Stellenwertsystem: Gleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es soll die folgende Gleichung über b-adische Zahldarstellungen gezeigt werden:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2n+1}}=\bruch{2}{3}$ [/mm] |
Hallo,
bei dieser Aufgabe gelingt es mir leider nicht, auch nur den geringsten Ansatz zu finden. Das Stellenwertsystem ist mir ein Begriff, aber ich kann keinen Zusammenhang mit dieser Gleichung herstellen.
Es wäre sehr nett, wenn jemand einen Tipp parat hätte.
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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> Es soll die folgende Gleichung über b-adische
> Zahldarstellungen gezeigt werden:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2n+1}}=\bruch{2}{3}[/mm]
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe gelingt es mir leider nicht, auch nur
> den geringsten Ansatz zu finden. Das Stellenwertsystem ist
> mir ein Begriff, aber ich kann keinen Zusammenhang mit
> dieser Gleichung herstellen.
>
> Es wäre sehr nett, wenn jemand einen Tipp parat hätte.
>
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> el_grecco
Guten Tag el-grecco,
hier handelt es sich um eine Aussage über eine ganz
konkrete Binärentwicklung, nämlich den periodischen
Binärbruch [mm] 0.\overline{10} [/mm] , ausgeschrieben 0.101010....
Rechnerisch führt die Bestimmung des Zahlenwertes
auf eine nicht abbrechende, aber (natürlich) konvergente
geometrische Reihe.
Schreib dir zunächst einmal einfach die ersten paar
Summanden als gewöhnliche Brüche auf !
LG Al-Chw.
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| Aufgabe | Es soll die folgende Gleichung über b-adische Zahldarstellungen gezeigt werden:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2n+1}}=\bruch{2}{3} [/mm] $ |
Guten Tag Al,
> Guten Tag el-grecco,
>
> hier handelt es sich um eine Aussage über eine ganz
> konkrete Binärentwicklung, nämlich den periodischen
> Binärbruch [mm]0.\overline{10}[/mm] , ausgeschrieben
> 0.101010....
> Rechnerisch führt die Bestimmung des Zahlenwertes
> auf eine nicht abbrechende, aber (natürlich) konvergente
> geometrische Reihe.
> Schreib dir zunächst einmal einfach die ersten paar
> Summanden als gewöhnliche Brüche auf !
Für n = 0:
[mm] $\bruch{1}{2}$
[/mm]
Für n = 1:
[mm] $\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}=\bruch{5}{8}$
[/mm]
Für n = 2:
[mm] $\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{32}=\bruch{21}{32}$
[/mm]
Für n = 3:
[mm] $\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{32}+\bruch{1}{128}=\bruch{85}{128}$
[/mm]
...
Ich sehe, dass sich die Werte an 2/3 annähern.
Muss ich irgendwelche Werte ins Binärsystem umwandeln, oder worauf will diese Aufgabe hinaus?
Außer, dass ich hier das Wurzelkriterium anwenden würde, habe ich keine andere Idee.
> LG Al-Chw.
Danke
&
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Es soll die folgende Gleichung über b-adische
> Zahldarstellungen gezeigt werden:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2n+1}}=\bruch{2}{3}[/mm]
> Guten Tag Al,
>
> > Guten Tag el-grecco,
> >
> > hier handelt es sich um eine Aussage über eine ganz
> > konkrete Binärentwicklung, nämlich den periodischen
> > Binärbruch [mm]0.\overline{10}[/mm] , ausgeschrieben
> > 0.101010....
> > Rechnerisch führt die Bestimmung des Zahlenwertes
> > auf eine nicht abbrechende, aber (natürlich)
> konvergente
> > geometrische Reihe.
> > Schreib dir zunächst einmal einfach die ersten paar
> > Summanden als gewöhnliche Brüche auf !
>
> Für n = 0:
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Für n = 1:
> [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}=\bruch{5}{8}[/mm]
>
> Für n = 2:
> [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{32}=\bruch{21}{32}[/mm]
>
> Für n = 3:
>
> [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{32}+\bruch{1}{128}=\bruch{85}{128}[/mm]
> ...
>
> Ich sehe, dass sich die Werte an 2/3 annähern.
> Muss ich irgendwelche Werte ins Binärsystem umwandeln,
> oder worauf will diese Aufgabe hinaus?
