Stetigk. von Sup. stetiger Fkt < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Es seien [mm] $I,J\subseteq \mathbb{R}$ [/mm] Intervalle, $J$ kompakt und [mm] $f\colon I\times J\to \mathbb{R}$ [/mm] eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass die durch
[mm] $F(x)=\underset{y \in J}{\sup} \:f(x,y)$ [/mm]
definierte Funktion [mm] $F\colon I\to \mathbb{R}$ [/mm] stetig ist.
Hinweis: Nehmen Sie an, dass [mm] $x\in [/mm] I$, [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ und eine Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] in $I$ mit [mm] $x_n\to [/mm] x$ existiert, so dass [mm] $\lvert F(x_n)-F(x)\rvert>\varepsilon$ [/mm] |
Hallo allerseits,
ich hoffe mal, dass ist hier der richtige Bereich. $F$ ist ja schließlich Funktion einer reellen Veränderlichen.
Also, der Hinweis sagt ja schon mal, dass es vorgesehen ist, einen Widerspruchsbeweis zu führen (das würde ich auch gerne so tun, da ich auch schon länger keinen mehr gemacht habe). Ich bekomme das aber nicht hin und habe eigentlich im Grunde genommen auch noch nichts vorzuweisen. Meine bisherigen Überlegungen führe ich trotzdem mal hier unten aus:
Also, man nimmt ja zuerst ein mal an, dass $F$ nicht stetig ist und versucht das dann zum Widerspruch zu führen. Ich denke mal, dass ich dafür natürlich die Stetigkeit von $f$ und auch die Kompaktheit von $J$ brauchen werde. Da $J$ ein kompaktes, reelles Intervall ist, ist $J$ ja dann auch schon mal beschränkt und abgeschlossen (ich denke mal, dass das das ist, was sich aus der Kompaktheit von $J$ Nützliches gewinnen lässt.).
Ich wollte mir dann zuerst mal die Stetigkeit von $f$ in "Folgenschreibweise" aufschreiben, weil das ja wahrscheinlich etwas ist, was ich für den Beweis brauchen werde:
[mm] $\forall\varepsilon>0\:\exists n_0\in\mathbb{N}\:\forall n\geqslant n_0: \lvert f(x_n,y_n)-f(x,y)\rvert <\varepsilon$ [/mm] für Folgen [mm] $x_n\to [/mm] x [mm] \in [/mm] I$ und [mm] $y_n\to [/mm] y [mm] \in [/mm] J$. (Ist das so korrekt?)
Ich wollte dann mal die entsprechende Umkehrung für $F$ aufschreiben, bin mir da aber ziemlich unsicher, ob ich das richtig negiert habe:
[mm] $\exists\varepsilon>0\:\forall n_0\in\mathbb{N}\:\forall n\geqslant n_0: \lvert F(x_n)-F(x)\rvert=\left\lvert\underset{y \in J}{\sup} \:f(x_n,y)-\underset{y \in J}{\sup} \:f(x,y)\right\rvert>\varepsilon$ [/mm]
Muss ich [mm] $\forall n\geqslant n_0$ [/mm] noch abändern? Auch einfach Quantor tauschen, oder auch die Ungleichung umdrehen?
Habe ich [mm] $\underset{y \in J}{\sup} \:f(x,y)$ [/mm] richtig interpretiert als "Man sucht sich für gegebenes [mm] $x\in [/mm] I$ das Supremum, wobei man dafür [mm] $y\in [/mm] J$ variieren darf"?
Könnt ihr mir hierzu ein paar Tipps geben? Bis jetzt habe ich ja eigentlich nur aufgeschrieben, was in der Aufgabe stand, aber weiter bin ich ja noch nicht. Ich glaube ich weiß einfach nicht so recht, wie ich mit [mm] $\underset{y \in J}{\sup} \:f(x,y)$ [/mm] umgehen und es mit $f(x,y)$ vergleichen soll. :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo
nur kurz:
> $ [mm] \forall\varepsilon>0\:\exists n_0\in\mathbb{N}\:\forall n\geqslant n_0: \lvert f(x_n,y_n)-f(x,y)\rvert <\varepsilon [/mm] $ für Folgen $ [mm] x_n\to [/mm] x [mm] \in [/mm] I $ und $ [mm] y_n\to [/mm] y [mm] \in [/mm] J $. (Ist das so korrekt?)
>
> Ich wollte dann mal die entsprechende Umkehrung für [mm]F[/mm]
> aufschreiben, bin mir da aber ziemlich unsicher, ob ich das
> richtig negiert habe:
>
> [mm]\exists\varepsilon>0\:\forall n_0\in\mathbb{N}\:\forall n\geqslant n_0: \lvert F(x_n)-F(x)\rvert=\left\lvert\underset{y \in J}{\sup} \:f(x_n,y)-\underset{y \in J}{\sup} \:f(x,y)\right\rvert>\varepsilon[/mm]
> Muss ich [mm]\forall n\geqslant n_0[/mm] noch abändern?
Ja: Die Negierung von
"Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $n_0$ [/mm] aus [mm] $\IN$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \ge n_0$..."
