Stetige lineare Abbildungen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:30 So 31.10.2010 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Sei X=C[a,b], ausgerüstet mit der üblichen Supremumsnorm, und T: [mm] X\rightarrow [/mm] X der (lineare) Integraloperator
[mm] (Tx)(t)=\int_{a}^{t}{x(\tau)d\tau}.
[/mm]
a) Bestimmen Sie N(T) (üblicher ist meiner Meinung nach Ker(T)) und R(t) (der Bildraum von T).
b) Zeigen Sie, dass T ein beschränkter Operator ist, und bestimmen Sie [mm] \|T\|.
[/mm]
Sei weiter [mm] C^{1}[a,b]\subseteq [/mm] C[a,b] der Teilraum aller auf [a,b] stetigen und auf (a,b) stetig differenzierbaren Funktionen ,deren Abbildung sich stetig auf [a,b] fortsetzen lässt.
c) Ist [mm] C^{1}[a,b] [/mm] ein abgeschlossener Teilraum von X?
d) Zeigen Sie, dass [mm] C^{1}[a,b], [/mm] versehen mit der Norm [mm] \|x\|_{c^{1}[a,b]}=\sup_{a\le t\le b}|x(t)|+\sup_{a< t< b}|x'(t)|, [/mm] selbst ein vollständiger metrischer Raum ist.
e) Ist T: [mm] C[a,b]\rightarrow C^{1}[a,b] [/mm] ein beschränkter Operator? Bestimmen Sie ggf. die Norm. |
Hallo,
zu a) N(T)={x(t)=0} würde ich hier als einzige Lösung sehen, da alle anderen stetigen Funktionen eine Fläche >0 überdecken würden.
[mm] R(t)=C^{1}[a,b] [/mm] scheint mir hier richtig zu sein, da die Integration die Umkehroperation vom Differenzieren ist.
zu b) [mm] (Tx)(t)=\int_{a}^{t}{x(\tau)d\tau}\le\int_{a}^{b}{x(\tau)d\tau}\le\int_{a}^{b}{\|x(\tau\|_{\infty}d\tau}\le(b-a)\|x(\tau\|_{\infty}
[/mm]
Somit ist T beschränkt. Man könnte auch einfach sagen, T als Integral ist stetig und somit beschränkt.
[mm] \|T\|=\sup_{\|x(t)\|_{\infty}=1} \|(Tx)(t)\|_{\infty}=\sup_{\|x(t)\|_{\infty}=1} \|\int_{a}^{t}{x(\tau)d\tau}\|_{\infty}=(b-a). [/mm] Der Anstieg von (Tx)(t) ist maximal 1, weil [mm] \|x(t)\|_{\infty}=1. [/mm] Damit ist x(t)=t für t aus [a,b] die Funktion, welche unter dem Integral die größte Fläche abdecken kann und somit das gesuchte Supremum.
zu c) Wie zeigt man die Offenheit des Komplements, oder dass alle Häufungspunkte von [mm] C^{1}[a,b] [/mm] wieder in [mm] C^{1}[a,b] [/mm] liegen? Ich denke zwar schon, dass ich in allen Kugeln von Funktionen aus [mm] C^{1}[a,b] [/mm] wieder Funktionen aus [mm] C^{1}[a,b] [/mm] finden kann, weiß aber nicht, wie ich dies zeigen soll.
zu d) [mm] x_{n}(t) [/mm] und x'_{n}(t) müssten beide, wenn überhaupt, dann gleichmäßig konvergieren, weil sonst die Stetigkeit verletzt wäre. Also müsste gelten, [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}x'_{n}(t)=(\lim_{n\rightaaor\infty}x_{n}(t))'. [/mm] Damit lässt sich zeigen, dass alle Cauchyfolgen in [mm] C^{1}[a,b] [/mm] konvergieren. Ist das so richtig?
e) Wie kann ich solche Aussagen ohne konkrete Kenntnisse von T treffen?
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen und meine bisherigen Ergebnisse kontrollieren könnte.
Mit freundlichen Grüßen
DerGraf
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 03.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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