Stetig, Offene Urbilder. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | f: [mm] \IR \supset [/mm] X -> [mm] \IR [/mm] ist stetig auf X genau dann , wenn für jede offene Menge U [mm] \subset \IR, f^{-1} [/mm] (U) offen in X ist. |
Hallo , ich verstehe den beweis für die Hinrichtung => nicht.
U [mm] \subset [/mm] R ist offen , f stetig
[mm] \exists x_0 \in f^{-1} [/mm] (U) ebtrachte [mm] f(x_0) \in [/mm] U
U ist offen => [mm] \exists \epsilon [/mm] >0 [mm] U_\epsilon (f(x_0)) \subset [/mm] U.
Weil f stetig ist [mm] \exists \delta>0 [/mm] : x [mm] \in U_\delta (x_0) [/mm] => f(x) [mm] \in U_\epsilon (f(x_0))
[/mm]
=> [mm] \forall x_0 \in f^{-1} [/mm] (U) : [mm] \exists \delta>0 [/mm] mit [mm] U_\delta (x_0) \cap [/mm] X [mm] \subset f^{-1} [/mm] (U)
=> [mm] f^{-1} [/mm] (U) ist offen.
Ich verstehe den Vorletzten Folgepfeil nicht, den ich von den anderen etwas abgetrennt habe.
Würde mich freuen, wenn mir das wer eklären könnte, da die Aussage des Satzes wichtig ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Fr 19.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo theresetom,
der Beweis ist wirklich nicht schön aufgeschrieben...
> U [mm]\subset[/mm] R ist offen , f stetig
> [mm]\exists x_0 \in f^{-1}[/mm] (U)
Quatsch. Wird aber auch nirgendwo gebraucht. Gemeint offensichtlich:
SEI [mm] $x_0\in f^{-1}(U)$.
[/mm]
> ebtrachte [mm]f(x_0) \in[/mm] U
> U ist offen => [mm]\exists \epsilon[/mm] >0 [mm]U_\epsilon (f(x_0)) \subset[/mm] U.
> Weil f stetig ist [mm]\exists \delta>0[/mm] : x [mm]\in U_\delta (x_0)\red{\cap X}[/mm]
> => [mm]f(x)\in \red{\underbrace{\black{U_\epsilon (f(x_0))}}_{\subseteq U}}[/mm]
Also haben wir für alle [mm] $x\in U_\delta (x_0)\cap [/mm] X$ die Gültigkeit von [mm] $f(x)\in [/mm] U$, also [mm] $x\in f^{-1}(U)$.
[/mm]
Also [mm] $U_\delta(x_0)\cap X\subseteq f^{-1}(U)$.
[/mm]
> => [mm]\forall x_0 \in f^{-1}[/mm] (U) : [mm]\exists \delta>0[/mm] mit
> [mm]U_\delta (x_0) \cap[/mm] X [mm]\subset f^{-1}[/mm] (U)
> => [mm]f^{-1}[/mm] (U) ist offen in X.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:33 Fr 19.10.2012 | | Autor: | theresetom |
Danke , dass ist super erklärt, trotzdem noch eine Frage:
> Also $ [mm] U_\delta(x_0)\cap X\subseteq f^{-1}(U) [/mm] $.
Wieso folgt daraus dann dass [mm] f^{-1} [/mm] (U) offen ist?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Fr 19.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Also [mm]U_\delta(x_0)\cap X\subseteq f^{-1}(U) [/mm].
> Wieso folgt daraus dann dass [mm]f^{-1}[/mm] (U) offen ist?
Behauptet werden soll nicht, dass [mm] $f^{-1}(U)$ [/mm] eine offene Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] ist, sondern lediglich, dass [mm] $f^{-1}(U)$ [/mm] offen in X ist.
Wie habt ihr "offen in [mm] $X\subseteq\IR$" [/mm] definiert?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Fr 19.10.2012 | | Autor: | theresetom |
Hallo
Achso das in X hattest du ja hinzugefügt, das hab ich übersehen.
Nun ist das klar.
LG,
Vielen DANK!!
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