[/mm]
lautet
"Es existiert ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ (hier schreibe ich schon lieber [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$) so, dass für jedes [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] gilt: Es gibt ein $n [mm] \ge n_0$..."
[/mm]
P.S.
So auf die Schnelle würde ich sagen, dass Du die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] schon formal mit Folgen korrekt charakterisierst hast (allerdings erstmal nur für die Stelle $(x,y) [mm] \in [/mm] I [mm] \times [/mm] J$ - also musst Du noch dazuschreiben, dass das für alle $(x,y) [mm] \in [/mm] I [mm] \times [/mm] J$ gelten soll). Aber das ohne Gewähr, bin auf dem Sprung und hab's mir dementsprechend nur kurz angeguckt...
P.P.S.
Nicht wirklich wichtig hier, aber strenggenommen ist die Negierung von $a < [mm] b\,$ [/mm] nicht $a > [mm] b\,,$ [/mm] sondern $a [mm] \ge b\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Lustique |
> Ja: Die Negierung von
> "Für alle [mm]\epsilon > 0[/mm] existiert ein [mm]n_0[/mm] aus [mm]\IN[/mm] so, dass
> für alle [mm]n \ge n_0[/mm]..."
> lautet
> "Es existiert ein [mm]\epsilon > 0[/mm] (hier schreibe ich schon
> lieber [mm]\epsilon_0 > 0[/mm]) so, dass für jedes [mm]n_0 \in \IN[/mm]
> gilt: Es gibt ein [mm]n \ge n_0[/mm]..."
Ah, ok, also in dem Fall wieder einfach nur [mm] $\forall$ [/mm] durch [mm] $\exists$ [/mm] ersetzen. ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
> P.S.
> So auf die Schnelle würde ich sagen, dass Du die
> Stetigkeit von [mm]f\,[/mm] schon formal mit Folgen korrekt
> charakterisierst hast (allerdings erstmal nur für die
> Stelle [mm](x,y) \in I \times J[/mm] - also musst Du noch
> dazuschreiben, dass das für alle [mm](x,y) \in I \times J[/mm]
> gelten soll). Aber das ohne Gewähr, bin auf dem Sprung und
> hab's mir dementsprechend nur kurz angeguckt...
Ja, ok, danke für deine Kontrolle! Also seien [mm] $x\in [/mm] I$, [mm] $y\in [/mm] J$ beliebig, etc. pp., nehme ich an, oder? Ist ja eigentlich ein rein formales Problem.
> P.P.S.
> Nicht wirklich wichtig hier, aber strenggenommen ist die
> Negierung von [mm]a < b\,[/mm] nicht [mm]a > b\,,[/mm] sondern [mm]a \ge b\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Ja, eigentlich weiß ich das auch, aber dann frage ich mich nur, warum es im Hinweis mit > formuliert ist... Wird da auf mehr angespielt, als einen einfachen Widerspruchsbeweis, oder wäre das einfach nur die Negation für [mm] $\ldots \leqslant \varepsilon$, [/mm] womit man ja die Konvergenz meines Wissens nach auch formulieren kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> > Ja: Die Negierung von
> > "Für alle [mm]\epsilon > 0[/mm] existiert ein [mm]n_0[/mm] aus [mm]\IN[/mm] so, dass
> > für alle [mm]n \ge n_0[/mm]..."
> > lautet
> > "Es existiert ein [mm]\epsilon > 0[/mm] (hier schreibe ich schon
> > lieber [mm]\epsilon_0 > 0[/mm]) so, dass für jedes [mm]n_0 \in \IN[/mm]
> > gilt: Es gibt ein [mm]n \ge n_0[/mm]..."
>
> Ah, ok, also in dem Fall wieder einfach nur [mm]\forall[/mm] durch
> [mm]\exists[/mm] ersetzen.
genau.
> > P.S.
> > So auf die Schnelle würde ich sagen, dass Du die
> > Stetigkeit von [mm]f\,[/mm] schon formal mit Folgen korrekt
> > charakterisierst hast (allerdings erstmal nur für die
> > Stelle [mm](x,y) \in I \times J[/mm] - also musst Du noch
> > dazuschreiben, dass das für alle [mm](x,y) \in I \times J[/mm]
> > gelten soll). Aber das ohne Gewähr, bin auf dem Sprung und
> > hab's mir dementsprechend nur kurz angeguckt...
>
> Ja, ok, danke für deine Kontrolle! Also seien [mm]x\in I[/mm], [mm]y\in J[/mm]
> beliebig, etc. pp., nehme ich an, oder? Ist ja eigentlich
> ein rein formales Problem.
Es ist eigentlich noch nichtmal ein Problem. Man schreibt's halt besser dazu, damit man selbst nicht irgendwann später denkt: Welche Stelle $(x,y) [mm] \in [/mm] I [mm] \times [/mm] J$ habe ich denn nun genau betrachtet?
Also mit "für jedes beliebige $(x,y) [mm] \in [/mm] I [mm] \times [/mm] J$ gilt" oder das, was Du formuliert hast, geht das in Ordnung.
> > P.P.S.
