Stetige Funktion und Intervall < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:23 Fr 28.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe 1 | Sei [a, b] ein Intervall, und seien f, g : [a, b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] stetige Funktionen mit
f(a) > g(a) und f(b) < g(b).
Beweisen Sie, dass es ein [mm] x_0 \in [/mm] (a, b) mit [mm] f(x_0) [/mm] = [mm] g(x_0) [/mm] gibt. |
| Aufgabe 2 | | Beweisen Sie, dass die Gleichung [mm] \bruch{1}{1+x^2}=\wurzel{x} [/mm] eine Lösung [mm] x_0 [/mm] > 0 besitzt. |
Hallo,
wie muss ich in den Beweis einsteigen? Womit muss ich beginnen, hier fehlt mir leider völlig die Orientierung.
Vielen Dank für die Hilfe.
Gruß, Stefan.
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> Sei [a, b] ein Intervall, und seien f, g : [a, b]
> [mm]\rightarrow \IR[/mm] stetige Funktionen mit
> f(a) > g(a) und f(b) < g(b).
> Beweisen Sie, dass es ein [mm]x_0 \in[/mm] (a, b) mit [mm]f(x_0)[/mm] =
> [mm]g(x_0)[/mm] gibt.
Hallo,
das schreit nach Zwischenwertsatz.
Vielleicht betrachtest Du mal die Funktion h:=f-g.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Fr 28.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Angela,
> das schreit nach Zwischenwertsatz.
>
> Vielleicht betrachtest Du mal die Funktion h:=f-g.
aha, ok, will heißen, ich betrachte h als Differenz der beiden Funktionen, welches ja wieder eine stetige Funktion ergibt und wende den Zwischenwertsatz dann auf dieser Funktion an?
Der Zwischenwertsatz lautet:
Sei f : [a, b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine stetige Funktion, und sei d eine Zahl zwischen f(a) und f(b),
also f(a) [mm] \le [/mm] d [mm] \le [/mm] f(b), falls f(a) [mm] \le [/mm] f(b) und f(b) [mm] \le [/mm] d [mm] \le [/mm] f(a), falls f(b) [mm] \le [/mm] f(a).
Dann gibt es ein [mm] x_d \in [/mm] [a, b] mit [mm] f(x_d) [/mm] = d.
Ist das so schon mal richtig?
Vielen Dank.
Grüße, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Fr 28.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Ja
Welche Vorzeichen haben h(a) und h(b) ??????
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Sa 29.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Welche Vorzeichen haben h(a) und h(b) ??????
ok, h=f-g, also h(a)=f(a)-g(a), mit f(a)>g(a) ist h(a)>0.
h(b)=f(b)-g(b), mit f(b)<g(b) ist h(b)<0.
hm, was kann ich damit nun anfangen?
ok, ich habe also einen Vorzeichenwechsel, das heißt ja auch, dass es einmal einen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, also eine Nullstelle, dort sind h(a)=h(b)=0, wie kann ich das jetzt so ausnutzen, um zu zeigen, dass die Funktionen f(a) und g(a) sich an dieser Stelle [mm] x_0, [/mm] die ja bei der Funktion h eine Nullstelle war, schneiden, also einen gemeinsamen Punkt haben? Also wie drücke ich das jetzt mathematisch korrekt mit Bezug zu Sätzen aus?
Danke, Gruß, Stefan.
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> Hallo,
> > Welche Vorzeichen haben h(a) und h(b) ??????
> ok, h=f-g, also h(a)=f(a)-g(a), mit f(a)>g(a) ist h(a)>0.
> h(b)=f(b)-g(b), mit f(b)<g(b) ist h(b)<0.
>
> hm, was kann ich damit nun anfangen?
> ok, ich habe also einen Vorzeichenwechsel, das heißt ja
> auch, dass es einmal einen Schnittpunkt mit der x-Achse
> gibt, also eine Nullstelle, dort sind h(a)=h(b)=0,
Hallo,
nein, a und b sind doch die vorgegebenen Intervallenden.
Aber: es gibt ein [mm] x_0 [/mm] in dem Intervall mit [mm] h(x_0)=0.
[/mm]
> ich das jetzt so ausnutzen, um zu zeigen, dass die
> Funktionen f(a) und g(a) sich an dieser Stelle [mm]x_0,[/mm] die ja
> bei der Funktion h eine Nullstelle war, schneiden, also
> einen gemeinsamen Punkt haben?
Jetzt braucht Du doch einfach nur wieder die Def. v. h einzusetzen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Sa 29.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Jetzt braucht Du doch einfach nur wieder die Def. v. h
> einzusetzen.
ja, natürlich, jetzt hab ichs:
Es ist: h(a)>0 und h(b)<0, es gibt mit dem Nullstellensatz also mind. ein x [mm] \in [/mm] (a,b) mit h(x)=0.
Wieder eingesetzt in die Stetigkeit von h:
Sei h:[a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] stetig und d eine Zahl zwischen h(a) und h(b), da h(a)>h(b) also h(b) [mm] \le [/mm] d [mm] \le [/mm] h(a). Dann gibt es ein [mm] x_d [/mm] (wegen der Nullstelle also ein [mm] x_0) \in [/mm] [a,b] mit [mm] h(x_0)=d=0.
[/mm]
mit [mm] h(x_0)=f(x_0)-g(x_0)=0 \gdw f(x_0)=g(x_0).
