Stetig. u. Abschl. d. Bildes < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Es sind (X,d) und [mm] (Y,\partial) [/mm] metrische Räume und f: X [mm] \to [/mm] Y stetige Abbildung.
Zeige, dass für beliebige Mengen A [mm] \subset [/mm] X und B [mm] \subset [/mm] Y gilt: [mm] f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)} [/mm] und [mm] \overline{f^{-1}(B)} \subset f^{-1}(\overline{B}) [/mm] |
Ich muss diese Aufgabe lösen, kann mir aber den ersten Teil schon nicht vorstellen. Für mich sind beide Seiten gleich, also [mm] f(\overline{A}) [/mm] = [mm] \overline{f(A)}. [/mm] Ich habe bereits gesucht und bin in einem Forum auf folgende Funktion gestoßen, mit der gezeigt werden soll, dass die Seiten nicht gleich sind. Die Funktion war wie folgt definiert: [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \\ 1, & \mbox{für } x \ge \mbox{ 0} \end{cases}
[/mm]
Aber diese Funktion verletzt doch die Stetigkeitsvoraussetzung. Wo liegt mein Denkfehler?
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
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> Es sind (X,d) und [mm](Y,\partial)[/mm] metrische Räume und f: X
> [mm]\to[/mm] Y stetige Abbildung.
> Zeige, dass für beliebige Mengen A [mm]\subset[/mm] X und B
> [mm]\subset[/mm] Y gilt: [mm]f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}[/mm] und
> [mm]\overline{f^{-1}(B)} \subset f^{-1}(\overline{B})[/mm]
> Ich
> muss diese Aufgabe lösen, kann mir aber den ersten Teil
> schon nicht vorstellen. Für mich sind beide Seiten gleich,
> also [mm]f(\overline{A})[/mm] = [mm]\overline{f(A)}.[/mm] Ich habe bereits
> gesucht und bin in einem Forum auf folgende Funktion
> gestoßen, mit der gezeigt werden soll, dass die Seiten
> nicht gleich sind. Die Funktion war wie folgt definiert:
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \\ 1, & \mbox{für } x \ge \mbox{ 0} \end{cases}[/mm]
>
> Aber diese Funktion verletzt doch die
> Stetigkeitsvoraussetzung. Wo liegt mein Denkfehler?
> Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Hallo Calculu,
ich denke, dass da nicht Du einem Denkfehler erliegst,
sondern eher jemand aus dem Forum, der diese Funktion f
vorgeschlagen hat. Diese ist ja offenbar an der Stelle x=0
nicht stetig.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:34 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Calculu |
Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank für deine Antwort. Das beruhigt mich jetzt erstmal. Aber trotzdem kann ich mir [mm] f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)} [/mm] nicht vorstellen. Wie kann [mm] f(\overline{A}) [/mm] Teilmenge von [mm] \overline{f(A)} [/mm] sein? Über ein Beispiel würde ich mich sehr freuen. Läuft der Beweis dann über Widerspruch?
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> vielen Dank für deine Antwort. Das beruhigt mich jetzt
> erstmal. Aber trotzdem kann ich mir [mm]f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}[/mm]
> nicht vorstellen. Wie kann [mm]f(\overline{A})[/mm] Teilmenge von
> [mm]\overline{f(A)}[/mm] sein? Über ein Beispiel würde ich mich
> sehr freuen. Läuft der Beweis dann über Widerspruch?
Du hast doch gesagt:
" Für mich sind beide Seiten gleich, also $ [mm] f(\overline{A}) [/mm] $ = $ [mm] \overline{f(A)}. [/mm] $ "
Falls du das noch beweisen kannst, ist alles OK, denn diese
Aussage widerspricht nicht der Aussage [mm]f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}[/mm] ! (***)
LG , Al-Chw.
(***) Man kann es aber eben nicht beweisen, weil es im
Allgemeinen nicht gilt. Siehe diesen Beitrag von Fred
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:51 Mi 23.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Es sind (X,d) und [mm](Y,\partial)[/mm] metrische Räume und f: X
> [mm]\to[/mm] Y stetige Abbildung.
> Zeige, dass für beliebige Mengen A [mm]\subset[/mm] X und B
> [mm]\subset[/mm] Y gilt: [mm]f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}[/mm] und
> [mm]\overline{f^{-1}(B)} \subset f^{-1}(\overline{B})[/mm]
> Ich
> muss diese Aufgabe lösen, kann mir aber den ersten Teil
> schon nicht vorstellen. Für mich sind beide Seiten gleich,
> also [mm]f(\overline{A})[/mm] = [mm]\overline{f(A)}.[/mm]
EDIT: Hatte nicht realisiert, dass es sich um den Abschluss handelt. Passage daher gestrichen. (siehe Nachricht von Fred97).
Nein, wenn die Abbildung zB nicht surjektiv ist, dann gibt es Elemente [mm] $y\inY$ [/mm] ohne Urbild. Die liegen dann zwar in [mm] $\overline{f(A)}$ [/mm] aber nicht in [mm] $f(\overline{A})$. [/mm]
Und wenn die Abbildung nicht injektiv ist, kann es ein Element [mm] $b\inY$ [/mm] geben, für welches es ein [mm] $a\in{A}$ [/mm] und auch ein [mm] $\overline{a}\in\overline{A}=X\backslash{A}$ [/mm] mit [mm] $f(a)=f(\overline{a})=b$ [/mm] gibt. Dieses [mm] $\;b$ [/mm] liegt nun in [mm] $\;f(A)$ [/mm] und auch in [mm] $f(\overline{A})$, [/mm] aber nicht in [mm] $\overline{f(A)}$.
[/mm]
Auf der Basis müsste sich ein Gegenbeispiel zu $ [mm] f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)} [/mm] $ zB mit [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] konstruieren lassen, denke ich. [mm] $X=\IR$, $Y=\IR^{+}_0$, $\;A=\{1\}$, $\overline{A}=\IR\backslash{\{1\}}$,[/mm] [mm]f(A)=\{1\}[/mm], [mm] $\overline{f(A)}=\IR^+_0\backslash{\{1\}} [/mm] $ und [mm] $f(\overline{A})=\IR^+_0$.