> > Nicht wirklich wichtig hier, aber strenggenommen ist
> die
> > Negierung von [mm]a < b\,[/mm] nicht [mm]a > b\,,[/mm] sondern [mm]a \ge b\,.[/mm]
>
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Ja, eigentlich weiß ich das auch, aber dann frage ich mich
> nur, warum es im Hinweis mit > formuliert ist... Wird da
> auf mehr angespielt, als einen einfachen
> Widerspruchsbeweis, oder wäre das einfach nur die Negation
> für [mm]\ldots \leqslant \varepsilon[/mm], womit man ja die
> Konvergenz meines Wissens nach auch formulieren kann?
Wie gesagt: Es macht eigentlich keinen großen Unterschied. Es ist leicht zu beweisen (und das sollte man auch mal machen), dass man in der Definition
Die reellwertige Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert gegen $a [mm] \in \IR$ [/mm] genau dann, wenn es zu jedem [mm] $\epsilon \red{>}0$ [/mm] ein [mm] $N=N_\epsilon \in \IN$ [/mm] so gibt, dass
[mm] $|a_n-a| \blue{\;\textbf{<}\;} \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \blue{\;\textbf{>}\;} [/mm] N$
die Kombination [mm] $1.)\;\;(\blue{\;\textbf{<}\;},\blue{\;\textbf{>}\;})$ [/mm] auch ersetzen darf durch eine der folgenden:
[mm] $2.)\;\;(\blue{\;\textbf{<}\;},\blue{\;\mathbf{\ge}\;})$
[/mm]
[mm] $3.)\;\;(\blue{\;\mathbf{\le}\;},\blue{\;\textbf{>}\;})$
[/mm]
[mm] $4.)\;\;(\blue{\;\mathbf{\le}\;},\blue{\;\mathbf{\ge}\;})$
[/mm]
(das [mm] $\red{>}$ [/mm] (bei dem [mm] $\epsilon$) [/mm] darfst Du allerdings nicht durch [mm] $\ge$ [/mm] ersetzen).
Das ist auch einfach zu beweisen:
Zeige halt mal bspw., dass die Definition aus 1.) zu der aus 2.) äquivalent ist.
Und analoges gilt dann halt auch bei der [mm] $\epsilon$-$\delta$-$x_0$-Stetigkeitsdefinition [/mm] (bzgl. der Abstände der Argumente und der Funktionswerte - dort darfst Du bei [mm] $\epsilon \red{\;>\;}0$ [/mm] und [mm] $\delta \red{\;>\;}0$ [/mm] nicht [mm] $\ge$ [/mm] schreiben - also nichtmal bei einer der beiden Bedingungen).
Gruß,
Marcel
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> Wie gesagt: Es macht eigentlich keinen großen Unterschied.
> Es ist leicht zu beweisen (und das sollte man auch mal
> machen), dass man in der Definition
> Die reellwertige Folge [mm](a_n)_n[/mm] konvergiert gegen [mm]a \in \IR[/mm]
> genau dann, wenn es zu jedem [mm]\epsilon \red{>}0[/mm] ein
> [mm]N=N_\epsilon \in \IN[/mm] so gibt, dass
> [mm]|a_n-a| \blue{\;\textbf{<}\;} \epsilon[/mm] für alle [mm]n \blue{\;\textbf{>}\;} N[/mm]
>
> die Kombination
> [mm]1.)\;\;(\blue{\;\textbf{<}\;},\blue{\;\textbf{>}\;})[/mm] auch
> ersetzen darf durch eine der folgenden:
>
> [mm]2.)\;\;(\blue{\;\textbf{<}\;},\blue{\;\mathbf{\ge}\;})[/mm]
>
> [mm]3.)\;\;(\blue{\;\mathbf{\le}\;},\blue{\;\textbf{>}\;})[/mm]
>
> [mm]4.)\;\;(\blue{\;\mathbf{\le}\;},\blue{\;\mathbf{\ge}\;})[/mm]
>
> (das [mm]\red{>}[/mm] (bei dem [mm]\epsilon[/mm]) darfst Du allerdings nicht
> durch [mm]\ge[/mm] ersetzen).
>
> Das ist auch einfach zu beweisen:
> Zeige halt mal bspw., dass die Definition aus 1.) zu der
> aus 2.) äquivalent ist.
>
> Und analoges gilt dann halt auch bei der
> [mm]\epsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-[mm]x_0[/mm]-Stetigkeitsdefinition (bzgl. der
> Abstände der Argumente und der Funktionswerte - dort
> darfst Du bei [mm]\epsilon \red{\;>\;}0[/mm] und [mm]\delta \red{\;>\;}0[/mm]
> nicht [mm]\ge[/mm] schreiben - also nichtmal bei einer der beiden
> Bedingungen).
>
> Gruß,
> Marcel
Danke noch mal für deine Erklärungen! Für 1) nach 2): Sei [mm] $|a_n-a|<\epsilon \quad \forall [/mm] n>N$. Dann gilt für [mm] $N'=\min\{n:n>N\}$: $|a_n-a|<\epsilon \quad \forall n\geqslant [/mm] N'$. 2) nach 1): Ist eigentlich trivial. Wenn für [mm] $n\geqslant [/mm] N$ gilt, gilts erst recht für $n>N$.
Meintest du das so?