Jetzt kannst Du eine Summenformel angeben,die von n abhängig ist.
Bilde dann den Grenzwert für [mm]n \to\infty[/mm].
>
> Außer, dass ich hier das Wurzelkriterium anwenden würde,
> habe ich keine andere Idee.
>
>
> > LG Al-Chw.
>
> Danke
> &
> Gruß
>
> el_grecco
>
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Es soll die folgende Gleichung über b-adische Zahldarstellungen gezeigt werden:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2n+1}}=\bruch{2}{3}$ [/mm] |
Hallo MathePower,
> Hallo el_grecco,
> >
> > Für n = 0:
> > [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > Für n = 1:
> > [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}=\bruch{5}{8}[/mm]
> >
> > Für n = 2:
> > [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{32}=\bruch{21}{32}[/mm]
> >
> > Für n = 3:
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{32}+\bruch{1}{128}=\bruch{85}{128}[/mm]
> > ...
> >
> > Ich sehe, dass sich die Werte an 2/3 annähern.
> > Muss ich irgendwelche Werte ins Binärsystem umwandeln,
> > oder worauf will diese Aufgabe hinaus?
>
>
> Jetzt kannst Du eine Summenformel angeben,die von n
> abhängig ist.
das verstehe ich leider nicht. Die Summenformel ist doch mit [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2n+1}}$ [/mm] bereits vorhanden, wozu (und vor allem wie) dann etwas "Eigenes" entwerfen?
Ich habe an dieser Stelle leider große Verständnisschwierigkeiten.
> Bilde dann den Grenzwert für [mm]n \to\infty[/mm].
> Gruss
> MathePower
Vielen Dank für die Hilfe.
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Es soll die folgende Gleichung über b-adische
> Zahldarstellungen gezeigt werden:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2n+1}}=\bruch{2}{3}[/mm]
> Hallo MathePower,
>
> > Hallo el_grecco,
> > >
> > > Für n = 0:
> > > [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> > >
> > > Für n = 1:
> > > [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}=\bruch{5}{8}[/mm]
> > >
> > > Für n = 2:
> > >
> [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{32}=\bruch{21}{32}[/mm]
> > >
> > > Für n = 3:
> > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{32}+\bruch{1}{128}=\bruch{85}{128}[/mm]
> > > ...
> > >
> > > Ich sehe, dass sich die Werte an 2/3 annähern.
> > > Muss ich irgendwelche Werte ins Binärsystem umwandeln,
> > > oder worauf will diese Aufgabe hinaus?
> >
> >
> > Jetzt kannst Du eine Summenformel angeben,die von n
> > abhängig ist.
>
> das verstehe ich leider nicht. Die Summenformel ist doch
> mit [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2n+1}}[/mm] bereits
Ich meine eine geschlossene Formel für z.B. diese Summe.
Hier ist das die Summe der ersten n Glieder:
[mm]s_{n}=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}+ ... + \bruch{1}{2^{2n-1}}+\bruch{1}{2^{2n+1}}[/mm]
> vorhanden, wozu (und vor allem wie) dann etwas "Eigenes"
> entwerfen?
Das dient zur Herleitung der Summe einer geometrischen Reihe.
Und diese hast Du ja hier ohne Zweifel vorliegen.
>
> Ich habe an dieser Stelle leider große
> Verständnisschwierigkeiten.
>
> > Bilde dann den Grenzwert für [mm]n \to\infty[/mm].
>
> > Gruss
> > MathePower
>
> Vielen Dank für die Hilfe.
>
> Gruß
> el_grecco
>
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Es soll die folgende Gleichung über b-adische Zahldarstellungen gezeigt werden:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2n+1}}=\bruch{2}{3} [/mm] $ |
Hallo MathePower,
> Ich meine eine geschlossene Formel für z.B. diese Summe.
>
> Hier ist das die Summe der ersten n Glieder:
>
> [mm]s_{n}=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}+ ... + \bruch{1}{2^{2n-1}}+\bruch{1}{2^{2n+1}}[/mm]
>
> Das dient zur Herleitung der Summe einer geometrischen
> Reihe.
>
> Und diese hast Du ja hier ohne Zweifel vorliegen.
ist für diese Aufgabe dann eine Herleitung wie hier: ![[]](/images/popup.gif) Link-Text nötig?
