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Stetig fortsetzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:55 Sa 09.06.2007
Autor: barsch

Aufgabe
Eine Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] sei definiert durch

[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{2*\wurzel{x+2}-2}{x+1}, & \mbox{für } x \mbox{ > -1} \\ \bruch{1-x^2}{x^2+3x+2}, & \mbox{für } x \mbox{ < -1} \\ a, & \mbox{für } x \mbox{ = -1} \end{cases} [/mm]

Kann a so gewählt werden, das f auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig ist?

Hi,

ich komme ab einem gewissen Punkt nicht mehr weiter. Ich stelle mir die Frage, ob f stetig fortsetzbar ist im Punkt x=-1.

Ich habe es einfach mal mit dem Limes versucht:

Für x < (-1):

[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{1-x^2}{x^2+3x+2}\underbrace{=}_{LHopital}\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{-2x}{2x+3}=-2 [/mm]


Für x > (-1):

[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{2*\wurzel{x+2}-2}{x+1} \underbrace{=}_{LHopital}\bruch{1}{\wurzel{x+2}}=1 [/mm]

Hier denke ich, muss etwas falsch sein, weil wenn ich die Funktion zeichne, geht sie gegen -2.

Und dann wäre sie stetig fortsetzbar, mit a=-2. Oder?!

Wo ist mein Denkfehler?

MfG

barsch

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Stetig fortsetzen: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:14 Sa 09.06.2007
Autor: Loddar

Hallo barsch!



> Für x < (-1):
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{1-x^2}{x^2+3x+2}\underbrace{=}_{LHopital}\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{-2x}{2x+3}=-2[/mm]

[notok] Hier erhalte ich jedoch als Grenzwert [mm] $\red{+} [/mm] \ 2$ . Du musst ja im Zähler rechnen $-2*(-1) \ = \ +2$ .

Es geht auch ohne de l'Hospital, indem Du den Nenner zerlegst in [mm] $x^2+3x+2 [/mm] \ = \ (x+1)*(x+2)$ und kürzt.

  

> Für x > (-1):
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{2*\wurzel{x+2}-2}{x+1} \underbrace{=}_{LHopital}\bruch{1}{\wurzel{x+2}}=1[/mm]
>  
> Hier denke ich, muss etwas falsch sein, weil wenn ich die
> Funktion zeichne, geht sie gegen -2.

Dann zeichnest Du falsch. Denn ich erhalte sowohl rechnerisch als auch zeichnerisch jeweils $+1_$ .

  

> Und dann wäre sie stetig fortsetzbar, mit a=-2. Oder?!

Nein, da rechtsseitiger und linksseitiger grenzwert nicht übereinstimmen, ist diese Funktion für kein [mm] $a\in\IR$ [/mm] stetig ergänzbar.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Stetig fortsetzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:32 Sa 09.06.2007
Autor: barsch

Vielen Dank.

Aber meine Vorgehensweise ist richtig?

Das beruhigt mich ja.

MfG

barsch

Bezug
                        
Bezug
Stetig fortsetzen: Ja!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:52 Sa 09.06.2007
Autor: Loddar

Hallo barsch!


> Aber meine Vorgehensweise ist richtig?

[ok]


Gruß
Loddar


Bezug
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