Aber das bringt mich nur leider bei der Aufgabe nicht weiter. :/ Hast du da vielleicht noch einen Tipp zu? Ich habe da irgenwie so gar keine Idee...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Wie gesagt: Es macht eigentlich keinen großen Unterschied.
> > Es ist leicht zu beweisen (und das sollte man auch mal
> > machen), dass man in der Definition
> > Die reellwertige Folge [mm](a_n)_n[/mm] konvergiert gegen [mm]a \in \IR[/mm]
> > genau dann, wenn es zu jedem [mm]\epsilon \red{>}0[/mm] ein
> > [mm]N=N_\epsilon \in \IN[/mm] so gibt, dass
> > [mm]|a_n-a| \blue{\;\textbf{<}\;} \epsilon[/mm] für alle [mm]n \blue{\;\textbf{>}\;} N[/mm]
>
> >
> > die Kombination
> > [mm]1.)\;\;(\blue{\;\textbf{<}\;},\blue{\;\textbf{>}\;})[/mm] auch
> > ersetzen darf durch eine der folgenden:
> >
> > [mm]2.)\;\;(\blue{\;\textbf{<}\;},\blue{\;\mathbf{\ge}\;})[/mm]
> >
> > [mm]3.)\;\;(\blue{\;\mathbf{\le}\;},\blue{\;\textbf{>}\;})[/mm]
> >
> > [mm]4.)\;\;(\blue{\;\mathbf{\le}\;},\blue{\;\mathbf{\ge}\;})[/mm]
> >
> > (das [mm]\red{>}[/mm] (bei dem [mm]\epsilon[/mm]) darfst Du allerdings nicht
> > durch [mm]\ge[/mm] ersetzen).
> >
> > Das ist auch einfach zu beweisen:
> > Zeige halt mal bspw., dass die Definition aus 1.) zu
> der
> > aus 2.) äquivalent ist.
> >
> > Und analoges gilt dann halt auch bei der
> > [mm]\epsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-[mm]x_0[/mm]-Stetigkeitsdefinition (bzgl. der
> > Abstände der Argumente und der Funktionswerte - dort
> > darfst Du bei [mm]\epsilon \red{\;>\;}0[/mm] und [mm]\delta \red{\;>\;}0[/mm]
> > nicht [mm]\ge[/mm] schreiben - also nichtmal bei einer der beiden
> > Bedingungen).
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Danke noch mal für deine Erklärungen! Für 1) nach 2):
> Sei [mm]|a_n-a|<\epsilon \quad \forall n>N[/mm]. Dann gilt für
> [mm]N'=\min\{n:n>N\}[/mm]: [mm]|a_n-a|<\epsilon \quad \forall n\geqslant N'[/mm].
na Hallo: Was ist denn [mm] $\min\{n \in \IN: n > N\}$? [/mm] Das ist einfach [mm] $N+1\,.$ [/mm] Aber ansonsten ist das richtig. Es hätte aber auch gereicht, irgendein $N' > [mm] N\,$ [/mm] zu wählen. Also $N':=N+7000$ wäre genauso gut gewesen!
> 2) nach 1): Ist eigentlich trivial. Wenn für [mm]n\geqslant N[/mm]
> gilt, gilts erst recht für [mm]n>N[/mm].
Genau: Wenn eine Aussage $A(n)$ für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt, dann gilt sie insbesondere für alle $n > [mm] N\,.$
[/mm]
> Meintest du das so?
Ja!
> Aber das bringt mich nur leider bei der Aufgabe nicht
> weiter. :/
Nein, natürlich nicht. Das bezog sich ja auch nur darauf, dass es bei der Verneinung der Stetigkeit daher genauso egal ist, ob da am Ende [mm] $\ge \varepsilon$ [/mm] oder nur $> [mm] \varepsilon$ [/mm] steht. Man erhält dann quasi nicht direkt die Verneinung der Aussage, wenn da $> [mm] \varepsilon\,$ [/mm] steht, aber die so formulierte Aussage mit [mm] $\ge \varepsilon$ [/mm] ist dann äquivalent zu der $> [mm] \varepsilon$-Aussage.
[/mm]
> Hast du da vielleicht noch einen Tipp zu? Ich
> habe da irgenwie so gar keine Idee...
Ich schau' mir das gleich nochmal an.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 So 06.05.2012 | | Autor: | Lustique |
> na Hallo: Was ist denn [mm]\min\{n \in \IN: n > N\}[/mm]? Das ist
> einfach [mm]N+1\,.[/mm] Aber ansonsten ist das richtig. Es hätte
> aber auch gereicht, irgendein [mm]N' > N\,[/mm] zu wählen. Also
> [mm]N':=N+7000[/mm] wäre genauso gut gewesen!
Mmmh ja, da habe ich mir gedacht, ich versuche das einfach mal möglichst allgemein zu formulieren. Das war aber wohl Augenwischerei. 