[/mm]
> Ich habe bereits
> gesucht und bin in einem Forum auf folgende Funktion
> gestoßen, mit der gezeigt werden soll, dass die Seiten
> nicht gleich sind. Die Funktion war wie folgt definiert:
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \\ 1, & \mbox{für } x \ge \mbox{ 0} \end{cases}[/mm]
>
> Aber diese Funktion verletzt doch die
> Stetigkeitsvoraussetzung.
Ja, die Heaviside-Funktion ist zweifelsohne in 0 nicht stetig.
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:27 Mi 23.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Es sind (X,d) und [mm](Y,\partial)[/mm] metrische Räume und f: X
> > [mm]\to[/mm] Y stetige Abbildung.
> > Zeige, dass für beliebige Mengen A [mm]\subset[/mm] X und B
> > [mm]\subset[/mm] Y gilt: [mm]f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}[/mm] und
> > [mm]\overline{f^{-1}(B)} \subset f^{-1}(\overline{B})[/mm]
> >
> Ich
> > muss diese Aufgabe lösen, kann mir aber den ersten Teil
> > schon nicht vorstellen. Für mich sind beide Seiten gleich,
> > also [mm]f(\overline{A})[/mm] = [mm]\overline{f(A)}.[/mm]
> Nein, wenn die Abbildung zB nicht surjektiv ist, dann gibt
> es Elemente [mm]y\inY[/mm] ohne Urbild. Die liegen dann zwar in
> [mm]\overline{f(A)}[/mm] aber nicht in [mm]f(\overline{A})[/mm].
>
> Und wenn die Abbildung nicht injektiv ist, kann es ein
> Element [mm]b\inY[/mm] geben, für welches es ein [mm]a\in{A}[/mm] und auch
> ein [mm]\overline{a}\in\overline{A}=X\backslash{A}[/mm] mit
> [mm]f(a)=f(\overline{a})=b[/mm] gibt. Dieses [mm]\;b[/mm] liegt nun in [mm]\;f(A)[/mm]
> und auch in [mm]f(\overline{A})[/mm], aber nicht in
> [mm]\overline{f(A)}[/mm].
> Auf der Basis müsste sich ein Gegenbeispiel zu
> [mm]f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}[/mm] zB mit [mm]f(x)=x^2[/mm]
> konstruieren lassen, denke ich. [mm]X=\IR[/mm], [mm]Y=\IR^{+}_0[/mm],
> [mm]\;A=\{1\}[/mm], [mm]\overline{A}=\IR\backslash{\{1\}}[/mm], [mm]f(A)=\{1\}[/mm],
> [mm]$\overline{f(A)}=\IR^+_0\backslash{\{1\}}[/mm] $ und
> [mm]$f(\overline{A})=\IR^+_0.[/mm]
Hallo Rmix,
mit [mm] \overline{A} [/mm] ist nicht das Komplement von A gemeint, sondern der topologische Abschluss von A.
Gruß FRED
>
> > Ich habe bereits
> > gesucht und bin in einem Forum auf folgende Funktion
> > gestoßen, mit der gezeigt werden soll, dass die Seiten
> > nicht gleich sind. Die Funktion war wie folgt definiert:
> > [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \\ 1, & \mbox{für } x \ge \mbox{ 0} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Aber diese Funktion verletzt doch die
> > Stetigkeitsvoraussetzung.
> Ja, die Heaviside-Funktion ist zweifelsohne in 0 nicht
> stetig.
>
> Gruß RMix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Mi 23.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es sind (X,d) und [mm](Y,\partial)[/mm] metrische Räume und f: X
> [mm]\to[/mm] Y stetige Abbildung.
> Zeige, dass für beliebige Mengen A [mm]\subset[/mm] X und B
> [mm]\subset[/mm] Y gilt: [mm]f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}[/mm] und
> [mm]\overline{f^{-1}(B)} \subset f^{-1}(\overline{B})[/mm]
> Ich
> muss diese Aufgabe lösen, kann mir aber den ersten Teil
> schon nicht vorstellen. Für mich sind beide Seiten gleich,
> also [mm]f(\overline{A})[/mm] = [mm]\overline{f(A)}.[/mm]
Das ist i.a. falsch !
Beispiel: [mm] X=Y=\IR [/mm] , [mm] d(x,y)=\partial(x,y)=|x-y|, $f(x)=\arctan(x)$ [/mm] und [mm] A=\IR.
[/mm]
Dann ist $A= [mm] \overline{A}, [/mm] $
[mm] $f(\overline{A})=f(A)=(- \bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2})$
[/mm]
und
[mm] $\overline{f(A)}=[- \bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}]$
[/mm]
> Ich habe bereits
> gesucht und bin in einem Forum auf folgende Funktion
> gestoßen, mit der gezeigt werden soll, dass die Seiten
> nicht gleich sind. Die Funktion war wie folgt definiert:
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \\ 1, & \mbox{für } x \ge \mbox{ 0} \end{cases}[/mm]
>
> Aber diese Funktion verletzt doch die
> Stetigkeitsvoraussetzung.
Ja
> Wo liegt mein Denkfehler?
Wie gesagt: i.a. ist [mm]f(\overline{A})[/mm] [mm] \ne[/mm] [mm]\overline{f(A)}.[/mm]
FRED
> Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Calculu |
Vielen Dank für die vielen Beiträge. Ich kann mir jetzt das zu zeigende vorstellen.
Leider kann ich den Beweis noch nicht führen und bräuchte einen Hinweis, ob meine Idee in die richtige Richtung geht:
Angenommen [mm] f(\overline{A}) \not\subset \overline{f(A)}. [/mm] Dann muss [mm] f(\overline{A}) \subset [/mm] y\ [mm] \overline{f(A)} [/mm] und y\ [mm] \overline{f(A)} [/mm] offen da [mm] \overline{f(A)} [/mm] abgeschlossen. Jetzt weiß ich aber nicht richtig weiter. Ich will die Stetigekti ausnutzen und, dass Urbilder offener/abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen offen/abgeschlossen sind. Also ist [mm] f^{-1}(y [/mm] \ [mm] \overline{f(A)}) [/mm] offen. Wäre nun [mm] f(\overline{A}) [/mm] = y\ [mm] \overline{f(A)} [/mm] könnte ich dies zu dem Widerspruch führen, da [mm] \overline{A} [/mm] per Definiton schon abgeschlossen ist.
