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| Aufgabe | Sei [mm] $p_\theta(x)=A(\theta)\exp\left(\sum_{i=1}^k\theta_iT_i(x)\right)h(x)$ [/mm] eine exponentielle Famile bezüglich des [mm] $\sigma$-endlichen [/mm] Maßes [mm] $\mu$ [/mm] mit dem natürlichen Parameterraum [mm] $H\subset \mathbb{R}^k$. [/mm] Sei [mm] $\Gamma:=\mathrm{int}(H)+\mathrm{i}\mathbb{R}^k\subset\mathbb{C}^k$. [/mm] Sei $g$ integrierbar bezüglich jedem [mm] $P_\theta$ [/mm] und mit [mm] $\gamma=\theta+iv$ [/mm] die Funktion [mm] $I:\Gamma\to\mathbb{C}$ [/mm] definiert durch:
[mm] $$I(\gamma):=\int g(x)\exp\left(\sum_{i=1}^k\gamma_i T_i(x)\right)h(x)\;\mathrm{d}\mu(x)$. [/mm] |
Guten Abend,
ich habe mir zu der Aufgabe folgendes gedacht:
als erstes kam mir natürlich der Satz über parameterabhängige Integrale in den Sinn.
Dafür habe ich gezeigt:
[mm] f(\gamma,x):=g(x)\exp\left(\gamma^\top T(x)\right)h(x)$ [/mm] und [mm] $$|f(\gamma,x)|\leq\frac{p_\theta(x)}{A(\theta)}\underbrace{\left|\exp(\mathrm{i}v^\top T(x)\right|}_{=1} |g(x)|=\frac{p_\theta(x)}{A(\theta)}|g(x)|$$
[/mm]
Und damit gilt [mm] $\int|f(\gamma,x)|\;\mathrm{d}\mu(x)\leq\int\frac{p_\theta(x)}{A(\theta)}|g(x)|\;\mathrm{d}\mu(x)=\frac{1}{A(\theta)}\int|g(x)|\;\mathrm{d}P_\theta(x)<\infty$ [/mm] für alle [mm] $\theta\in [/mm] H$, da $g$ integrierbar und [mm] $A(\theta)\neq [/mm] 0$.
Damit ist also [mm] $f(\gamma,\cdot)$ [/mm] integrierbar, für alle [mm] $\gamma\in\Gamma$. [/mm] Natürlich ist [mm] $f(\cdot,x)$ [/mm] auch stetig [mm] $\mu$-fast [/mm] überall.
Es muss also noch eine Majorante gefunden werden, also ein integrierbares $G$ mit [mm] $|f(\gamma, x)|\leq [/mm] G(x)$ für alle [mm] $\gamma,x$.
[/mm]
Diese darf ja aber nicht von [mm] $\theta$ [/mm] abhängen, oder?
Hier brächte ich vielleicht einen kleinen Tipp, wie ich auf die entsprechende Majorante komme.
Vielen Dank und ein schönes Wochenende.
Liebe Grüße
DudiPupan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Fr 11.12.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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