Stetig oder unstetig? < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 Do 10.01.2008 | | Autor: | Lea90 |
Hallo, bin habe eine Frage und zwar habe ich einige Probleme in Mathematik und bin in der 11 Klasse einer Gymnasium.
Wir haben das Thema Stetigkeit oder Unstetigkeit, womit ich leider garnicht zurecht komme. Ich habe eine Aufgaben, würde mich freuen, wenn einer sie mir erläutern könnte, wie es gerechnet wird.
f: [mm] \IR->\IR; f(x)=\begin{cases} sinx, & \ \ x\ge0 \\ x^3, & { x<0} \end{cases}
[/mm]
g: [mm] \IR->\IR; g(x)=singnx:=\begin{cases} |x| / x , & \ \ x\not= 0\ \\ 0 , & { x=0} \end{cases}
[/mm]
Bedanke mich schon im voraus.
Mfg
Lea
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:52 Do 10.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Lea und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ihr habt doch sicher in der Schule einen Satz aufgeschrieben, wann eine Funktion stetig ist? den solltest du uns aufschreiben, denn verschiedene Lehrer machen das verschieden.
Erstmal anschaulich: überall, wo du den Graph einer Funktion zeichnen könntest, ohne den Stift abzusetzen ist die Funktion stetif. So ist f(x)=x [mm] f(x=x^2 [/mm] f(x)=sinx überall stetig.
aber f(x)=1/x ist bei 0 nicht stetig, wenn du von liinks her zeichnest verschwindet dein Strich bie [mm] -\infty, [/mm] wenn du von rechts kommst geht sie nach ++infty. also ist sie bei x=0 nicht stetig, aber bei x=1/1000 schon, weil du sie von x=1/500 über x=1/100 bis x=1/2000 wenigstens theoretisch zeichnen könntest.
jetzt zu deinen zusammengesetzen fkt. links von 0 und für 0 ist es sinx, das kannst du für alle negativen x zeichnen. rechts von 0 ist es [mm] x^3, [/mm] das kannst du auch für alle pos. x zeichnen. wenn du bei der 0 von rechts ankommst kommst du auch bei 0 an und kannst ohne Abzusetzen dann den sin. Zeichnen.
2. Funktion |x|/x ist für negative x -1 für positive x +1
für alle neg. x kannst du die fkt also zeichnen. bei 0 würde da 0/0 stehen, das ist nicht definiert, aber die Vorschrift sagt da ist f(x)=0 wenn du also von links kommst und die Gerade y=-1 zeichnest kannst du das bei 0 nicht ohne abzusetzen, du musst mit dem Stift "springen", dann nach rechts noch mal springen, weil ja jetzt die Gerade y=+1 kommt. also ist die 2te Funktion bei x=0 unstetig sie hat eine "Sprungstelle"
Das war jetzt die anschauliche Vorstellung. um es wie im Unterricht verlangt zu machen, musst du schreiben, was ihr aufgeschrieben habt. das ist wahrscheinlich weniger anschaulich. aber auch das versucht dann jemand dir klar zu machen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Do 10.01.2008 | | Autor: | Lea90 |
Ich wollte mich erst mal bei Ihnen bedanken, ich hab es einigermaßen verstanden :D Es ist sehr hilfreich, wenn jemand anderes die Aufgaben erläutert, anstatt der Lehrer.
Ich habe einige Aufgaben gerechnet, würde mich sehr freuen, wenn mir jemand sagen könnte, ob sie stimmen und ich richtig vorgegangen bin.
[mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR f(x)=\begin{cases} |x|, & \mbox x<1\\ cos(x-1), & \mbox x \ge\end{cases}
[/mm]
Ich habe bei diese Aufgabe festegestellt, dass sie stetig ist, da man den Grapfen zeichnen kann ohne den Stift abzusetzen.
Die nächste Aufgabe wäre diese:
[mm] \IR \setminus [/mm] {0} h(x)= 1/x
Diese Aufgabe haben wir in der Schule mal gerechnet und dabei hat der Lehrer an der Tafel aufgeschrieben, dass diese Funktion stetig ist aber jetzt nachdem ich Ihre Hilfe hier bekommen habe sehe ich das anders, denn beim Zeichnen dieses Grapfens, muss man den Stift ablegen, da ja 1/0 nicht definierbar ist, oder liegt ich da grad sehr falsch :-S?
DANKE IM VORAUS:)
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Ich habe das Beispiel genau in meinem Matheduden, es ist aber im Grunde auch so einfach zu erklären, ich schreib es trotzdem erstmal mit deren Worten: vorweg, sie ist NICHT stetig
Für Stetigkeit ist auch der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert interessant, denn er muss gleich sein! Natürlich besitzt 1/x keine Lücke im Graphen, sondern eine richtige Asymptote, das bedeutet, sie macht einen unendlichen Sprung, sozusagen von [mm] -\infty [/mm] nach [mm] +\infty
[/mm]
Also:
[mm] \limes_{x \to 0}\bruch{1}{x} [/mm] = [mm] +\infty [/mm] für x >0, das siehst du ja dem Graphen an
[mm] \limes_{x \to 0}\bruch{1}{x} [/mm] = [mm] -\infty [/mm] für x <0
Das bedeutet, der Graph hat an der Stelle 0 zwei unterschiedliche Grenzwerte, der links- und rechtsseitige Grenzwert stimmen nicht überein, die Funktion f(x) ist an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] nicht stetig ergänzbar (falls ihr den Begriff schon hattet). Somit ist die Funktion nicht stetig
Im Grunde heißt das also nichts anderes, als dass du niemals von links kommend von [mm] -\infty [/mm] nach [mm] +\infty [/mm] kommen kannst, wenn du es zeichnen willst, eben weil der Graph einen unendlichen Sprung macht
Noch ein Nachtrag: Sowieso ist die Berechnung etwas übertrieben, da allgemein der Satz gilt:
Die Funktion f heißt an der Stelle [mm] x_0 \in D_f [/mm] steitg, wenn der Grenzwert von f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] existiert und mit dem Funktionswert an der Stelle [mm] x_0 [/mm] übereinstimmt.