Wie kann ich also jetzt weiter machen :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Mi 23.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die vielen Beiträge. Ich kann mir jetzt
> das zu zeigende vorstellen.
> Leider kann ich den Beweis noch nicht führen und
> bräuchte einen Hinweis, ob meine Idee in die richtige
> Richtung geht:
> Angenommen [mm]f(\overline{A}) \not\subset \overline{f(A)}.[/mm]
> Dann muss [mm]f(\overline{A}) \subset[/mm] y\ [mm]\overline{f(A)}[/mm]
Nein. Wie kommst Du darauf ?
> und y\
> [mm]\overline{f(A)}[/mm] offen da [mm]\overline{f(A)}[/mm] abgeschlossen.
> Jetzt weiß ich aber nicht richtig weiter. Ich will die
> Stetigekti ausnutzen und, dass Urbilder
> offener/abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen
> offen/abgeschlossen sind. Also ist [mm]f^{-1}(y[/mm] \
> [mm]\overline{f(A)})[/mm] offen. Wäre nun [mm]f(\overline{A})[/mm] = y\
> [mm]\overline{f(A)}[/mm] könnte ich dies zu dem Widerspruch
> führen, da [mm]\overline{A}[/mm] per Definiton schon abgeschlossen
> ist.
> Wie kann ich also jetzt weiter machen :-(
Machen wirs zu Fuß und mit Folgen:
Sei y [mm] \in f(\overline{A}). [/mm] Dann gibt es ein x [mm] \in \overline{A} [/mm] mit y=f(x).
Weiter gibt es eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in A mit [mm] d(x_n,x) \to [/mm] 0 (also [mm] x_n \to [/mm] x in (X,d)).
Was treibt nun die Folge [mm] (f(x_n)) [/mm] ?
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Calculu |
> > Vielen Dank für die vielen Beiträge. Ich kann mir jetzt
> > das zu zeigende vorstellen.
> > Leider kann ich den Beweis noch nicht führen und
> > bräuchte einen Hinweis, ob meine Idee in die richtige
> > Richtung geht:
> > Angenommen [mm]f(\overline{A}) \not\subset \overline{f(A)}.[/mm]
> > Dann muss [mm]f(\overline{A}) \subset[/mm] y\ [mm]\overline{f(A)}[/mm]
>
> Nein. Wie kommst Du darauf ?
Weil [mm] f(\overline{A}) \subset [/mm] Y und Wenn [mm] f(\overline{A}) \not\subset \overline{f(A)} \subset [/mm] Y, dann muss [mm] f(\overline{A}) \subset [/mm] y\ [mm] \overline{f(A)}
[/mm]
>
>
>
> > und y\
> > [mm]\overline{f(A)}[/mm] offen da [mm]\overline{f(A)}[/mm] abgeschlossen.
> > Jetzt weiß ich aber nicht richtig weiter. Ich will die
> > Stetigekti ausnutzen und, dass Urbilder
> > offener/abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen
> > offen/abgeschlossen sind. Also ist [mm]f^{-1}(y[/mm] \
> > [mm]\overline{f(A)})[/mm] offen. Wäre nun [mm]f(\overline{A})[/mm] = y\
> > [mm]\overline{f(A)}[/mm] könnte ich dies zu dem Widerspruch
> > führen, da [mm]\overline{A}[/mm] per Definiton schon abgeschlossen
> > ist.
> > Wie kann ich also jetzt weiter machen :-(
>
>
> Machen wirs zu Fuß und mit Folgen:
>
> Sei y [mm]\in f(\overline{A}).[/mm] Dann gibt es ein x [mm]\in \overline{A}[/mm]
> mit y=f(x).
>
> Weiter gibt es eine Folge [mm](x_n)[/mm] in A mit [mm]d(x_n,x) \to[/mm] 0
> (also [mm]x_n \to[/mm] x in (X,d)).
>
> Was treibt nun die Folge [mm](f(x_n))[/mm] ?
Sie geht gegen f(x). Aber wieso geht [mm] d(x_n,x) \to [/mm] 0. Müsste dazu nicht A kompakt sein?
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Mi 23.07.2014 | | Autor: | hippias |
> >
> > Machen wirs zu Fuß und mit Folgen:
> >
> > Sei y [mm]\in f(\overline{A}).[/mm] Dann gibt es ein x [mm]\in \overline{A}[/mm]
> > mit y=f(x).
> >
> > Weiter gibt es eine Folge [mm](x_n)[/mm] in A mit [mm]d(x_n,x) \to[/mm] 0
> > (also [mm]x_n \to[/mm] x in (X,d)).
> >
> > Was treibt nun die Folge [mm](f(x_n))[/mm] ?
>
> Sie geht gegen f(x). Aber wieso geht [mm]d(x_n,x) \to[/mm] 0.
> Müsste dazu nicht A kompakt sein?
Weil die Folge so gewaehlt war: s.o.
> >
> > FRED
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Mi 23.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Vielen Dank für die vielen Beiträge. Ich kann mir jetzt
> > > das zu zeigende vorstellen.
> > > Leider kann ich den Beweis noch nicht führen und
> > > bräuchte einen Hinweis, ob meine Idee in die richtige
> > > Richtung geht:
> > > Angenommen [mm]f(\overline{A}) \not\subset \overline{f(A)}.[/mm]
> > > Dann muss [mm]f(\overline{A}) \subset[/mm] y\ [mm]\overline{f(A)}[/mm]
> >
> > Nein. Wie kommst Du darauf ?
>
> Weil [mm]f(\overline{A}) \subset[/mm] Y und Wenn [mm]f(\overline{A}) \not\subset \overline{f(A)} \subset[/mm]
> Y, dann muss [mm]f(\overline{A}) \subset[/mm] y\ [mm]\overline{f(A)}[/mm]
Nein. Nix muss !
>
> >
> >
> >
> > > und y\
> > > [mm]\overline{f(A)}[/mm] offen da [mm]\overline{f(A)}[/mm] abgeschlossen.