Kann man nicht von Anfang an schreiben [mm] $\bruch{1}{2^{2n+1}}=\bruch{1}{2^{n(2+\bruch{1}{n})}}=\left( \bruch{1}{2^{(2+\bruch{1}{n})}} \right)^{n},$ [/mm] um dann die Formel $ [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} q^n=\frac{1}{1-q} [/mm] $ mit entsprechendem Einsetzen zu benutzen und da $|q|<1$ konvergiert die Folge?
> Gruss
> MathePower
Besten Dank!
Gruß
el_grecco
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> Kann man nicht von Anfang an schreiben
> [mm]\bruch{1}{2^{2n+1}}=\bruch{1}{2^{n(2+\bruch{1}{n})}}=\left( \bruch{1}{2^{(2+\bruch{1}{n})}} \right)^{n},[/mm]
Naja, so nach dem Prinzip: "warum einfach, wenn es vielleicht
auch noch einen verzwickten Weg geben könnte ?" 
> um dann die Formel [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty} q^n=\frac{1}{1-q}[/mm]
> mit entsprechendem Einsetzen zu benutzen und da [mm]|q|<1[/mm]
> konvergiert die Folge?
Bestimme doch (endlich) mal den Zahlenwert von q sowie
den Vorfaktor [mm] a_0 [/mm] und nutze dann die Formel für die Summe
der unendlichen geometrischen Reihe:
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty} a_0*q^k [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0*q^k [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}a_0*\frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] = [mm] \frac{a_0}{1-q}$ [/mm] (falls |q|<1)
LG Al-Chw.
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| Aufgabe | Es soll die folgende Gleichung über b-adische Zahldarstellungen gezeigt werden:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2n+1}}=\bruch{2}{3} [/mm] $ |
Hallo Al,
wir hatten die Summe der ersten n Glieder:
$ [mm] s_{n}=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}+ [/mm] ... + [mm] \bruch{1}{2^{2n-1}}+\bruch{1}{2^{2n+1}} [/mm] $
> Bestimme doch (endlich) mal den Zahlenwert von q sowie
> den Vorfaktor [mm]a_0[/mm] und nutze dann die Formel für die
> Summe
> der unendlichen geometrischen Reihe:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} a_0*q^k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0*q^k = \lim_{n \to \infty}a_0*\frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{a_0}{1-q}[/mm]
> (falls |q|<1)
Zu q:
Wenn ich das richtig verstanden habe, bestimme ich den konkreten Zahlenwert aus [mm] $\bruch{1}{2^{2n+1}}$; [/mm] nur wie mache ich das?
Zu [mm] $a_{0}:
[/mm]
Gilt [mm] $a_{0}=\bruch{1}{2}$ [/mm] ?
Zugegeben: es ist mit Sicherheit trivial, aber ich bin hier wirklich mathematisch blind.
> LG Al-Chw.
Ich danke Dir vielmals!
Gruß
el_grecco
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Hallo grec,
nein, trivial ist das nicht. Keine Sorge.
> Hallo Al,
>
> wir hatten die Summe der ersten n Glieder:
>
> [mm]s_{n}=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}+ ... + \bruch{1}{2^{2n-1}}+\bruch{1}{2^{2n+1}}[/mm]
>
> > Bestimme doch (endlich) mal den Zahlenwert von q sowie
> > den Vorfaktor [mm]a_0[/mm] und nutze dann die Formel für die
> > Summe
> > der unendlichen geometrischen Reihe:
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^{\infty} a_0*q^k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0*q^k = \lim_{n \to \infty}a_0*\frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{a_0}{1-q}[/mm]
> > (falls |q|<1)
>
> Zu q:
> Wenn ich das richtig verstanden habe, bestimme ich den
> konkreten Zahlenwert aus [mm]\bruch{1}{2^{2n+1}}[/mm]; nur wie mache
> ich das?
Nein, q bestimmst Du aus der (ganz allgemeinen) Gleichung [mm] q=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] und erhältst hier... Na, das ist ja noch einfach.
> Zu [mm]$a_{0}:[/mm]
> Gilt [mm]a_{0}=\bruch{1}{2}[/mm] ?
Und wie. Das gilt ganz ungeheuer obergehörig und allergemeinst. Hier zumindest.
Es gäbe aber auch einen insgesamt einfacheren Weg.
