Stetig und Differenzierbar < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Prüfen Sie die Funktion f mit x [mm] \in \mathbb{R} [/mm] auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit an der Stelle [mm] x=x_a. [/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} x^3, & \mbox{für } x\leq 1 \\ x^3-2, & \mbox{für } x>1 \end{cases} x_a=1 [/mm] |
Hallo, ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
In unserem Mathebuch steht das Differenzierbarkeit [mm] \Rightarrow [/mm] Stetigkeit folgt.
Zu dieser Aufgabe:
Überprüfung der Stetigkeit:
Für [mm] x\leq [/mm] 1 gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow 1} x^3 [/mm] = 1 = f(1)
Für x > 1 gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow 1} x^3-2 [/mm] = -1
Da der linke und rechte Grenzwert und der Funktionswert nicht gleich sind, ist die Funktion auch nicht stetig.
Überprüfung der Differenzierbarkeit:
[mm] f'(x)=\begin{cases} 3x^2, & \mbox{für } x\leq 1 \\ 3 x^2, & \mbox{für } x>1 \end{cases} x_a=1
[/mm]
Für [mm] x\leq [/mm] 1 gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow 1} 3x^2 [/mm] = 3
Für x > 1 gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow 1} 3x^2 [/mm] = 3
Es gilt demnach f'(linker Grenzwert) = f'( rechter Grenzwert) [mm] \rightarrow [/mm] Differenzierbar.
Nach meinen Rechnungen ist die Funktion Differenzierbar. Laut dem Merksatz sollte doch auch die Stetigkeit folgen. Das tut es aber nicht. Wo ist mein Denkfehler oder habe ich eine falsche Rechnung?
Vielen Dank, Grüße von mathe0815
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Do 25.02.2021 | | Autor: | fred97 |
> Prüfen Sie die Funktion f mit x [mm]\in \mathbb{R}[/mm] auf
> Stetigkeit und Differenzierbarkeit an der Stelle [mm]x=x_a.[/mm]
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^3, & \mbox{für } x\leq 1 \\ x^3-2, & \mbox{für } x>1 \end{cases} x_a=1[/mm]
>
> Hallo, ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
> In unserem Mathebuch steht das Differenzierbarkeit
> [mm]\Rightarrow[/mm] Stetigkeit folgt.
Das stimmt.
>
> Zu dieser Aufgabe:
>
> Überprüfung der Stetigkeit:
>
> Für [mm]x\leq[/mm] 1 gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow 1} x^3[/mm] = 1 = f(1)
> Für x > 1 gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow 1} x^3-2[/mm] = -1
>
> Da der linke und rechte Grenzwert und der Funktionswert
> nicht gleich sind, ist die Funktion auch nicht stetig.
Auch das stimmt.
>
>
> Überprüfung der Differenzierbarkeit:
>
> [mm]f'(x)=\begin{cases} 3x^2, & \mbox{für } x\leq 1 \\ 3 x^2, & \mbox{für } x>1 \end{cases} x_a=1[/mm]
>
Das kannst Du so nicht schreiben, denn Du weißt noch nix über die Differenzierbarkeit an der Stelle x=1.
Richtig ist
[mm]f'(x)=\begin{cases} 3x^2, & \mbox{für } x < 1 \\ 3 x^2, & \mbox{für } x>1 \end{cases} x_a=1[/mm]
Siehst Du den Unterschied ? Im ersten Zweig steht x<1 (Du hattest x [mm] \le [/mm] 1).
> Für [mm]x\leq[/mm] 1 gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow 1} 3x^2[/mm] = 3
> Für x > 1 gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow 1} 3x^2[/mm] = 3
Auch hier solltest Du oben x<1 statt x [mm] \le [/mm] 1 schreiben .
>
> Es gilt demnach f'(linker Grenzwert) = f'( rechter
> Grenzwert) [mm]\rightarrow[/mm] Differenzierbar.
Die einseitigen Grenzwerte stiimmen , aber daraus folgt nicht die Differenzierbarkeit in $x=1.$
>
> Nach meinen Rechnungen ist die Funktion Differenzierbar.
> Laut dem Merksatz sollte doch auch die Stetigkeit folgen.
> Das tut es aber nicht. Wo ist mein Denkfehler oder habe ich
> eine falsche Rechnung?
Wie ich oben schon sagte: diese Schlußfolgerung
Es gilt demnach f'(linker Grenzwert) = f'( rechter
Grenzwert) [mm]\rightarrow[/mm] Differenzierbar.
ist falsch.