> > > Jetzt weiß ich aber nicht richtig weiter. Ich will die
> > > Stetigekti ausnutzen und, dass Urbilder
> > > offener/abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen
> > > offen/abgeschlossen sind. Also ist [mm]f^{-1}(y[/mm] \
> > > [mm]\overline{f(A)})[/mm] offen. Wäre nun [mm]f(\overline{A})[/mm] = y\
> > > [mm]\overline{f(A)}[/mm] könnte ich dies zu dem Widerspruch
> > > führen, da [mm]\overline{A}[/mm] per Definiton schon abgeschlossen
> > > ist.
> > > Wie kann ich also jetzt weiter machen :-(
> >
> >
> > Machen wirs zu Fuß und mit Folgen:
> >
> > Sei y [mm]\in f(\overline{A}).[/mm] Dann gibt es ein x [mm]\in \overline{A}[/mm]
> > mit y=f(x).
> >
> > Weiter gibt es eine Folge [mm](x_n)[/mm] in A mit [mm]d(x_n,x) \to[/mm] 0
> > (also [mm]x_n \to[/mm] x in (X,d)).
> >
> > Was treibt nun die Folge [mm](f(x_n))[/mm] ?
>
> Sie geht gegen f(x). Aber wieso geht [mm]d(x_n,x) \to[/mm] 0.
Was bedeutet denn x [mm] \in \overline{A} [/mm] ?
FRED
> Müsste dazu nicht A kompakt sein?
> >
> > FRED
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Calculu |
> > > > Vielen Dank für die vielen Beiträge. Ich kann mir jetzt
> > > > das zu zeigende vorstellen.
> > > > Leider kann ich den Beweis noch nicht führen und
> > > > bräuchte einen Hinweis, ob meine Idee in die richtige
> > > > Richtung geht:
> > > > Angenommen [mm]f(\overline{A}) \not\subset \overline{f(A)}.[/mm]
> > > > Dann muss [mm]f(\overline{A}) \subset[/mm] y\ [mm]\overline{f(A)}[/mm]
> > >
> > > Nein. Wie kommst Du darauf ?
> >
> > Weil [mm]f(\overline{A}) \subset[/mm] Y und Wenn [mm]f(\overline{A}) \not\subset \overline{f(A)} \subset[/mm]
> > Y, dann muss [mm]f(\overline{A}) \subset[/mm] y\ [mm]\overline{f(A)}[/mm]
>
> Nein. Nix muss !
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> > >
> > > > und y\
> > > > [mm]\overline{f(A)}[/mm] offen da [mm]\overline{f(A)}[/mm] abgeschlossen.
> > > > Jetzt weiß ich aber nicht richtig weiter. Ich will die
> > > > Stetigekti ausnutzen und, dass Urbilder
> > > > offener/abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen
> > > > offen/abgeschlossen sind. Also ist [mm]f^{-1}(y[/mm] \
> > > > [mm]\overline{f(A)})[/mm] offen. Wäre nun [mm]f(\overline{A})[/mm] = y\
> > > > [mm]\overline{f(A)}[/mm] könnte ich dies zu dem Widerspruch
> > > > führen, da [mm]\overline{A}[/mm] per Definiton schon abgeschlossen
> > > > ist.
> > > > Wie kann ich also jetzt weiter machen :-(
> > >
> > >
> > > Machen wirs zu Fuß und mit Folgen:
> > >
> > > Sei y [mm]\in f(\overline{A}).[/mm] Dann gibt es ein x [mm]\in \overline{A}[/mm]
> > > mit y=f(x).
> > >
> > > Weiter gibt es eine Folge [mm](x_n)[/mm] in A mit [mm]d(x_n,x) \to[/mm] 0
> > > (also [mm]x_n \to[/mm] x in (X,d)).
> > >
> > > Was treibt nun die Folge [mm](f(x_n))[/mm] ?
> >
> > Sie geht gegen f(x). Aber wieso geht [mm]d(x_n,x) \to[/mm] 0.
>
> Was bedeutet denn x [mm]\in \overline{A}[/mm] ?
Das bedeutet, dass x aus dem Abschluss von A ist. Der Abschluss von A ist abgeschlossen und eine abgeschlossenen Mengen enthält alle ihre Häufungspunkt. Deshalb kann ich sagen, dass [mm] d(x_n,x) \to [/mm] 0.
>
> FRED
>
>
> > Müsste dazu nicht A kompakt sein?
> > >
> > > FRED
> > >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Mi 23.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Vielen Dank für die vielen Beiträge. Ich kann mir jetzt
> > > > > das zu zeigende vorstellen.
> > > > > Leider kann ich den Beweis noch nicht führen
> und
> > > > > bräuchte einen Hinweis, ob meine Idee in die richtige
> > > > > Richtung geht:
> > > > > Angenommen [mm]f(\overline{A}) \not\subset \overline{f(A)}.[/mm]
> > > > > Dann muss [mm]f(\overline{A}) \subset[/mm] y\ [mm]\overline{f(A)}[/mm]
> > > >
> > > > Nein. Wie kommst Du darauf ?
> > >
> > > Weil [mm]f(\overline{A}) \subset[/mm] Y und Wenn [mm]f(\overline{A}) \not\subset \overline{f(A)} \subset[/mm]
> > > Y, dann muss [mm]f(\overline{A}) \subset[/mm] y\ [mm]\overline{f(A)}[/mm]
> >
> > Nein. Nix muss !
> >
> >
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> > > >
> > > >
> > > >
> > > > > und y\
> > > > > [mm]\overline{f(A)}[/mm] offen da [mm]\overline{f(A)}[/mm] abgeschlossen.
> > > > > Jetzt weiß ich aber nicht richtig weiter. Ich will die
> > > > > Stetigekti ausnutzen und, dass Urbilder
> > > > > offener/abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen
> > > > > offen/abgeschlossen sind. Also ist [mm]f^{-1}(y[/mm] \
> > > > > [mm]\overline{f(A)})[/mm] offen. Wäre nun [mm]f(\overline{A})[/mm] = y\
> > > > > [mm]\overline{f(A)}[/mm] könnte ich dies zu dem Widerspruch
> > > > > führen, da [mm]\overline{A}[/mm] per Definiton schon abgeschlossen
> > > > > ist.
> > > > > Wie kann ich also jetzt weiter machen :-(
> > > >
> > > >
> > > > Machen wirs zu Fuß und mit Folgen:
> > > >
> > > > Sei y [mm]\in f(\overline{A}).[/mm] Dann gibt es ein x [mm]\in \overline{A}[/mm]
> > > > mit y=f(x).
