form zu verbalisieren, dass ich eine "passende" Antwort darauf erhoffen kann.
ad P.S. ja - du meinst vermutlich das mit ; da bitte ich dich es nochmals anzusehen, ich denke mal dass da ein kleiner Fehler drinnen ist. Du leitest da [mm] x^3 [/mm] ab und schreibst dann f`(2) = [mm] 6*2^2 [/mm] = 24.
Sollte es nicht [mm] 3*2^2 [/mm] = 12 lauten?
Und off topic - weshalb springt meine Frage immer wieder mal auf "beantwortet"?
Dank und Gruß, mrat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:11 Fr 12.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> dann probiere ich es auch mal kurz, um eure Zeit nicht zu
> sehr zu strapazieren:
>
> ad 1: ja, das war mich klar - da hatte ich mich
> missverständlich ausgedrückt
>
> ad 2 und 3: da liegt ja vermutlich mein Verständnisproblem
> - ich sehe schon: ich schaffe es nicht in der Form zu
> verbalisieren, dass ich eine "passende" Antwort darauf
> erhoffen kann.
>
> ad P.S. ja - du meinst vermutlich das mit ; da bitte ich
> dich es nochmals anzusehen, ich denke mal dass da ein
> kleiner Fehler drinnen ist. Du leitest da [mm]x^3[/mm] ab und
> schreibst dann f'(2) = [mm]6*2^2[/mm] = 24.
> Sollte es nicht [mm]3*2^2[/mm] = 12 lauten?
natürlich. Ich wollte nur gucken, ob Du aufpasst.
(Ich korrigiere das gleich!)
> Und off topic - weshalb springt meine Frage immer wieder
> mal auf "beantwortet"?
Weil sie, sobald jemand drauf antwortet, auch beantwortet wurde. Es sei
denn, der Antwortende meint selbst, dass ein anderer Status passender
wäre (etwa halb beantwortet). Du kannst ggf. auch Moderatoren bitten,
den Status zu ändern, aber sie auf "offen" zu stellen, macht keinen Sinn.
Ich würde sie höchstens bei einer Bitte Deinerseits auf halb beantwortet
stellen. Das Sinnvollste ist es aber, neue Fragen im Thread anzufügen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 Fr 12.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> dann probiere ich es auch mal kurz, um eure Zeit nicht zu
> sehr zu strapazieren:
>
> ad 1: ja, das war mich klar - da hatte ich mich
> missverständlich ausgedrückt
>
> ad 2 und 3: da liegt ja vermutlich mein Verständnisproblem
> - ich sehe schon: ich schaffe es nicht in der Form zu
> verbalisieren, dass ich eine "passende" Antwort darauf
> erhoffen kann.
das Problem liegt vielleicht auch darin, dass Du Dir sowas wie "ein Punkt
liegt unendlich nahe an einem anderen" vorzustellen versuchst. Das wird
genauso wenig gehen, wie die Vorstellung, dass einer unendlich weit
entfernt liegt. Auch, wenn wir glauben, dass wir da eine Vorstellung von
haben.
Mir ist mal gerade eingefallen, dass ich in einem Physikbuch mal eine ganz
gute "Anschauung" gesehen habe, was die Steigung in einem Punkt ist.
Bei
[mm] $s(t)=a*t^2$
[/mm]
ist übrigens
[mm] $v(t_0)=2a*t_0=s'(t_0)$
[/mm]
die lokale Geschwindkeit zum Zeitpunkt [mm] $t_0\,.$ [/mm]
Genau das wird "hergeleitet", wobei man sagt:
Zum Zeitpunkt [mm] $t_0$ [/mm] überlegen wir uns, was die mittlere Geschwindigkeit
im Zeitraum
von [mm] $t_0$ [/mm] bist [mm] $t_0+\Delta [/mm] t$
war. Ich gucke mal, ob ich nochmal rausfinde, wo ich das so gesehen habe...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:50 Fr 12.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
zur Anschauung:
1. Papula (google danach, der Name sollte reichen - ansonsten noch die
Stichwörter "Mathematik für Ingenieure..." oder sowas dazuschreiben):
Such' dann nach "Ableitung"!
2. http://www.youtube.com/watch?v=bI72BQwOXCA
3. http://ph10s1034.s010-ct-ffm-r01.ec-c.net/lernen/LH_Geschwindigkeit.pdf
4. Link zu google Books (Physik: Lehr- und Übungsbuch
von Douglas C. Giancoli)
Vielleicht hilft es Dir ja, zu wissen, dass Du im Auto, sofern das *Teil* exakt
ist, Du (zu jedem Zeitpunkt) die Ableitung der Funktion [mm] $s(t)\,,$ [/mm] wenn [mm] $s(t)\,$ [/mm]
*eine Strecke mißt*, angezeigt bekommst. Jedenfalls hinreichend genau.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Do 11.09.2014 | | Autor: | chrisno |
Ich möchte die Antwort von Steffi noch etwas variieren:
Ich betrachte nur eine Kuppe. Nun lege ich eine Planke auf. Diese Planke hat nun eine Steigung, diese Steigung nennt man die Steigung im Berührpunkt. Richtig nimmst Du die Steigung nur dadurch wahr, weil Du die gerade Planke hast, mit ihren zahlreichen Punkten.
Nun stecken da Idealisierungen drin, eine echte Planke liegt natürlich nicht nur in einem Punkt (Schnittbild) auf. Die mathematische Betrachtung mit einem Punkt ist in der Tat nicht anschaulich vorstellbar. Wenn Du die Planke ein wenig kippst, dann hast Du bist Du mit dem Berührpunkt schon über unendlich viele Punkte gewandert. Einen benachbarten nächsten zweiten Punkt gibt es nicht. Das Problem gilt schon für den einfachen Zahlenstrahl: rück zwei Punkte so dicht aneinander wie Du willst, es liegen immer noch unendlich viele andere dazwischen. Vorstellen kann ich mir das nicht.
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