> Nein, natürlich nicht. Das bezog sich ja auch nur darauf,
> dass es bei der Verneinung der Stetigkeit daher genauso
> egal ist, ob da am Ende [mm]\ge \varepsilon[/mm] oder nur [mm]> \varepsilon[/mm]
> steht. Man erhält dann quasi nicht direkt die Verneinung
> der Aussage, wenn da [mm]> \varepsilon\,[/mm] steht, aber die so
> formulierte Aussage mit [mm]\ge \varepsilon[/mm] ist dann
> äquivalent zu der [mm]> \varepsilon[/mm]-Aussage.
Ja, danke noch mal. Ich hoffe meine Aussage ist jetzt nicht so rübergekommen, als ob mich das nicht kümmern würde. Ich hatte nur Bedenken, dass darüber vielleicht meine ursprüngliche Frage untergehen könnte. :O
> > Hast du da vielleicht noch einen Tipp zu? Ich
> > habe da irgenwie so gar keine Idee...
>
> Ich schau' mir das gleich nochmal an.
>
> Gruß,
> Marcel
Danke nochmals für deine Zeit.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 So 06.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi Lustique,
> > na Hallo: Was ist denn [mm]\min\{n \in \IN: n > N\}[/mm]? Das ist
> > einfach [mm]N+1\,.[/mm] Aber ansonsten ist das richtig. Es hätte
> > aber auch gereicht, irgendein [mm]N' > N\,[/mm] zu wählen. Also
> > [mm]N':=N+7000[/mm] wäre genauso gut gewesen!
>
> Mmmh ja, da habe ich mir gedacht, ich versuche das einfach
> mal möglichst allgemein zu formulieren. Das war aber wohl
> Augenwischerei.
in so einem Fall schon. Ich meine mit [mm] $\IN=\{1,2,3,4,\ldots\}$ [/mm] kann ich auch [mm] $1\,$ [/mm] als [mm] $\min \IN$ [/mm] schreiben und dann [mm] $\min \IN +\min \IN=2\,.$ [/mm] Da gibt's im Internet irgendwo eine lustige Powerpointpräsentation, wie man 1+1=2 mathematisch viel schöner schreiben kann (mittels der Taylorentwicklung von [mm] $\cos$ [/mm] etc.) 
> > Nein, natürlich nicht. Das bezog sich ja auch nur darauf,
> > dass es bei der Verneinung der Stetigkeit daher genauso
> > egal ist, ob da am Ende [mm]\ge \varepsilon[/mm] oder nur [mm]> \varepsilon[/mm]
> > steht. Man erhält dann quasi nicht direkt die Verneinung
> > der Aussage, wenn da [mm]> \varepsilon\,[/mm] steht, aber die so
> > formulierte Aussage mit [mm]\ge \varepsilon[/mm] ist dann
> > äquivalent zu der [mm]> \varepsilon[/mm]-Aussage.
>
> Ja, danke noch mal. Ich hoffe meine Aussage ist jetzt nicht
> so rübergekommen, als ob mich das nicht kümmern würde.
Keinesfalls.
> Ich hatte nur Bedenken, dass darüber vielleicht meine
> ursprüngliche Frage untergehen könnte. :O
Ne, deshalb hatte ich die Frage ja auch nur auf tw beantwortet gestellt!
> > > Hast du da vielleicht noch einen Tipp zu? Ich
> > > habe da irgenwie so gar keine Idee...
> >
> > Ich schau' mir das gleich nochmal an.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Danke nochmals für deine Zeit.
Schau' mal in die andere Antwort. Überdenke das alles mal, was ich da geschrieben habe (es war spät gestern)!
Ansonsten: Gerne!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 08.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 So 06.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lustique,
> Es seien [mm]I,J\subseteq \mathbb{R}[/mm] Intervalle, [mm]J[/mm] kompakt und
> [mm]f\colon I\times J\to \mathbb{R}[/mm] eine stetige Funktion.
> Zeigen Sie, dass die durch
>
> [mm]F(x)=\underset{y \in J}{\sup} \:f(x,y)[/mm]
>
> definierte Funktion [mm]F\colon I\to \mathbb{R}[/mm] stetig ist.
>
> Hinweis: Nehmen Sie an, dass [mm]x\in I[/mm], [mm]\varepsilon >0[/mm] und
> eine Folge [mm](x_n)[/mm] in [mm]I[/mm] mit [mm]x_n\to x[/mm] existiert, so dass
> [mm]\lvert F(x_n)-F(x)\rvert>\varepsilon[/mm]
> ... Ich glaube ich
> weiß einfach nicht so recht, wie ich mit [mm]\underset{y \in J}{\sup} \:f(x,y)[/mm]
> umgehen und es mit [mm]f(x,y)[/mm] vergleichen soll. :/
okay, ich fang' jetzt einfach mal selbst mit der Aufgabe an:
Angenommen, [mm] $F\,$ [/mm] sei unstetig, etwa unstetig an der Stelle $x [mm] \in I\,.$ [/mm] Dann gibt es $I [mm] \ni x_n \to [/mm] x$ mit [mm] $F(x_n) \not\to F(x)\,,$ [/mm] also:
Es gibt ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ so, dass [mm] $|F(x_{n_k})-F(x)| [/mm] > [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $k\,$ [/mm] für eine Teilfolge [mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm] von [mm] $(x_n)_n\,.$ [/mm] O.E. kann man daher annehmen, dass [mm] $(x_n)_n$ [/mm] schon selbst die Teilfolge ist - und daher kann man dann den Hinweis benutzen.