> > > >
> > > > Weiter gibt es eine Folge [mm](x_n)[/mm] in A mit [mm]d(x_n,x) \to[/mm] 0
> > > > (also [mm]x_n \to[/mm] x in (X,d)).
> > > >
> > > > Was treibt nun die Folge [mm](f(x_n))[/mm] ?
> > >
> > > Sie geht gegen f(x). Aber wieso geht [mm]d(x_n,x) \to[/mm] 0.
> >
> > Was bedeutet denn x [mm]\in \overline{A}[/mm] ?
>
> Das bedeutet, dass x aus dem Abschluss von A ist. Der
> Abschluss von A ist abgeschlossen und eine abgeschlossenen
> Mengen enthält alle ihre Häufungspunkt. Deshalb kann ich
> sagen, dass [mm]d(x_n,x) \to[/mm] 0.
Genauer: x [mm]\in \overline{A}[/mm] [mm] \gdw [/mm] es ex. eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in A mit [mm] x_n \to [/mm] x (in (X,d), also [mm] d(x_n,x) \to [/mm] 0)
FRED
>
> >
> > FRED
> >
> >
> > > Müsste dazu nicht A kompakt sein?
> > > >
> > > > FRED
> > > >
> > >
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Calculu |
> > > > > > Vielen Dank für die vielen Beiträge. Ich kann mir jetzt
> > > > > > das zu zeigende vorstellen.
> > > > > > Leider kann ich den Beweis noch nicht
> führen
> > und
> > > > > > bräuchte einen Hinweis, ob meine Idee in die richtige
> > > > > > Richtung geht:
> > > > > > Angenommen [mm]f(\overline{A}) \not\subset \overline{f(A)}.[/mm]
> > > > > > Dann muss [mm]f(\overline{A}) \subset[/mm] y\ [mm]\overline{f(A)}[/mm]
> > > > >
> > > > > Nein. Wie kommst Du darauf ?
> > > >
> > > > Weil [mm]f(\overline{A}) \subset[/mm] Y und Wenn [mm]f(\overline{A}) \not\subset \overline{f(A)} \subset[/mm]
> > > > Y, dann muss [mm]f(\overline{A}) \subset[/mm] y\ [mm]\overline{f(A)}[/mm]
> > >
> > > Nein. Nix muss !
> > >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > > und y\
> > > > > > [mm]\overline{f(A)}[/mm] offen da [mm]\overline{f(A)}[/mm] abgeschlossen.
> > > > > > Jetzt weiß ich aber nicht richtig weiter. Ich will die
> > > > > > Stetigekti ausnutzen und, dass Urbilder
> > > > > > offener/abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen
> > > > > > offen/abgeschlossen sind. Also ist [mm]f^{-1}(y[/mm] \
> > > > > > [mm]\overline{f(A)})[/mm] offen. Wäre nun [mm]f(\overline{A})[/mm] = y\
> > > > > > [mm]\overline{f(A)}[/mm] könnte ich dies zu dem Widerspruch
> > > > > > führen, da [mm]\overline{A}[/mm] per Definiton schon abgeschlossen
> > > > > > ist.
> > > > > > Wie kann ich also jetzt weiter machen :-(
> > > > >
> > > > >
> > > > > Machen wirs zu Fuß und mit Folgen:
> > > > >
> > > > > Sei y [mm]\in f(\overline{A}).[/mm] Dann gibt es ein x [mm]\in \overline{A}[/mm]
> > > > > mit y=f(x).
> > > > >
> > > > > Weiter gibt es eine Folge [mm](x_n)[/mm] in A mit [mm]d(x_n,x) \to[/mm] 0
> > > > > (also [mm]x_n \to[/mm] x in (X,d)).
> > > > >
> > > > > Was treibt nun die Folge [mm](f(x_n))[/mm] ?
> > > >
> > > > Sie geht gegen f(x). Aber wieso geht [mm]d(x_n,x) \to[/mm] 0.
> > >
> > > Was bedeutet denn x [mm]\in \overline{A}[/mm] ?
> >
> > Das bedeutet, dass x aus dem Abschluss von A ist. Der
> > Abschluss von A ist abgeschlossen und eine abgeschlossenen
> > Mengen enthält alle ihre Häufungspunkt. Deshalb kann ich
> > sagen, dass [mm]d(x_n,x) \to[/mm] 0.
>
> Genauer: x [mm]\in \overline{A}[/mm] [mm]\gdw[/mm] es ex. eine Folge [mm](x_n)[/mm]
> in A mit [mm]x_n \to[/mm] x (in (X,d), also [mm]d(x_n,x) \to[/mm] 0)
>
Ok, aber wie mache ich jetzt weiter?
> FRED
> >
> > >
> > > FRED
> > >
> > >
> > > > Müsste dazu nicht A kompakt sein?
> > > > >
> > > > > FRED
> > > > >
> > > >
> > >
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Mi 23.07.2014 | | Autor: | hippias |
>
> Ok, aber wie mache ich jetzt weiter?
>
Du bist fertig: Sieh einmal nach, was Du eigentlich zeigen wolltest und sammle, was bisher gezeigt wurde.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Calculu |
Hm, also ich bin nicht sicher, ob ich es verstanden habe.
Ich fasse mal zusammen:
Sei [mm] y=f(\overline{A}), [/mm] dann [mm] \exists [/mm] x [mm] \in \overline{A} [/mm] sodass f(x)=y. Da x [mm] \in \overline{A} [/mm] exist. konv. Folge [mm] x_{n} \in [/mm] A mit [mm] d(x_{n},x) \to [/mm] 0 und somit gilt für jedes Bild unter der stetigen Funktion f: [mm] f(x_{n}) \to [/mm] f(x). Dies wiederum gilt für alle [mm] x_{n} \in [/mm] A und somit muss f(A) abgeschlossen sein.
Wie zeige ich nun die zweite Aussage? Nehme ich mir da ein y [mm] \in \overline{B} [/mm] oder starte ich ganz anders?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hm, also ich bin nicht sicher, ob ich es verstanden habe.
