Stetig-& Differenzierbarkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Mo 27.10.2008 | | Autor: | AbiGoere |
| Aufgabe | [mm] $f(x)=\bruch{(x^2-2x)}{(2-x)}$ [/mm] für [mm] $x\not=2$
[/mm]
$f(x)=-2$ für $x=2$
Differenzierbar bzw. Stetig an der Stelle [mm] $x_0=2$ [/mm] ??? |
Hallo Zusammen !!
Jetzt habt ihr mir so schön meine erste Aufgabe erklärt und nun habe ich diese seltsame Aufgabe, die mich richtig verwirrt ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") !
Mein Ansatz wäre gewesen, den links- & rechtsseitigen Limes auszurechnen, aber das geht hier gar nicht, oder?!
Es ist ja weder $< [mm] \le [/mm] > oder [mm] \ge$ [/mm] vorhanden.
Wie geht man denn jetzt vor?!
Ich bitte mal wieder dringend um Eure Hilfe!!!
*Lg*
AbiGöre
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo AbiGöre!
> Mein Ansatz wäre gewesen, den links- & rechtsseitigen Limes
> auszurechnen, aber das geht hier gar nicht, oder?!
Na klar geht das ... Forme hier um wie folgt:
[mm] $$\bruch{x^2-2x}{2-x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-x*(2-x)}{2-x} [/mm] \ = \ -x$$
Nun die Grenzwerte ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mo 27.10.2008 | | Autor: | AbiGoere |
Hallo Loddar und Danke für die schnelle Antwort!
[mm]\bruch{x^2-2x}{2-x} \ = \ \bruch{-x*(2-x)}{2-x} \ = \ -x[/mm]
Wenn ich nun, wie vorgegeben umforme, muss ich doch für das $-x$ auch [mm] $x_0=2$ [/mm] einsetzen, oder?!
Dann bekäme ich ja:
[mm]\bruch{x^2-2x}{2-x} \ = \ \bruch{-x*(2-x)}{2-x} \ = \ -x[/mm] = $-2$
Dann errechne ich also mit der 1. Definition den linksseitigen und mit der 2. Definition den rechtsseitigen Limes?!
Stimmt mein Gedankengang denn überhaupt?! Oder befinde ich mich mal wieder auf dem Holzweg?!
*Lg*
AbiGöre
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo AbiGöre!
> [mm]\bruch{x^2-2x}{2-x} \ = \ \bruch{-x*(2-x)}{2-x} \ = \ -x[/mm]
Dieser Term gilt doch nun für $x \ [mm] \not= [/mm] \ 2$ (denn sonst hätten wir auch nicht kürzen dürfen).
> Wenn ich nun, wie vorgegeben umforme, muss ich doch für das
> [mm]-x[/mm] auch [mm]x_0=2[/mm] einsetzen, oder?!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann bekäme ich ja:
>
> [mm]\bruch{x^2-2x}{2-x} \ = \ \bruch{-x*(2-x)}{2-x} \ = \ -x[/mm] = [mm]-2[/mm]
Unsauber aufgeschrieben ...
> Dann errechne ich also mit der 1. Definition den
> linksseitigen und mit der 2. Definition den rechtsseitigen Limes?!
Ne, Du kannst sowoehl für den linksseitigen wie auch für den rechtsseitigen Grenzwert den Funktionsterm [mm] $f^{\star}(x) [/mm] \ = \ -x$ verwenden.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo AbiGöre!
Du schmeißt hier einiges durcheinander. Die Stetigkeit ist Voraussetzung für die Differenzierbarkeit einer Funktion an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] .
Also müssen wir hier erst die Stetigkeit in [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 2$ zeigen.
Da gilt:
$$f(2) \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 2\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 2\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ -2$$
ist unsere Funktion auch in [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 2$ stetig.
Für die Differenzierbarkeit an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 2$ müssen wir zeigen:
$$f'(2) \ := \ [mm] \limes_{x\rightarrow 2\uparrow}\bruch{f(x)-f(2)}{x-2} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 2\downarrow}\bruch{f(x)-f(2)}{x-2} [/mm] \ = \ ...$$
Und dieser Diffenzialquotient ermittelt sich hier zu:
[mm] $$\bruch{f(x)-f(2)}{x-2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-x+2}{x-2} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
