Stet. Hebbarkeit bei Def.lück. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Di 03.01.2012 | | Autor: | dudu93 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von
f(x) = [mm] \bruch{2x^2 + 5x - 12}{2x^2 + x - 6} [/mm]
und untersuchen Sie die Definitionslücken auf stetige Hebbarkeit. |
Hallo,
hier meine bisherige Lösung:
Def.bereich:
Nenner nullsetzen und mit pq-Formel nach x auflösen.
[mm] x^2 [/mm] + 0,5x - 3 = 0
[mm] x_1 [/mm] = 1,5
[mm] x_2 [/mm] = -2
[mm] D_f [/mm] = [mm] \IR [/mm] \ {-2;1,5}
Ist das so richtig?
_________________________________
Stetige Hebbarkeit bei den Def.lücken:
Hier komme ich noch nicht ganz weiter. Muss man die Definitionslücken (siehe oben) mit dem links- und rechtsseitigen Grenzwert auf die hebbaren Def.lücken prüfen?
Ich würde es so schreiben:
Rechtsseitiger GW:
[mm] f(x_0+) [/mm] = f(0+) = lim f(x) = [mm] \bruch{2x^2 + 5x - 12}{2x^2 + x - 6} [/mm]
Linksseitiger GW:
[mm] f(x_0-) [/mm] = f(0-) = lim f(x) = [mm] -\bruch{2x^2 + 5x - 12}{2x^2 + x - 6} [/mm]
Bei beiden GW strebt x jeweils gegen 0. Setzt man dann für x ebenfalls die beiden Def.lücken 1,5 und -2 ein?
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
LG
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> Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von
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> f(x) = [mm]\bruch{2x^2 + 5x - 12}{2x^2 + x - 6}[/mm]
>
> und untersuchen Sie die Definitionslücken auf stetige
> Hebbarkeit.
>
>
>
> Hallo,
> hier meine bisherige Lösung:
>
> Def.bereich:
>
> Nenner nullsetzen und mit pq-Formel nach x auflösen.
Hallo,
ja, denn weil man durch 0 nicht dividieren darf, mußt Du herausfinden, für welche x man diesen entsetzlichen Tatbestand hätte.
>
> [mm]x^2[/mm] + 0,5x - 3 = 0
>
> [mm]x_1[/mm] = 1,5
>
> [mm]x_2[/mm] = -2
>
> [mm]D_f[/mm] = [mm]\IR[/mm] \ {-2;1,5}
>
> Ist das so richtig?
Ja.
An den Stellen [mm] x_1=1.5 [/mm] und [mm] x_2=-2 [/mm] ist die Funktion nicht definiert.
Du kannst den Nenner übrigens mit Deinen neuen Erkenntnissen schreiben als 2(x-1.5)(x+2)
> _________________________________
>
> Stetige Hebbarkeit bei den Def.lücken:
Es geht nun darum, ob Du an den nicht definierten Stellen Funktionswerte so einflicken kannst, daß die "geflickte" Funktion stetig ist.
Wenn Du Dir die Funktion plottest, siehst Du sofort, ob, und wenn ja, wo das geht. Du solltest das unbedingt mal tun.
Nun möchte man dies aber auch rechnerisch unter Kontrolle bekommen.
Beginnen wir mit dem GW an der Stelle x=-2.
Es ist [mm] \lim_{x\to -2}f(x) [/mm] = [mm] $\bruch{2x^2 + 5x - 12}{2x^2 + x - 6}$ [/mm] = [mm] "\bruch{???}{???}". [/mm] (Setz mal -2 ein.)
An der Stelle x=1.5 ist die Situation anders, Du bekommst einen GW vom Typ [mm] "\bruch{0}{0}".
[/mm]
x=1.5 ist also auch Nullstelle des Zählers! Du kannst den Zähler schreiben als [mm] 2x^2 [/mm] + 5x - 12=2*(x-1.5)*(x-...).