> Ich fasse mal zusammen:
> Sei [mm]y=f(\overline{A}),[/mm] dann [mm]\exists[/mm] x [mm]\in \overline{A}[/mm]
> sodass f(x)=y.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Das folgt per Definitionem des Begriffs "Bildmenge".)
> Da x [mm]\in \overline{A}[/mm] exist. konv. Folge
> [mm]x_{n} \in[/mm] A mit [mm]d(x_{n},x) \to[/mm] 0
Letzteres folgt, weil es für [mm] $\overline{A}$ [/mm] folgende Charakterisierung gibt (die formal
jetzt nur etwas grob da steht):
[mm] $\overline{A}=\{x \in X:\;\text{es existieren} x_n \in \red{A} \text{ mit }x_n \to x\}\,.$
[/mm]
> und somit gilt für jedes
> Bild
Von welchen Bildern sprechen wir? Es gilt für die Folge [mm] $(y_n)_n$ [/mm] in [mm] $Y\,,$ [/mm] die
durch [mm] $f(x_n)=:y_n$ [/mm] definiert ist:
> unter der stetigen Funktion f: [mm]f(x_{n}) \to[/mm] f(x).
Genau: [mm] $f\,$ [/mm] ist stetig auf [mm] $X\,,$ [/mm] und wir wissen [mm] $x_n \to x\,,$ [/mm] also folgt
[mm] $f(x_n)=y_n$ $\stackrel{\partial}{\to} f(x)=y\,.$
[/mm]
> Dies
> wiederum gilt für alle [mm]x_{n} \in[/mm] A und somit muss f(A)
> abgeschlossen sein.
???
Wir hatten mit $y [mm] \in f(\overline{A})$ [/mm] angefangen. Dann ist doch $y [mm] \in \overline{f(A)}$ [/mm] zu zeigen.
Wegen [mm] $y_n \in [/mm] f(A)$ (s.o.) und wegen $f(A) [mm] \subseteqq \overline{f(A)}$ [/mm] folgt dann [mm] $y_n \in \overline{f(A)}\,.$
[/mm]
Die Menge ganz rechts ist (in [mm] $Y\,$) [/mm] abgeschlossen. Du hast nun in dieser Menge
eine Folge stehen (nämlich die Folge der [mm] $y_n$), [/mm] die in [mm] $Y\,$ [/mm] konvergent ist.
Was folgt dann für den Grenzwert der Folge der [mm] $y_n$?
[/mm]
> Wie zeige ich nun die zweite Aussage? Nehme ich mir da ein
> y [mm]\in \overline{B}[/mm] oder starte ich ganz anders?
Du hast
[mm] $U:=\overline{f^{-1}(B)} \subseteqq f^{-1}(\overline{B})=:V$
[/mm]
zu zeigen. Du willst also zeigen:
Für alle $x [mm] \in [/mm] U$ folgt $x [mm] \in V\,.$
[/mm]
Also startest Du mit:
"Sei $x [mm] \in [/mm] U$ (beliebig, aber fest). Dann..."
Also der Anfang könnte so aussehen:
Sei $x [mm] \in \overline{f^{-1}(B)}\,.$ [/mm] Dann existieren [mm] $x_n \in f^{-1}(B)$ [/mm] mit
[mm] $x_n \to x\,.$
[/mm]
...
(Was nützlich sein könnte: Wegen $B [mm] \subseteqq \overline{B}$ [/mm] folgt auch
[mm] $f^{-1}(B) \subseteqq f^{-1}(\overline{B})\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Calculu |
> Hallo,
>
> > Hm, also ich bin nicht sicher, ob ich es verstanden habe.
> > Ich fasse mal zusammen:
> > Sei [mm]y=f(\overline{A}),[/mm] dann [mm]\exists[/mm] x [mm]\in \overline{A}[/mm]
> > sodass f(x)=y.
>
> (Das folgt per Definitionem des Begriffs
> "Bildmenge".)
>
> > Da x [mm]\in \overline{A}[/mm] exist. konv. Folge
> > [mm]x_{n} \in[/mm] A mit [mm]d(x_{n},x) \to[/mm] 0
>
> Letzteres folgt, weil es für [mm]\overline{A}[/mm] folgende
> Charakterisierung gibt (die formal
> jetzt nur etwas grob da steht):
>
> [mm]\overline{A}=\{x \in X:\;\text{es existieren} x_n \in \red{A} \text{ mit }x_n \to x\}\,.[/mm]
>
> > und somit gilt für jedes
> > Bild
>
> Von welchen Bildern sprechen wir? Es gilt für die Folge
> [mm](y_n)_n[/mm] in [mm]Y\,,[/mm] die
> durch [mm]f(x_n)=:y_n[/mm] definiert ist:
>
> > unter der stetigen Funktion f: [mm]f(x_{n}) \to[/mm] f(x).
>
> Genau: [mm]f\,[/mm] ist stetig auf [mm]X\,,[/mm] und wir wissen [mm]x_n \to x\,,[/mm]
> also folgt
>
> [mm]f(x_n)=y_n[/mm] [mm]\stackrel{\partial}{\to} f(x)=y\,.[/mm]
>
> > Dies
> > wiederum gilt für alle [mm]x_{n} \in[/mm] A und somit muss f(A)
> > abgeschlossen sein.
>
> ???
>
> Wir hatten mit [mm]y \in f(\overline{A})[/mm] angefangen. Dann ist
> doch [mm]y \in \overline{f(A)}[/mm] zu zeigen.
>
> Wegen [mm]y_n \in f(A)[/mm] (s.o.) und wegen [mm]f(A) \subseteqq \overline{f(A)}[/mm]
> folgt dann [mm]y_n \in \overline{f(A)}\,.[/mm]
>
> Die Menge ganz rechts ist (in [mm]Y\,[/mm]) abgeschlossen. Du hast
> nun in dieser Menge
> eine Folge stehen (nämlich die Folge der [mm]y_n[/mm]), die in [mm]Y\,[/mm]
> konvergent ist.
> Was folgt dann für den Grenzwert der Folge der [mm]y_n[/mm]?
Es folgt, dass der Grenzwert von [mm] y_{n} [/mm] auch in [mm] \overline{f(A)} [/mm] liegt.
> > Wie zeige ich nun die zweite Aussage? Nehme ich mir da ein
> > y [mm]\in \overline{B}[/mm] oder starte ich ganz anders?