Jetzt würde ich folgendes machen:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist ja [mm] $F(x_n)=\sup_{\tilde{y} \in J}f(x_n,\tilde{y})\,.$ [/mm] Weil insbesondere die durch [mm] $g_n(\tilde{y}):=f(x_n,\tilde{y})$ [/mm] auf [mm] $J\,$ [/mm] definierte Funktion nach Voraussetzung stetig ist, gilt [mm] $F(x_n)=\sup_{\tilde{y} \in J}f(x_n,\tilde{y})=\max_{\tilde{y} \in J}f(x_n,\tilde{y})\,,$ [/mm] das heißt:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt ein (zu [mm] $x_n \in [/mm] I$ passendes) [mm] $y_n \in [/mm] J$ so dass [mm] $F(x_n)=f(x_n,y_n)\,.$ [/mm] Dieselbe Argumentation wie oben zeigt eigentlich, dass zu $x [mm] \in [/mm] I$ stets die durch [mm] $g_x(\tilde{y}):=f(x,\tilde{y})$ [/mm] auf [mm] $J\,$ [/mm] definierte Funktion stetig ist, und weil stetige Funktionen auf kompakten Mengen beschränkt sind und ihr Minimum und ihr Maximum annehmen kann man annehmen, dass [mm] $y_0 \in [/mm] J$ so ist, dass [mm] $\sup\{g_x(\tilde{y}): \tilde{y}\in J\}=g_x(y_0)=f(x,y_0)\,.$ [/mm]
Und jetzt benutze das mal in dem Hinweis:
Dort kannst Du ja nun von folgenden Dingen ausgehen:
[mm] $$F(x)=f(x,y_0) \text{ (braucht man vielleicht nicht, aber hinschreiben kann man's ja mal!)}\,,$$
[/mm]
[mm] $$F(x_n)=f(x_n,y_n)\,,$$
[/mm]
[mm] $$x_n \to [/mm] x [mm] \text{ bei }n \to \infty\,,$$
[/mm]
[mm] $$|F(x_n)-F(x)| [/mm] > [mm] \varepsilon \text{ für alle }n \in \IN\,,$$
[/mm]
wobei die letzten beiden Sachen wegen des Hinweises gelten!
Unklar ist nun, was [mm] $(y_n)_n$ [/mm] macht: Schön wäre es etwa zu wissen, dass [mm] $y_n \to y_0$ [/mm] gilt. Aber man kann ja noch nichtmal wirklich davon ausgehen, dass [mm] $(y_n)_n$ [/mm] überhaupt konvergiert.
Aber: [mm] $(y_n)_n$ [/mm] ist eine Folge im Kompaktum [mm] $J\,,$ [/mm] hat daher eine Teilfolge [mm] $(y_{n_k})_k\,,$ [/mm] die gegen ein $y [mm] \in [/mm] J$ konvergiert. Und jetzt kann man die Abschätzung aus dem Hinweis dann natürlich auch auf [mm] $F(x_{n_k})=f(x_{n_k},y_{n_k})$ [/mm] anwenden, und sollte damit dann sehen, dass dann aber [mm] $f\,$ [/mm] unstetig in $(x,y) [mm] \in [/mm] I [mm] \times [/mm] J$ wäre. (Bedenke: Es galt [mm] $x_n \to [/mm] x$ und [mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm] konvergiert dann als Teilfolge von [mm] $(x_n)_n$ [/mm] ... naja: Wogegen?)
Sofern ich so spät da nicht irgendwo einen Denkfehler habe - also bitte nochmal alles genauestens lesen und am besten an Stellen, die Dir unklar erscheinen, nachfragen. Vermutlich liegt dann da ein Schnellschuss/Fehler von mir vor.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 So 06.05.2012 | | Autor: | Lustique |
Hallo Marcel,
ich gehe jetzt einfach mal deinen Vorschlag, bzw. deine Lösung durch und schreibe was zu den Stellen, die mir unklar sind:
> [...]
> Jetzt würde ich folgendes machen:
> Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] ist ja [mm]F(x_n)=\sup_{\tilde{y} \in J}f(x_n,\tilde{y})\,.[/mm]
> Weil insbesondere die durch
> [mm]g_n(\tilde{y}):=f(x_n,\tilde{y})[/mm] auf [mm]J\,[/mm] definierte
> Funktion nach Voraussetzung stetig ist, gilt
> [mm]F(x_n)=\sup_{\tilde{y} \in J}f(x_n,\tilde{y})=\max_{\tilde{y} \in J}f(x_n,\tilde{y})\,,[/mm]
> das heißt:
Du definierst hier mit [mm] $g_n$ [/mm] eine Funktionenfolge, oder? Und [mm] $F(x_n)=\sup_{\tilde{y} \in J}f(x_n,\tilde{y})=\max_{\tilde{y} \in J}f(x_n,\tilde{y})$ [/mm] gilt, weil [mm] $g_n$ [/mm] stetig ist (weil $f$ stetig ist) und auf einem beschränkten Intervall $J$ definiert ist, und stetige Funktionen auf kompakten Intervallen Minimum und Maximum annehmen, oder? (Das hast du ja auch weiter unten geschrieben) Und für [mm] $F(x_n)$ [/mm] gilt das, weil [mm] $g_n$ [/mm] ja für jedes $n$, also auch für alle [mm] $x_n$ [/mm] stetig ist?
> Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] gibt ein (zu [mm]x_n \in I[/mm] passendes) [mm]y_n \in J[/mm]
> so dass [mm]F(x_n)=f(x_n,y_n)\,.[/mm]
Könntest das noch kurz erläutern? Das ist wahrscheinlich eigentlich klar, aber mir gerade ehrlich gesagt nicht. :D
> Dieselbe Argumentation wie
> oben zeigt eigentlich, dass zu [mm]x \in I[/mm] stets die durch
> [mm]g_x(\tilde{y}):=f(x,\tilde{y})[/mm] auf [mm]J\,[/mm] definierte Funktion
> stetig ist, und weil stetige Funktionen auf kompakten
> Mengen beschränkt sind und ihr Minimum und ihr Maximum
> annehmen kann man annehmen, dass [mm]y_0 \in J[/mm] so ist, dass
> [mm]\sup\{g_x(\tilde{y}): \tilde{y}\in J\}=g_x(y_0)=f(x,y_0)\,.[/mm]
Die Stetigkeit von [mm] $g_x(\tilde{y}):=f(x,\tilde{y})$ [/mm] folgt wieder aus der Stetigkeit von $f$?
> Und jetzt benutze das mal in dem Hinweis:
> Dort kannst Du ja nun von folgenden Dingen ausgehen:
> [mm]F(x)=f(x,y_0) \text{ (braucht man vielleicht nicht, aber hinschreiben kann man's ja mal!)}\,,[/mm]
>
> [mm]F(x_n)=f(x_n,y_n)\,,[/mm]
> [mm]x_n \to x \text{ bei }n \to \infty\,,[/mm]
> [mm]|F(x_n)-F(x)| > \varepsilon \text{ für alle }n \in \IN\,,[/mm]
In solch eine Richtung hatte ich auch überlegt, da war ich mir nur immer unsicher, ob ich einfach $y$ durch eine Folge [mm] $(y_n)$ [/mm] ersetzen darf... Eigentlich ist ja [mm] $F(x_n)=\underset{y\in J}{\sup}\: f(x_n,y)$. [/mm] Ich will ja, sozusagen da [mm] $\left\lvert\underset{y \in J}{\sup} \:f(x_n,y)-\underset{y \in J}{\sup} \:f(x,y)\right\rvert$ [/mm] hin, habe aber [mm] $\left\lvert\underset{y \in J}{\sup} \:f(x_n,y_n)-\underset{y \in J}{\sup} \:f(x,y)\right\rvert$, [/mm] sozusagen, oder?
> wobei die letzten beiden Sachen wegen des Hinweises
> gelten!
>
> Unklar ist nun, was [mm](y_n)_n[/mm] macht: Schön wäre es etwa zu
> wissen, dass [mm]y_n \to y_0[/mm] gilt. Aber man kann ja noch
> nichtmal wirklich davon ausgehen, dass [mm](y_n)_n[/mm] überhaupt
> konvergiert.
>
> Aber: [mm](y_n)_n[/mm] ist eine Folge im Kompaktum [mm]J\,,[/mm] hat daher
> eine Teilfolge [mm](y_{n_k})_k\,,[/mm] die gegen ein [mm]y \in J[/mm]
> konvergiert. Und jetzt kann man die Abschätzung aus dem
> Hinweis dann natürlich auch auf
> [mm]F(x_{n_k})=f(x_{n_k},y_{n_k})[/mm] anwenden, und sollte damit
> dann sehen, dass dann aber [mm]f\,[/mm] unstetig in [mm](x,y) \in I \times J[/mm]
> wäre. (Bedenke: Es galt [mm]x_n \to x[/mm] und [mm](x_{n_k})_k[/mm]
> konvergiert dann als Teilfolge von [mm](x_n)_n[/mm] ... naja:
> Wogegen?)
[mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm] konvergiert dann natürlich auch gegen $x$, da die Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] ja konvergent ist.
So hätte ich ja dann auch tatsächlich meinen Widerspruch, denn es würde ja dann gelten: [mm] $\left\lvert f(x_n_k,y_n_k)-\:f(x,y_0)\right\rvert>\varepsilon$, [/mm] und das ist nicht vereinbar mit $$ [mm] \forall\varepsilon>0\:\exists n_0\in\mathbb{N}\:\forall n\geqslant n_0: \lvert f(x_n,y_n)-f(x,y)\rvert <\varepsilon, [/mm] $$ also der Stetigkeit von f, falls das oben die richtige Formulierung dafür ist (also wegen [mm] $f({\color{red}x_n},{\color{blue}y_n})$). [/mm]
> Sofern ich so spät da nicht irgendwo einen Denkfehler habe
> - also bitte nochmal alles genauestens lesen und am besten
> an Stellen, die Dir unklar erscheinen, nachfragen.
> Vermutlich liegt dann da ein Schnellschuss/Fehler von mir
> vor.