>
> Vielen Dank, Grüße von mathe0815
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo,
ah ok! Statt [mm] \leq [/mm] muss dann dort "<" und ">" angegeben sein. So weit ist das klar. Aber was ist mit dem Fall x=1? Muss ich denn noch x=1 in die (beiden(?)) Ableitungsfunktionen einsetzen, so dass der Funktionswert dann auch übereinstimmt?
Für die Differenzierbarkeit kann ich doch dann sagen, dass gilt:
für x<1: [mm] \lim_{x\rightarrow 1} 3x^2 [/mm] = 3
für x>1: [mm] \lim_{x\rightarrow 1} 3x^2 [/mm] = 3
und
für x<1: [mm] \lim_{x\rightarrow 1} x^3 [/mm] = 1
für x>1: [mm] \lim_{x\rightarrow 1} x^3-2 [/mm] = -1
Da jetzt insgesamt unterschiedliche Ergebnisse herauskommen, ist die Funktion nicht differenzierbar.
Verkürzt zusammengefasst: Also ist eine Funktion differenzierbar, wenn die links- und rechtsseitigen Grenzwerte der Ableitungsfunktion übereinstimmen UND die Funktion zusätzlich stetig ist! Kann man das so sagen? Dann hätte ich ja quasi die direkte Aussage zu differenzierbar [mm] \rightarrow [/mm] stetig.
Und kann ich auch sagen, wenn eine Funktion nicht stetig ist, so ist sie auch nicht differenzierbar?
Viele Grüße
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> Verkürzt zusammengefasst: Also ist eine Funktion
> differenzierbar, wenn die links- und rechtsseitigen
> Grenzwerte der Ableitungsfunktion übereinstimmen UND die
> Funktion zusätzlich stetig ist! Kann man das so sagen?
Ja, aber: Wenn die links- und rechtsseitigen Grenzwerte der Ableitungsfunktion übereinstimmen, dann ist die Fkt. automatisch stetig.
> Dann hätte ich ja quasi die direkte Aussage zu
> differenzierbar [mm]\rightarrow[/mm] stetig.
>
> Und kann ich auch sagen, wenn eine Funktion nicht stetig
> ist, so ist sie auch nicht differenzierbar?
Ja, zumindest nicht in den Unstetigkeitsstellen.
Diffbarkeit ist zunächst eine punktuelle Geschichte: Eine Fkt. ist diffbar im Intervall [a|b], wenn sie in allen Punkten von [a|b] diffbar ist, wenn also in jedem Punkt von [a|b] der links- und der rechtsseitige Grenzwert des Diff-Quotienten existiert und beide jeweils übereinstimmen. Geht die Fkt. nicht über den Rand a bzw. b hinaus, so ist sie dort nicht diffbar, weil der Grenzwert nur von einer Seite kommen kann.
[mm] 3x^2 [/mm] gibt nun den Ableitungswert für alle Punkte auf den beiden Funktionsästen an, außer für x=1 (s.u.). Der linke Ast endet nämlich bei x=1 und hat dort einen "scharfen" Randpunkt (1|1). Dieser Ast geht rechts nicht weiter, für ihn ist also ein rechter Limes (zunächst) gar nicht möglich. Hierfür müssen wir auf die Funktionswerte des rechten Funktionsastes mit [mm] f(x)=x^3-2 [/mm] zugreifen:
[mm] \bruch{f(x)-f(1)}{x-1} [/mm] = [mm] \bruch{x^3-2-1}{x-1} [/mm] = [mm] x^2+x+1-\bruch{2}{x-1}, [/mm] und dieser Wert geht für x [mm] \mapsto [/mm] 1 nach [mm] -\infty.
[/mm]
(Der rechte Ast hat übrigens keine "scharfe" Kante: Zu jedem a>1 findest du noch unendlich viele Punkte x links davon mit 1<x<a, mit denen du den linksseitigen Grenzwert bilden kannst.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:11 Fr 26.02.2021 | | Autor: | tobit09 |
Hallo HJKweseleit,
> Wenn die links- und rechtsseitigen Grenzwerte der Ableitungsfunktion übereinstimmen, dann ist die Fkt. automatisch stetig.
Das stimmt im Allgemeinen nicht, wie das Beispiel aus der Aufgabenstellung zeigt.
Viele Grüße
Tobias
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> Hallo HJKweseleit,
>
> > Wenn die links- und rechtsseitigen Grenzwerte der
> Ableitungsfunktion übereinstimmen, dann ist die Fkt.
> automatisch stetig.
> Das stimmt im Allgemeinen nicht, wie das Beispiel aus der
> Aufgabenstellung zeigt.
