Stetigk. abschnittsw. Funkt. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 So 11.06.2006 | | Autor: | Melchior |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} ln(1+x^2), & \mbox{für } -4 < x \le 0 \\ \bruch{sin(2x)}{2\wurzel{x}-x}, & \mbox{für } 0 < x < 4 \end{cases}
[/mm]
Man beweise, dass f in [mm] x_{0}=0 [/mm] stetig ist, indem man zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] ( [mm] \epsilon) [/mm] > 0 so angibt, dass gilt:
[mm] \vmat{ x - x_{0}} [/mm] < [mm] \delta \rightarrow \vmat{f(x) - f(x_{0})} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
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Für den Teil kleiner null habe ich glaube ich schon eine passende Abschätzung gefunden (wenn ich ausnutze, dass der Betrag von x kleiner als vier ist, ich hoffe, das darf ich.)
Aber für den unteren Term hab ich keine Idee, insbesondere den Nenner schaffe ich nicht abzuschätzen. Sinus geht ja noch mit sin(x) < x...
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Salve!
Wir nähern uns ja von oben der Null und f(0) ist auch Null.
[mm]\frac{\sin2x}{2\sqrt{x}-x}<\frac{2x}{2\sqrt{x}-x}=\frac{2\sqrt{x}^2}{2\sqrt{x}-\sqrt{x}^2}=\frac{2\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}[/mm]
und dann halt muss halt [mm] \delta [/mm] kleiner als [mm] 1/(\epsilon+1/2), [/mm] wenn ich mich noch auf den letzten Zeilen vertan habe
Gruß
Andreas
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