Wenn Du das getan hast, kannst Du in der Funktion f den Term (x-1.5) kürzen und durch Einsetzen den GW leicht berechnen.
Gruß v. Angela
>
> Hier komme ich noch nicht ganz weiter. Muss man die
> Definitionslücken (siehe oben) mit dem links- und
> rechtsseitigen Grenzwert auf die hebbaren Def.lücken
> prüfen?
>
> Ich würde es so schreiben:
>
> Rechtsseitiger GW:
>
> [mm]f(x_0+)[/mm] = f(0+) = lim f(x) = [mm]\bruch{2x^2 + 5x - 12}{2x^2 + x - 6}[/mm]
>
> Linksseitiger GW:
>
> [mm]f(x_0-)[/mm] = f(0-) = lim f(x) = [mm]-\bruch{2x^2 + 5x - 12}{2x^2 + x - 6}[/mm]
>
> Bei beiden GW strebt x jeweils gegen 0. Setzt man dann für
> x ebenfalls die beiden Def.lücken 1,5 und -2 ein?
>
> Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Di 03.01.2012 | | Autor: | dudu93 |
Danke für die Antwort.
An der Stelle -2 habe ich für den Grenzwert -14/0 bzw. unendlich raus. Damit ist die Funktion an der Stelle -2 keine hebbare Lücke.
Bei -1,5 habe ich mal eingesetzt und es kommt wirklich 0/0 raus. Das mit dem Kürzen verstehe ich. Aber wie kommt man darauf, dass man Zähler und Nenner so schreiben muss? Mir ist klar, dass man dadurch kürzen kann, aber wie man diese Terme aufstellt, verstehe ich nicht. Hat das nicht irgendwie mit der Polynomdivision zu tun?
LG
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Hallo dudu93,
> Danke für die Antwort.
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> An der Stelle -2 habe ich für den Grenzwert -14/0 bzw.
> unendlich raus. Damit ist die Funktion an der Stelle -2
> keine hebbare Lücke.
>
> Bei -1,5 habe ich mal eingesetzt und es kommt wirklich 0/0
> raus. Das mit dem Kürzen verstehe ich. Aber wie kommt man
> darauf, dass man Zähler und Nenner so schreiben muss? Mir
> ist klar, dass man dadurch kürzen kann, aber wie man diese
> Terme aufstellt, verstehe ich nicht. Hat das nicht
> irgendwie mit der Polynomdivision zu tun?
>
Siehe dazu: Satz von Vieta
> LG
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Di 03.01.2012 | | Autor: | dudu93 |
Danke für den Link.
Ich habe nun geschrieben:
[mm] \bruch{2*(x-1,5)(x+4)}{2*(x-1,5)(x+2)} [/mm] = [mm] \bruch{2(x+4)}{2(x+2)} [/mm] = [mm] \bruch{x+4}{x+2} [/mm]
Dann habe ich für x jeweils 1,5 eingesetzt und rausbekommen:
[mm] \bruch{5,5}{3,5} [/mm] = [mm] \bruch{11}{7}
[/mm]
Schlussfolgerung: Die Fkt. ist in x = 1,5 stetig hebbar. Stimmt das so?
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Hallo dudu93,
> Danke für den Link.
> Ich habe nun geschrieben:
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> [mm]\bruch{2*(x-1,5)(x+4)}{2*(x-1,5)(x+2)}[/mm] =
> [mm]\bruch{2(x+4)}{2(x+2)}[/mm] = [mm]\bruch{x+4}{x+2}[/mm]
>
> Dann habe ich für x jeweils 1,5 eingesetzt und
> rausbekommen:
>
> [mm]\bruch{5,5}{3,5}[/mm] = [mm]\bruch{11}{7}[/mm]
>
> Schlussfolgerung: Die Fkt. ist in x = 1,5 stetig hebbar.
> Stimmt das so?
Ja, das stimmt so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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