www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis" - Stetig ? Differenzierbar ?
Stetig ? Differenzierbar ? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Stetig ? Differenzierbar ?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Mi 28.12.2005
Autor: Lavanya

Aufgabe
Sei f (x) = x fuer x<1 und f(x) = [mm] \bruch{ x^{2}}{2} [/mm] +  [mm] \bruch{1}{2} [/mm] fuer
x [mm] \ge1 [/mm] . Ist f ueberall differenzierbar ? Bestimmen Sie f' an allen Stellen, an denen es existiert. Ist f' auf seinem Definitionsbereich stetig und Ist f' auf seinem Definitionsbereich differenzierbar ?

Ohhhhhhhh gott, kann ich da nur sagen.

kann mir hier jemand weiter helfen? Wie muss ich hier anfangen ?

Gruss Lavanya

        
Bezug
Stetig ? Differenzierbar ?: Ansätze
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Mi 28.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Lavanya!


Damit eine Funktion an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar ist, muss sie an dieser Stelle stetig sein und für die Ableitungsfunktion müssen sowohl der rechtsseitige Grenzwert und der linksseitige Grenzwert existieren und übereinstimmen.

[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für }x \ < \ 1 \mbox{} \\ \bruch{x^2}{2}+\bruch{1}{2}, & \mbox{für } x \ \ge \ 1 \mbox{} \end{cases} [/mm]


In den Bereichen rechts und links der "Nahtstelle" [mm] $x_0=1$ [/mm] besteht die Funktion aus differenzierbaren Teilfunktionen.


Hierfür können wir die Ableitungsfunktion bereits angeben:

[mm] f'(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für }x \ < \ 1 \mbox{} \\ x, & \mbox{für } x \ \red{>} \ 1 \mbox{} \end{cases} [/mm]


Kritisch ist also die Nahtstelle bei [mm] $x_0=1$ [/mm] . Hier müssen wir nun die beiden Grenzwerte ermitteln und vergleichen:

[mm] $\limes_{x\rightarrow 1\uparrow}f'(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1\uparrow}1 [/mm] \ = \ ...$

sowie

[mm] $\limes_{x\rightarrow 1\downarrow}f'(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1\downarrow}x [/mm] \ = \ ...$


Wenn diese beiden Grenzwerte übereinstimmen, ist die Funktion auch an der Stelle [mm] $x_0=1$ [/mm] differenzierbar (weil ja eine eindeutige Ableitung vorliegt).


Um nun auch [mm] $f\red{'}$ [/mm] auf seine Differenzierbarkeit zu überprüfen, muss diese Untersuchung dann auch für [mm] $f\red{''}$ [/mm] durchgeführt werden. Da sollte das Ergebnis aber schnell ersichtlich sein.


Gruß
Loddar


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]