Stetig nur im Nullpunkt < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe 1 | Zeigen Sie, dass die Funktion
f : [mm] \IR \to \IR [/mm] : x [mm] \mapsto \begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \end{cases}
[/mm]
nur im Nullpunkt stetig ist. |
| Aufgabe 2 | Ist die Funktion
g : [mm] \IQ \to \IR [/mm] : x [mm] \mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le \wurzel{2} \\ 1, & \mbox{für } x \ge \wurzel{2} \end{cases}
[/mm]
stetig? Beweisen sie ihre Antwort. |
Wie gehe ich hier überhaupt vor? Bräuchte einen Ansatz oder eine Idee, was zu tun ist.
LG Tommy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Mo 07.12.2009 | | Autor: | nooschi |
zu 1:
dass die Funktion in allen anderen Punkten als 0 nicht stetig ist, hast du schnell gezeigt, konstruiere zwei Folgen [mm] x_{n}, [/mm] welche zu einem x konvergieren, aber einen unterschiedlichen Grenzwert haben. d.h. einmal nimmst du als Folgeglieder nur rationale Zahlen, die konvegieren gegen 0 und das andere mal nimmst du irrationale Zahlen, die konvergieren gegen 1.
um zu zeigen, dass die Fkt in 0 stetig ist, musst du wohl epsilon-delta Kriterium verwenden.
zu 2:
schreibfehler?, das ist keine Funktion, da du für [mm] x=\wurzel{2} [/mm] zwei verschiedene Funktionswerte hast. aber grundsätzlich wie 1:
Fkt. ist in [mm] \wurzel{2} [/mm] nicht stetig (zu zeigen mit zwei Folgen, welche unterschiedlichen Grenzwert haben, also zB [mm] a_{n}=\wurzel{2}-1/n, b_{n}=\wurzel{2}+1/n).
[/mm]
der Rest ist stetig, da konstante Funktion (falls ihr das noch nicht bewiesen habt, musst du das halt mit epsilon-delta-Kriterium zeigen)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Bitte poste nächstemal als Antwort, dann kann man dich auch korrigieren.
Die 2. Funktion ist sehr wohl eine Funktion und sie ist sogar stetig..... und zwar überall
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Mo 07.12.2009 | | Autor: | nooschi |
hmm ja stimmt, hab das Q übersehen :P
ich dachte mitteilung ist besser, damit andere (welche vielleicht Sinnvollere Antworten haben) auch antworten...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Doemmi |
Sorry, die zweite Funktion stimmt tatsächlich nicht. Die Gleichheit ist in beiden Fällen ausgeschlossen. Also für x = [mm] \wurzel{2} [/mm] ist die Funktion wohl nicht definiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Ob die Gleichheit dasteht, oder nicht, spielt für diese Funktion keine Rolle..... nur warum nicht?
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Hiho,
wie mein "Vorposter" schon sagte, ist bei der ersten Funktion die Unstetigkeit für [mm] $x\not= [/mm] 0$ recht schnell gezeigt (überleg dir mal, wie die Funktion aussieht).
Die Stetigkeit im Punkt 0 kannst du entweder per [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] zeigen oder per Folgenstetigkeit, wobei ich persönlich zweiteres bevorzugen würde, da es recht schnell geht :)
Aber das ist Ansichtssache.
Zur Zweiten Funktion: Hier kannst du ganz leicht mit [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] zeigen, dass die Funktion stetig ist auf ihrem gesammten Definitionsbereich.
Hast du eine Idee, wie du dein [mm] \delta [/mm] wählen könntest, damit $|f(x) - f(y)| < [mm] \varepsilon$ [/mm] immer gilt für [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] ?
MFG,
Gono.
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