>
> Viele Grüße
> Tobias
Hallo Tobias, du has völlig Recht, wie auch meine weiteren Ausführungen zeigen. Habe mich falsch ausgedrückt:
Wenn die links- und rechtsseitigen Grenzwerte des
[mm] \red{Diffenrenzenquotienten} [/mm] übereinstimmen, dann ist die Fkt.
automatisch stetig.
Danke
Kw
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:22 Fr 26.02.2021 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathe0815!
> Für die Differenzierbarkeit kann ich doch dann sagen, dass
> gilt:
>
> für x<1: [mm]\lim_{x\rightarrow 1} 3x^2[/mm] = 3
> für x>1: [mm]\lim_{x\rightarrow 1} 3x^2[/mm] = 3
>
> und
>
> für x<1: [mm]\lim_{x\rightarrow 1} x^3[/mm] = 1
> für x>1: [mm]\lim_{x\rightarrow 1} x^3-2[/mm] = -1
>
> Da jetzt insgesamt unterschiedliche Ergebnisse
> herauskommen, ist die Funktion nicht differenzierbar.
Vielleicht meinst du es richtig: Da die Funktion nicht einmal stetig ist, kann sie erst recht nicht differenzierbar sein.
> Verkürzt zusammengefasst: Also ist eine Funktion
> differenzierbar, wenn die links- und rechtsseitigen
> Grenzwerte der Ableitungsfunktion übereinstimmen UND die
> Funktion zusätzlich stetig ist! Kann man das so sagen?
> Dann hätte ich ja quasi die direkte Aussage zu
> differenzierbar [mm]\rightarrow[/mm] stetig.
Tatsächlich kann man (mithilfe des sogenannten "Mittelwertsatzes der Differentialrechnung") Folgendes zeigen:
Sei [mm] $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] stetig und in allen Stellen $x$ aus [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] mit möglicher Ausnahme von [mm] $x=x_a$ [/mm] differenzierbar.
Es mögen der linksseitige Grenzwert [mm] $\lim_{x\to x_a,\;xx_a}f'(x)$ [/mm] existieren und übereinstimmen.
Dann ist $f$ (auch an der Stelle [mm] $x_a$) [/mm] differenzierbar mit [mm] $f'(x_a)=\lim_{x\to x_a}f'(x)$.
[/mm]
Dieses Kriterium hilft für konkrete Beispiele nur weiter, wenn man schon die Differenzierbarkeit in allen Punkten außer der möglichen Ausnahmestelle [mm] $x_a$ [/mm] weiß. Das ist aber z.B. in der Aufgabenstellung aus diesem Thread der Fall.
Ob dein(e) Lehrer(in) dieses Kriterium kennt (und du es benutzen darfst), weiß ich natürlich nicht; ich kannte es jedenfalls bis zu deiner Frage nicht. 
> Und kann ich auch sagen, wenn eine Funktion nicht stetig
> ist, so ist sie auch nicht differenzierbar?
Ja, denn wäre sie differenzierbar, dann wäre sie ja doch stetig wegen des Zusammenhangs "differenzierbar->stetig".
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:09 Fr 26.02.2021 | | Autor: | fred97 |
Hallo mathe0815,
ich möchte Dir noch einen Beweis des von Tobias genannten Kriteriums liefern:
Sei $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] stetig, [mm] $x_0 \in [/mm] (a,b)$. Weiter sei $f$ auf [mm] $(a,x_0)$ [/mm] und auf [mm] $(x_0,b)$ [/mm] differenzierbar und es gelte
[mm] $\lim_{x \to x_0-0}f'(x)= \lim_{x \to x_0+0}f'(x)=L \in \IR.$
[/mm]
Sei $h>0$ so, dass [mm] $x_0+h [/mm] <b$. Nach dem Mittelwertsatz ex. ein $t(h) [mm] \in (x_0,x_0+h) [/mm] $ mit
[mm] $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(t(h)) [/mm] .$
Sei $h<0$ so, dass [mm] $x_0+h [/mm] >a$. Nach dem Mittelwertsatz ex. ein $s(h) [mm] \in (x_0+h,x_0)$ [/mm] mit
[mm] $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(s(h)) [/mm] .$
Es gilt: $t(h) [mm] \to x_0$ [/mm] für $h [mm] \to [/mm] 0+0$ und $s(h) [mm] \to x_0$ [/mm] für $h [mm] \to [/mm] 0-0.$
Somit
$f'(t(h)) [mm] \to [/mm] L$ für $h [mm] \to [/mm] 0+0$ und $f'(s(h)) [mm] \to [/mm] L$ für $h [mm] \to [/mm] 0-0$.
Fazit: $ [mm] \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ [/mm] existiert und ist $=L$.
Somit ist $f$ in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar mit [mm] $f'(x_0)=L.$
[/mm]
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