>
> Du hast
>
> [mm]U:=\overline{f^{-1}(B)} \subseteqq f^{-1}(\overline{B})=:V[/mm]
>
> zu zeigen. Du willst also zeigen:
> Für alle [mm]x \in U[/mm] folgt [mm]x \in V\,.[/mm]
>
> Also startest Du mit:
> "Sei [mm]x \in U[/mm] (beliebig, aber fest). Dann..."
>
> Also der Anfang könnte so aussehen:
> Sei [mm]x \in \overline{f^{-1}(B)}\,.[/mm] Dann existieren [mm]x_n \in f^{-1}(B)[/mm]
> mit
>
> [mm]x_n \to x\,.[/mm]
> ...
>
> (Was nützlich sein könnte: Wegen [mm]B \subseteqq \overline{B}[/mm]
> folgt auch
>
> [mm]f^{-1}(B) \subseteqq f^{-1}(\overline{B})\,.[/mm])
Ok, also ich wähle ein festes aber beliebiges x [mm] \in \overline{f^{-1}(B)}. [/mm] Dann existiert ein [mm] x_{n} \in f^{-1}(B) [/mm] mit [mm] x_{n} \to [/mm] x und somit [mm] d(x_{n},x)=0. [/mm] Da f stetig, ist [mm] f(x_{n}) \in [/mm] B und da B [mm] \subseteq \overline{B}, [/mm] ist [mm] f(x_{n}) \in \overline{B} [/mm] und damit ist auch f(x) [mm] \in \overline{B}. [/mm] Somit gilt x [mm] \in f^{-1}(\overline{B}) [/mm] .
Stimmt das?
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Hm, also ich bin nicht sicher, ob ich es verstanden habe.
> > > Ich fasse mal zusammen:
> > > Sei [mm]y=f(\overline{A}),[/mm] dann [mm]\exists[/mm] x [mm]\in \overline{A}[/mm]
> > > sodass f(x)=y.
> >
> > (Das folgt per Definitionem des Begriffs
> > "Bildmenge".)
> >
> > > Da x [mm]\in \overline{A}[/mm] exist. konv. Folge
> > > [mm]x_{n} \in[/mm] A mit [mm]d(x_{n},x) \to[/mm] 0
> >
> > Letzteres folgt, weil es für [mm]\overline{A}[/mm] folgende
> > Charakterisierung gibt (die formal
> > jetzt nur etwas grob da steht):
> >
> > [mm]\overline{A}=\{x \in X:\;\text{es existieren} x_n \in \red{A} \text{ mit }x_n \to x\}\,.[/mm]
>
> >
> > > und somit gilt für jedes
> > > Bild
> >
> > Von welchen Bildern sprechen wir? Es gilt für die Folge
> > [mm](y_n)_n[/mm] in [mm]Y\,,[/mm] die
> > durch [mm]f(x_n)=:y_n[/mm] definiert ist:
> >
> > > unter der stetigen Funktion f: [mm]f(x_{n}) \to[/mm] f(x).
> >
> > Genau: [mm]f\,[/mm] ist stetig auf [mm]X\,,[/mm] und wir wissen [mm]x_n \to x\,,[/mm]
> > also folgt
> >
> > [mm]f(x_n)=y_n[/mm] [mm]\stackrel{\partial}{\to} f(x)=y\,.[/mm]
> >
> > > Dies
> > > wiederum gilt für alle [mm]x_{n} \in[/mm] A und somit muss f(A)
> > > abgeschlossen sein.
> >
> > ???
> >
> > Wir hatten mit [mm]y \in f(\overline{A})[/mm] angefangen. Dann ist
> > doch [mm]y \in \overline{f(A)}[/mm] zu zeigen.
> >
> > Wegen [mm]y_n \in f(A)[/mm] (s.o.) und wegen [mm]f(A) \subseteqq \overline{f(A)}[/mm]
> > folgt dann [mm]y_n \in \overline{f(A)}\,.[/mm]
> >
> > Die Menge ganz rechts ist (in [mm]Y\,[/mm]) abgeschlossen. Du hast
> > nun in dieser Menge
> > eine Folge stehen (nämlich die Folge der [mm]y_n[/mm]), die in
> [mm]Y\,[/mm]
> > konvergent ist.
> > Was folgt dann für den Grenzwert der Folge der [mm]y_n[/mm]?
>
> Es folgt, dass der Grenzwert von [mm]y_{n}[/mm] auch in
> [mm]\overline{f(A)}[/mm] liegt.
Genau - also haben wir $y [mm] \in \overline{f(A)}\,$ [/mm] erkannt - also genau das, was wir
erkennen wollten!
> > > Wie zeige ich nun die zweite Aussage? Nehme ich mir da ein
> > > y [mm]\in \overline{B}[/mm] oder starte ich ganz anders?
> >
> > Du hast
> >
> > [mm]U:=\overline{f^{-1}(B)} \subseteqq f^{-1}(\overline{B})=:V[/mm]
>
> >
> > zu zeigen. Du willst also zeigen:
> > Für alle [mm]x \in U[/mm] folgt [mm]x \in V\,.[/mm]
> >
> > Also startest Du mit:
> > "Sei [mm]x \in U[/mm] (beliebig, aber fest). Dann..."
> >
> > Also der Anfang könnte so aussehen:
> > Sei [mm]x \in \overline{f^{-1}(B)}\,.[/mm] Dann existieren [mm]x_n \in f^{-1}(B)[/mm]
> > mit
> >
> > [mm]x_n \to x\,.[/mm]
> > ...
> >
> > (Was nützlich sein könnte: Wegen [mm]B \subseteqq \overline{B}[/mm]
> > folgt auch
> >
> > [mm]f^{-1}(B) \subseteqq f^{-1}(\overline{B})\,.[/mm])
> Ok, also
> ich wähle ein festes aber beliebiges x [mm]\in \overline{f^{-1}(B)}.[/mm]
> Dann existiert ein [mm]x_{n} \in f^{-1}(B)[/mm]
Ne, es existieren [mm] $x_n \in f^{-1}(B)$ [/mm] mit ... ("ein [mm] $x_n$" [/mm] würde ja nur
das [mm] $n\,$-te [/mm] Folgeglied einer Folge [mm] $(x_k)_{k=1}^\infty$ [/mm] meinen...)