Daraus geht klar hervor, dass [mm] x_0 [/mm] definiert sein muss, damit der Graph stetig sein kann! 1/x ist aber für [mm] x_0=0 [/mm] nicht definiert, also auch nicht stetig :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Do 10.01.2008 | | Autor: | Saraaa |
Danke nochmals 
Ich habe einiges jetzt verstanden :D
Noch ne Frage bleibt mir offen und zwar kann ich alle aufgaben rechnen die mit lim [mm] x->\infty [/mm] aber nur das Problem ist wenn lim x-> eine beliebige Zahl ist, zum Beispiel wie diese Aufgabe:
[mm] \limes_{x\rightarrow3} x^2-6x+9 [/mm] / x-3
Es wär lieb, wenn mir das jemand erklären könnte.
Mfg
Lea
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Do 10.01.2008 | | Autor: | Adamantin |
> [mm]\limes_{x\rightarrow3} \bruch{x^2-6x+9}{x-3}[/mm]
> Es wär lieb, wenn mir das jemand erklären könnte.
> Mfg
> Lea
Wie du dir sicherlich schon gedacht haben wirst, ist ja 3 eigentlich gar nicht möglich einzusetzen, da der untere Term dann 0 würde, was zur Folge hätte, dass der ganze Term nicht mehr definiert ist.
Also liegt bei [mm] x_0=3 [/mm] eine Definitionslücke vor, da der Nenner N(X)=3-x für x=3 nicht definiert ist. Desweiteren handelt es sich um eine richtige Definitionslücke, da der Zähler [mm] Z(x)=x^2-6x+9 [/mm] für x=3 ebenfalls 0 wird. Du hast also an dieser Stelle eine Lücke, die man mit einem Gringel kennzeichnet, der Graph geht links und rechts normal weiter.
Nun aber zu deinem Problem:
[mm]\limes_{x\rightarrow3} \bruch{x^2-6x+9}{x-3} = 0[/mm]
Nun muss man sich den Funktionswert anschauen: f(3) ist nicht definiert, der Grenzwert aber schon. Nach der Definition der Stetigkeit existiert also ein Grenzwert, aber [mm] x_0 [/mm] ist selbst nicht definiert
Nun könnte man sagen, die Funktion ist nicht stetig.
Hier liegt aber ein Sonderfall vor, eine sogenannte stetig behebbare Definitionslücke.
Der links und rechtsseitige Grenzwert nähert sich nämlich für beliebig kleine Werte um x=3 immer näher der Zahl 0 an:
[mm]\limes_{x\rightarrow3} \bruch{3.001^2-6*3.001+9}{3.001-3} = 0.001[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow3} \bruch{2.999^2-6*2.999+9}{2.999-3} = -0.001[/mm]
Offenbar kann man also quasi für die Definitionslücke 0 einsetzen, daher wird eine neue Funktion erstellt, die genau das tut:
[mm] g(x)=\left\{\begin{matrix}
f_1(x)=\bruch{x^2-6x+9}{x-3}, & \mbox{für }x \not=0 \\f_2(x)=3, & \mbox{für }x=3
\end{matrix}\right.[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Do 10.01.2008 | | Autor: | Saraaa |
Ich bedank mich sehr herzlich bei Ihnen, ich habe es tatsächlich verstanden. Ich hoffe die Klausur wird auch gut, DANKE!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 Fr 11.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Sara
Nett, dass du dich bedankst, aber hier duzen sich alle!
1. leider ist ein Fehler bei meinem Vorredner aufgetreten: f(x)=1/x ist überall stetig, ausser für x=0
das hatte dein Lehrer aber ausgeschlossen da stand [mm] x\in\IR/0!
[/mm]
2. für den GW von [mm] (x^2-6x+9)/(x-3) [/mm] für x gegen 3 sollte man das obere als binomische Formel sehen (achte auf sowas in der Klausur, kommt oft vor)
dann kannst du schreiben :
[mm] (x^2-6x+9)/(x-3)=(x-3)^2/x-3) [/mm] jetzt kann man für ALLE x ausser für x=3 kürzen" und hat x-3 also ist der GW 0, weil man ja noch kürzen kann, wenn x ganz ganz nahe an 3 ist.
Du solltest aber in ner Klausur doch nicht mit dem ununterbrochenen Zeichnen argumentieren, sondern das verwenden, wie ihr in der Schule Stetigkeit gezeigt habt.
Gruss leduart
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:47 Fr 11.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Adamanti
Du hast übersehen, dass x=0 ausgenommen war.
Gruss leduart
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 10:09 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Adamantin |
ups....sowas passiert im Eifer des Gefechtes...seufz...natürlich richtig, man gibt ja immer an, dass die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] für [mm] x\not=0 [/mm] gilt, also ist sie stetig....tut mir leid
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