Den müsste ich nur woanders im Thread anhängen, nämlich ganz vorn. Also dazu gleich, in einem gesonderten Post.
Bis dahin,
reverend
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| Aufgabe | Es soll die folgende Gleichung über b-adische Zahldarstellungen gezeigt werden:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2n+1}}=\bruch{2}{3} [/mm] $ |
Hallo rev,
> Hallo grec,
>
> nein, trivial ist das nicht. Keine Sorge.
immerhin ein kleiner Trost. 
> Nein, q bestimmst Du aus der (ganz allgemeinen) Gleichung
> [mm]q=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] und erhältst hier... Na, das ist
> ja noch einfach.
Wie kommt diese Gleichung zustande (ich kann die in meiner Formelsammlung der Höheren Mathematik vom Binomi-Verlag nicht finden)?
> > Zu [mm]$a_{0}:[/mm]
> > Gilt [mm]a_{0}=\bruch{1}{2}[/mm] ?
>
> Und wie. Das gilt ganz ungeheuer obergehörig und
> allergemeinst. Hier zumindest.
Okay. Wenn das also mit dem q geklärt ist, brauche ich "nur" noch in diese Formel einsetzen?
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0 q^k [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] = [mm] \frac{a_0}{1-q}$
[/mm]
> Es gäbe aber auch einen insgesamt einfacheren Weg.
> Den müsste ich nur woanders im Thread anhängen, nämlich
> ganz vorn. Also dazu gleich, in einem gesonderten Post.
Ich glaube ich werfe dort erst dann einen Blick hinein, wenn es mir gelingt, diesen Lösungsweg erfolgreich über die Bühne zu bringen.
Auf jeden Fall möchte ich mich für Deine Mühe und Hilfe vielmals bedanken.
> Bis dahin,
> reverend
Gruß
el_grecco
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Hi,
> > Nein, q bestimmst Du aus der (ganz allgemeinen) Gleichung
> > [mm]q=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] und erhältst hier... Na, das ist
> > ja noch einfach.
>
> Wie kommt diese Gleichung zustande (ich kann die in meiner
> Formelsammlung der Höheren Mathematik vom Binomi-Verlag
> nicht finden)?
Aus der rekursiven Darstellung der geometrischen Reihe:
[mm] a_{n+1}=q*a_n
[/mm]
> > > Zu [mm]$a_{0}:[/mm]
> > > Gilt [mm]a_{0}=\bruch{1}{2}[/mm] ?
> >
> > Und wie. Das gilt ganz ungeheuer obergehörig und
> > allergemeinst. Hier zumindest.
>
> Okay. Wenn das also mit dem q geklärt ist, brauche ich
> "nur" noch in diese Formel einsetzen?
Warum "klärst" Du das q eigentlich nicht?
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0 q^k = \lim_{n \to \infty}a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{a_0}{1-q}[/mm]
Ja. Man könnte [mm] a_0 [/mm] schon früher ausklammer, aber das ist nicht wichtig.
> > Es gäbe aber auch einen insgesamt einfacheren Weg.
> > Den müsste ich nur woanders im Thread anhängen,
> nämlich
> > ganz vorn. Also dazu gleich, in einem gesonderten Post.
>
> Ich glaube ich werfe dort erst dann einen Blick hinein,
> wenn es mir gelingt, diesen Lösungsweg erfolgreich über
> die Bühne zu bringen.
> Auf jeden Fall möchte ich mich für Deine Mühe und Hilfe
> vielmals bedanken.
Das gebe ich lieber ans ganze Forum weiter! Es funktioniert nur, weil zu jeder beliebigen Anfrage viele Leute zusammenarbeiten.
Aber im Namen dieser vielen: danke. Und gern geschehen.
Grüße
reverend
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| Aufgabe | Es soll die folgende Gleichung über b-adische Zahldarstellungen gezeigt werden:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2n+1}}=\bruch{2}{3} [/mm] $ |
Hallo rev,
> Hi,
>
> > > Nein, q bestimmst Du aus der (ganz allgemeinen) Gleichung
> > > [mm]q=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] und erhältst hier... Na, das ist
> > > ja noch einfach.
> >
> > Wie kommt diese Gleichung zustande (ich kann die in meiner
> > Formelsammlung der Höheren Mathematik vom Binomi-Verlag
> > nicht finden)?