Schöner formuliert:
Es existiert eine Folge [mm] $(x_n)_{n=1}^\infty \in (f^{-1}(B))^{\IN}$ [/mm] (letzteres bedeutet:
es sind (für) alle ($n [mm] \in \IN$ [/mm] die) [mm] $x_n \in f^{-1}(B)$)... [/mm] [jetzt kann man bei dem zitierten
Text weiterlesen]...
> mit [mm]x_{n} \to[/mm] x und
> somit [mm]d(x_{n},x)=0.[/mm] Da f stetig, ist
sind alle
> [mm]f(x_{n}) \in[/mm] B und da
> B [mm]\subseteq \overline{B},[/mm] ist
Dafür brauchst Du keine Stetigkeit: Wenn alle [mm] $x_n \in f^{-1}(B)\,,$ [/mm] dann folgt
[mm] $f(x_n) \in [/mm] B$ für alle [mm] $n\,$
[/mm]
und dann
[mm] $f(x_n) \in \overline{B}$ [/mm] für alle [mm] $n\,$ [/mm] (wegen $B [mm] \subseteqq \overline{B}$)
[/mm]
und daher
[mm] $x_n \in f^{-1}(\overline{B})$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$
[/mm]
Ich hatte das bei meinem Vorschlag halt anders herum aufgezogen, weil
man normalerweise relativ schnell am Anfang des Studiums lernt:
Ist $f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ und sind $W,Z [mm] \in \text{Pot}(Y)\,,$ [/mm] so gilt:
$W [mm] \subseteq [/mm] Z$ [mm] $\Rightarrow$ $f^{-1}(W) \subseteqq f^{-1}(Z)\,.$
[/mm]
Diese Aussage hat man meist auf einem der ersten Übungsblätter zu
beweisen.
> [mm]f(x_{n}) \in \overline{B}[/mm]
Okay - das gilt für alle [mm] $n\,.$
[/mm]
> und damit ist auch f(x) [mm]\in \overline{B}.[/mm]
Genau: Es gilt für alle [mm] $n\,:$
[/mm]
[mm] $f(x_n) \in [/mm] B [mm] \subseteq \overline{B}$
[/mm]
und da
[mm] $x_n \stackrel{d}{\to} x\,,$
[/mm]
liefert die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] und die Abgeschlossenheit von [mm] $\overline{B}$
[/mm]
[mm] $f(x)=\lim_{n \to \infty} f(x_n) \in \overline{B}\,.$
[/mm]
> Somit gilt x [mm]\in f^{-1}(\overline{B})[/mm]
> .
> Stimmt das?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Calculu |
Marcel, vielen Dank für deine Mühe. Du hast es wirklich sehr gut erklärt und ich hab es dadurch auch verstanden!
Viele Grüße!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Marcel, vielen Dank für deine Mühe.
gerne.
> Du hast es wirklich
> sehr gut erklärt und ich hab es dadurch auch verstanden!
Freut mich, das zu hören. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 So 27.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Wir haben:
1. [mm] $f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(\overline{B}) [/mm] $
und
2. [mm] f^{-1}(\overline{B}) [/mm] ist abgeschlossen, da f stetig ist.
Also: [mm] \overline{ f^{-1}(B)} \subseteq \overline{ f^{-1}(\overline{B})}= f^{-1}(\overline{B})
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe erst jetzt gelesen, dass Fred eh schon das sagte, was ich Dir in
meiner Antwort sagte.
Mal kurz:
> > Machen wirs zu Fuß und mit Folgen:
> >
> > Sei y [mm]\in f(\overline{A}).[/mm] Dann gibt es ein x [mm]\in \overline{A}[/mm]
> > mit y=f(x).
> >
> > Weiter gibt es eine Folge [mm](x_n)[/mm] in A mit [mm]d(x_n,x) \to[/mm] 0
> > (also [mm]x_n \to[/mm] x in (X,d)).
> >
> > Was treibt nun die Folge [mm](f(x_n))[/mm] ?
>
> Sie geht gegen f(x). Aber wieso geht [mm]d(x_n,x) \to[/mm] 0.
> Müsste dazu nicht A kompakt sein?
Mach' Dir bitte klar: Ist [mm] $(X,d)\,$ [/mm] metrischer Raum und $A [mm] \subseteq X\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $(\star)$ $\overline{A}=\{x \in X: \exists \text{ eine Folge }(x_n)_n \text{ in }A\text{(!!) mit }x_n \to x\},$
[/mm]
wobei hier
[mm] $x_n \to [/mm] x$ genauer als [mm] $x_n \stackrel{d}{\to} [/mm] x$ bzw. [mm] $d(x_n,x) \to [/mm] 0$ (in [mm] $\IR$)
[/mm]
zu verstehen ist.
Hinweis: Vielleicht hast Du ja schonmal folgendes gesehen:
[mm] $\overline{A}=A \cup (\text{Häufungspunkte von }A)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sind (X,d) und [mm](Y,\partial)[/mm] metrische Räume und f: X
> [mm]\to[/mm] Y stetige Abbildung.
> Zeige, dass für beliebige Mengen A [mm]\subset[/mm] X und B
> [mm]\subset[/mm] Y gilt: [mm]f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}[/mm]
warum machst Du sowas hier - wir sind ja in metrischen Räumen - nicht
einfach mit Folgen?
Sei [mm] $y_0 \in f(\overline{A})\,.$ [/mm] Dann existiert ein [mm] $x_0 \in \overline{A}$ [/mm] mit [mm] $f(x_0)=y_0\,.$ [/mm] Folglich existieren
[mm] $x_n \in [/mm] A$ mit [mm] $x_n \to x_0\,.$ [/mm] Demnach gilt
[mm] $f(x_n)=:y_n \in [/mm] f(A) [mm] \subseteq \overline{f(A)}$
[/mm]
für alle [mm] $n\,.$ [/mm] Die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] hat
[mm] $y_n=f(x_n) \to f(x_0)=y_0$
[/mm]
zur Folge. Da [mm] $\overline{f(A)}$ [/mm] abgeschlossen ist, folgt also
[mm] $y_0 \in \overline{f(A)}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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