Stetig invertierbar < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:30 Sa 24.11.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Mit [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] bezeichne ich die Fouriertransformation.
Sei [mm] $T_k\colon L_2(\mathbb{R})\to L_2(\mathbb{R}), f\mapsto \int_{\mathbb{R}}f(s-t)k(t)\, [/mm] dt$
die Faltung mit einem glatten Faltungskern [mm] $k\in\mathcal{S},k\neq [/mm] 0$.
Beachte, daß [mm] $M_{\lambda}=\mathcal{F}(\lambda id-T_k)\mathcal{F}^{-1}$ [/mm] genau dann eine stetige Inverse besitzt, wenn [mm] $\lambda id-T_k$ [/mm] stetig invertierbar ist.
Sofern ein offenes Intervall [mm] $U\in\mathbb{R}$ [/mm] existiert, sodass [mm] $(\mathcal{F}k)(\omega)=(\2\pi)^{n/2}\omega$ [/mm] auf $U$, so ist [mm] $M_r$ [/mm] nicht stetig invertierbar für [mm] $r\in [/mm] U$.
Hinweis: Faltungsformeln der Fouriertransformation |
Ich weiß nicht so richtig, was ich hier zeigen soll.
Ich versteh das so:
Angenommen, es gibt ein offenes Intervall [mm] $U\in\mathbb{R}$, [/mm] sodass [mm] $(\mathcal{F}k)(\omega)=(2\pi)^{n/2}\omega, \omega\in [/mm] U$, dann soll ich zeigen, daß [mm] $M_{r}, r\in [/mm] U$ nicht stetig invertierbar ist.
Dann muss ich nach dem "Beachte..." doch zeigen, dass
$r [mm] id-T_k$ [/mm] nicht stetig invertierbar ist?
Wie mache ich das? Kann ich einen Tipp bekommen?
--Die Faltungsformeln sind
(1) [mm] $\mathcal{F}(f\star g)=(2\pi)^{n/2}\mathcal{F}(f)\cdot\mathcal{F}(g)$
[/mm]
(2) [mm] $(2\pi)^{n/2}\mathcal{F}(f\cdot g)=\mathcal{F}(f)\star\mathcal{F}(g)$
[/mm]
Wie ich die hier jetzt aber anwenden soll, weiß ich nicht...
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Sa 24.11.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | | Ich soll auch zeigen, daß [mm] $T_k$ [/mm] normal ist. |
Dafür habe ich schon den adjungierten Operator $T'_k$ bestimmt.
Es gilt:
[mm] $T_k\colon f\mapsto k\star [/mm] f$ und
[mm] $T'_k=\overline{k}\star [/mm] f$
Jetzt muss ich ja zeigen, daß [mm] $T_kT'_k=T'_kT_k$.
[/mm]
Ich weiß aber nicht, wie man das ausrechnet.
[mm] $T_kT'_k=k\star (\overline{k}\star [/mm] f)$, würde ich meinen.
Aber was ist
[mm] $T'_kT_k$?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Sa 24.11.2012 | | Autor: | dennis2 |
Hallo, mikexx!
Auf Deine erste Frage weiß ich leider keine Antwort, aber die Normalität zu zeigen, nachdem Du den Adjungierten Operator schon ermittelt hast, ist jetzt eigentlich nicht mehr schwer.
Dass Du es bis jetzt nicht geschafft hast, zu zeigen, mag daran liegen, dass die Schreibweise [mm] $T'_k=\overline{k}\star [/mm] f$ ein bisschen unsauber und verwirrend ist.
Der ursprüngliche Operator macht doch Folgendes, er bildet ein [mm] $f\in L_2(\mathbb{R})$ [/mm] auf die Faltung [mm] $k\star [/mm] f$ ab, also
[mm] $T_k\colon f\mapsto k\star [/mm] f$.
Der Adjungierte Operator bildet, was Du vermutlich meinst, dann ein Element [mm] $f\in L_2(\mathbb{R})$ [/mm] auf [mm] $\overline{k}\star [/mm] f$ ab, also
[mm] $T'_k\colon f\mapsto \overline{k}\star [/mm] f$.
Jetzt ist nur noch zu zeigen, dass
[mm] $T_k(T'_k f)=T'_k(T_k [/mm] f)$ für alle [mm] $f\in L_2(\mathbb{R})$ [/mm] und das ist nicht mehr schwer, wenn Du an gewisse Eigenschaften der Faltung denkst.
Viele Grüße
Dennis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 24.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Irgendwie komme ich mit dieser Aufgabe mal so gar nicht klar!
Ich sehe nicht, wie ich den Hinweis (Faltungsformeln nutzen) verwenden kann... und nichtmal einen Ansatz habe ich...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 20:15 So 25.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Man soll doch zeigen, daß [mm] $r\cdot\mbox{id}-T_k$ [/mm] für [mm] $r\in [/mm] U$ nicht stetig invertierbar ist.
Vielleicht fängt man so an:
[mm] $(r\cdot\mbox{id}-T_k)(f)=r\cdot [/mm] f [mm] -T_k(f)=r\cdot [/mm] f - [mm] k\star [/mm] f$
Wenn man hierauf die Fouriertransformation anwendet, hat man
[mm] $r\cdot \mathcal{F}(f)-(2\pi)^{n/2}\mathcal{F}(k)\cdot\mathcal{F}(f)$
[/mm]
Weiter weiß ich nicht. 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Di 27.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 26.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