>
> Aus der rekursiven Darstellung der geometrischen Reihe:
> [mm]a_{n+1}=q*a_n[/mm]
>
> > > > Zu [mm]$a_{0}:[/mm]
> > > > Gilt [mm]a_{0}=\bruch{1}{2}[/mm] ?
> > >
> > > Und wie. Das gilt ganz ungeheuer obergehörig und
> > > allergemeinst. Hier zumindest.
> >
> > Okay. Wenn das also mit dem q geklärt ist, brauche ich
> > "nur" noch in diese Formel einsetzen?
>
> Warum "klärst" Du das q eigentlich nicht?
ganz ehrlich: weil ich nicht weiß wie das geht. :-(
Ich starre die ganze Zeit auf meine Notizen mit den wichtigsten Anmerkungen der Beteiligten hier im Thread und kann das einfach nicht zusammenfügen:
$ [mm] s_{n}=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}+ [/mm] ... + [mm] \bruch{1}{2^{2n-1}}+\bruch{1}{2^{2n+1}} [/mm] $
$ [mm] q=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] $
Ich stochere hier wirklich die ganze Zeit schon im Nebel rum und trotz sämtlicher Lehrbücher, Formelsammlungen und Notizen (allesamt auf meinem Schreibtisch), komme ich hier mit dem q nicht weiter.
[mm]\sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0 q^k = \lim_{n \to \infty}a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{a_0}{1-q}[/mm]
> > Auf jeden Fall möchte ich mich für Deine Mühe und
> Hilfe
> > vielmals bedanken.
>
> Das gebe ich lieber ans ganze Forum weiter! Es funktioniert
> nur, weil zu jeder beliebigen Anfrage viele Leute
> zusammenarbeiten.
> Aber im Namen dieser vielen: danke. Und gern geschehen.
>
> Grüße
> reverend
Ich kann mich nur wiederholen.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Do 20.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Hallo Grieche
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2n+1}}= \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2^{2n}}=\bruch{1}{2}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2n}}=\bruch{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{4^n}=\bruch{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{4})^n$
[/mm]
Was ist nun wohl das lange gesuchte q ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 20.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Angela,
Danke für Deine Antwort.
> > Die beiden Zeilen hier, um die sich so lange alles gedreht
> > hat, sind doch eigentlich überflüssig?
>
> Falsch sind sie jedenfalls nicht, wenn klar ist, was hier
> mit [mm]a_k[/mm] gemeint ist.
> Überflüssig? Keine Ahnung. Für Dich wohl schon, für
> andere vielleicht nicht...
Zugegeben: es ist immer interessant die Hintergründe eines bestimmten Sachverhaltes zu ergründen (also das, was ein Studium eigentlich ausmachen sollte), aber angesichts der vielen Vorlesungen muss ich leider darauf achten, mich nur auf das Wesentliche zu konzentrieren.
> Gruß v. Angela
Gruß
el_grecco
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Hallo grec,
die sonst vorgeschlagene Lösung über die Summenformel für geometrische Reihen ist natürlich völlig ok und funktioniert. Das tut sie aber in jedem b-adischen System. Ich denke, dass der Aufgabensteller noch etwas anderes will.
> Es soll die folgende Gleichung über b-adische
> Zahldarstellungen gezeigt werden:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2n+1}}=\bruch{2}{3}[/mm]
Elementar notwendig ist es, das von den andern schon angesprochene q zu finden, das in der rekursiven Form [mm] a_{n+1}=q*a_{n} [/mm] vorkommt.
Bei solchen Aufgaben ist eine b-adische Lösung häufig leicht zu finden, wenn man [mm] b=\bruch{1}{q} [/mm] setzt, so auch hier.
Hier ist es hilfreich, zu wissen (oder auch erst zu zeigen), dass [mm] 0,\overline{1}_b=\bruch{1}{b-1} [/mm] ist.
Dann ist die Lösung ganz einfach, wenn man die Summe ein wenig umschreibt, da sich zeigt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{2n+1}}=\bruch{1}{2}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{4^n}=\summe_{\blue{k=1}}^{\infty}\bruch{2}{b^k}=2*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{b^k}
[/mm]
Fertig.
Ich habs aber mal so aufgeschrieben, dass man das nicht sofort merkt.
Grüße
reverend
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![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]"){kind=small}