[/mm]
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Sa 29.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Beweisen Sie, dass die Gleichung
> [mm]\bruch{1}{1+x^2}=\wurzel{x}[/mm] eine Lösung [mm]x_0[/mm] > 0 >besitzt.
ich kann ja umformen:
da [mm] 1+x^2>0: \bruch{1}{1+x^2}=\wurzel{x} \gdw 1=\wurzel{x}(1+x^2) \gdw 1=x(1+x^2)^2 \gdw 1=x(1+2x^2+x^4). [/mm] Wie komme ich nun weiter?
oder bin ich völlig auf dem Holzweg?
Danke schön, Gruß, Stefan.
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> Hallo,
> > Beweisen Sie, dass die Gleichung
> > [mm]\bruch{1}{1+x^2}=\wurzel{x}[/mm] eine Lösung [mm]x_0[/mm] > 0 >besitzt.
> ich kann ja umformen:
> da [mm]1+x^2>0: \bruch{1}{1+x^2}=\wurzel{x} \gdw 1=\wurzel{x}(1+x^2) \gdw 1=x(1+x^2)^2 \gdw 1=x(1+2x^2+x^4).[/mm]
> Wie komme ich nun weiter?
> oder bin ich völlig auf dem Holzweg?
Hallo,
diese Aufgabe kannst Du genauso lösen wie die andere:
betrachte die Funktion [mm] h(x):=\bruch{1}{1+x^2} [/mm] - [mm] \wurzel{x} [/mm] in einem passenden intervall, etwa im intervall [0,4].
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:38 So 30.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> diese Aufgabe kannst Du genauso lösen wie die andere:
>
> betrachte die Funktion [mm]h(x):=\bruch{1}{1+x^2}[/mm] - [mm]\wurzel{x}[/mm]
> in einem passenden intervall, etwa im intervall [0,4].
hm, ok, wenn ich das mal ausrechne:
[mm]h(0)=\bruch{1}{1+0^2}-\wurzel{0}=1>0[/mm] und
[mm]h(4)=\bruch{1}{1+4^2}-\wurzel{4}=-\bruch{33}{17}<0[/mm].
Gut, nun ist also h(0)>0 und h(4)<0, das bedeutet, dass h(0)-h(4)>0 ist. Und wie komme ich jetzt auf [mm] x_0>0? [/mm] Da fehlt mir noch ein Argument.
Danke schön, Gruß, Stefan.
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> Hallo,
>
> > diese Aufgabe kannst Du genauso lösen wie die andere:
> >
> > betrachte die Funktion [mm]h(x):=\bruch{1}{1+x^2}[/mm] - [mm]\wurzel{x}[/mm]
> > in einem passenden intervall, etwa im intervall [0,4].
> hm, ok, wenn ich das mal ausrechne:
> [mm]h(0)=\bruch{1}{1+0^2}-\wurzel{0}=1>0[/mm] und
> [mm]h(4)=\bruch{1}{1+4^2}-\wurzel{4}=-\bruch{33}{17}<0[/mm].
Hallo,
h ist also am Intervallanfang >0 und am Ende <0.
Also?
> Gut, nun ist also h(0)>0 und h(4)<0, das bedeutet, dass
> h(0)-h(4)>0 ist.
Dies Differenz interessiert keinen Menschen.
> Und wie komme ich jetzt auf [mm]x_0>0?[/mm] Da
> fehlt mir noch ein Argument.
Genau wie bei der anderen Aufgabe.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 So 30.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> h ist also am Intervallanfang >0 und am Ende <0.
> Also?
naja, gut, dann gibt es einen Vorzeichenwechsel, somit eine Nullstelle, also einen Funktionswert [mm] h(x_0)=0 [/mm] auf diesem Intervall, das wollte ich mit meiner Betrachtung der Differenz unten nur sagen. Und dann [mm]h(x_0)=\bruch{1}{1+x_0^2}-\wurzel{x_0}=0[/mm]? hm, und wie komme ich jetzt dazu zu sagen, dass es ein [mm] x_0>0 [/mm] gibt?
> > Gut, nun ist also h(0)>0 und h(4)<0, das bedeutet, dass
> > h(0)-h(4)>0 ist.
>
> Dies Differenz interessiert keinen Menschen.
naja, ich bin ja auch nur ein mathematisch interessiertes, aber unbegabtes Tier ;)
Danke für die Geduld, Gruß, Stefan.
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> Hallo,
> > h ist also am Intervallanfang >0 und am Ende <0.
> > Also?
> naja, gut, dann gibt es einen Vorzeichenwechsel, somit
> eine Nullstelle, also einen Funktionswert [mm]h(x_0)=0[/mm] auf
> diesem Intervall, das wollte ich mit meiner Betrachtung der
> Differenz unten nur sagen. Und dann
> [mm]h(x_0)=\bruch{1}{1+x_0^2}-\wurzel{x_0}=0[/mm]? hm, und wie komme
> ich jetzt dazu zu sagen, dass es ein [mm]x_0>0[/mm] gibt?
Hallo,
wenn dieses [mm] x_0 [/mm] im Intervall [0,4] liegt, aber nicht die 0 selbst ist, wird's wohl größer als 0 sein.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 So 30.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> wenn dieses [mm]x_0[/mm] im Intervall [0,4] liegt, aber nicht die 0
> selbst ist, wird's wohl größer als 0 sein.
hm, ja, das ist erschreckend logisch 
Wie immer, vielen Dank, Gruß, Stefan.
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