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 Mo 07.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> ich gehe jetzt einfach mal deinen Vorschlag, bzw. deine
> Lösung durch und schreibe was zu den Stellen, die mir
> unklar sind:
>
> > [...]
> > Jetzt würde ich folgendes machen:
> > Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] ist ja [mm]F(x_n)=\sup_{\tilde{y} \in J}f(x_n,\tilde{y})\,.[/mm]
> > Weil insbesondere die durch
> > [mm]g_n(\tilde{y}):=f(x_n,\tilde{y})[/mm] auf [mm]J\,[/mm] definierte
> > Funktion nach Voraussetzung stetig ist, gilt
> > [mm]F(x_n)=\sup_{\tilde{y} \in J}f(x_n,\tilde{y})=\max_{\tilde{y} \in J}f(x_n,\tilde{y})\,,[/mm]
> > das heißt:
>
> Du definierst hier mit [mm]g_n[/mm] eine Funktionenfolge, oder?
ja. Du kannst die aber auch als [mm] $g_{x_n}$ [/mm] lesen. Dann ist das sowas wie eine Familie von Funktionen ... [mm] $x_n$ [/mm] ist quasi "der Parameter".
> Und
> [mm]F(x_n)=\sup_{\tilde{y} \in J}f(x_n,\tilde{y})=\max_{\tilde{y} \in J}f(x_n,\tilde{y})[/mm]
> gilt, weil [mm]g_n[/mm] stetig ist (weil [mm]f[/mm] stetig ist) und auf einem
> beschränkten Intervall [mm]J[/mm] definiert ist, und stetige
> Funktionen auf kompakten Intervallen Minimum und Maximum
> annehmen, oder? (Das hast du ja auch weiter unten
> geschrieben) Und für [mm]F(x_n)[/mm] gilt das, weil [mm]g_n[/mm] ja für
> jedes [mm]n[/mm], also auch für alle [mm]x_n[/mm] stetig ist?
Ja!
> > Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] gibt ein (zu [mm]x_n \in I[/mm] passendes) [mm]y_n \in J[/mm]
> > so dass [mm]F(x_n)=f(x_n,y_n)\,.[/mm]
>
> Könntest das noch kurz erläutern? Das ist wahrscheinlich
> eigentlich klar, aber mir gerade ehrlich gesagt nicht. :D
Das ist die Anwendung der oben festgestellten Eigenschaft:
Weil [mm] $g_{x_n}=g_n$ [/mm] stetig auf dem kompakten Intervall [mm] $J\,$ [/mm] ist, gibt es ein [mm] $y_n \in [/mm] J$ so, dass [mm] $g_{n}(y_n)=\max_{\tilde{y} \in J}g(\tilde{y})\,.$
[/mm]
> > Dieselbe Argumentation wie
> > oben zeigt eigentlich, dass zu [mm]x \in I[/mm] stets die durch
> > [mm]g_x(\tilde{y}):=f(x,\tilde{y})[/mm] auf [mm]J\,[/mm] definierte Funktion
> > stetig ist, und weil stetige Funktionen auf kompakten
> > Mengen beschränkt sind und ihr Minimum und ihr Maximum
> > annehmen kann man annehmen, dass [mm]y_0 \in J[/mm] so ist, dass
> > [mm]\sup\{g_x(\tilde{y}): \tilde{y}\in J\}=g_x(y_0)=f(x,y_0)\,.[/mm]
>
> Die Stetigkeit von [mm]g_x(\tilde{y}):=f(x,\tilde{y})[/mm] folgt
> wieder aus der Stetigkeit von [mm]f[/mm]?
>
> > Und jetzt benutze das mal in dem Hinweis:
> > Dort kannst Du ja nun von folgenden Dingen ausgehen:
> > [mm]F(x)=f(x,y_0) \text{ (braucht man vielleicht nicht, aber hinschreiben kann man's ja mal!)}\,,[/mm]
>
> >
> > [mm]F(x_n)=f(x_n,y_n)\,,[/mm]
> > [mm]x_n \to x \text{ bei }n \to \infty\,,[/mm]
> > [mm]|F(x_n)-F(x)| > \varepsilon \text{ für alle }n \in \IN\,,[/mm]
>
> In solch eine Richtung hatte ich auch überlegt, da war ich
> mir nur immer unsicher, ob ich einfach [mm]y[/mm] durch eine Folge
> [mm](y_n)[/mm] ersetzen darf... Eigentlich ist ja
> [mm]F(x_n)=\underset{y\in J}{\sup}\: f(x_n,y)[/mm]. Ich will ja,
> sozusagen da [mm]\left\lvert\underset{y \in J}{\sup} \:f(x_n,y)-\underset{y \in J}{\sup} \:f(x,y)\right\rvert[/mm]
> hin, habe aber [mm]\left\lvert\underset{y \in J}{\sup} \:f(x_n,y_n)-\underset{y \in J}{\sup} \:f(x,y)\right\rvert[/mm],
> sozusagen, oder?
>
> > wobei die letzten beiden Sachen wegen des Hinweises
> > gelten!
> >
> > Unklar ist nun, was [mm](y_n)_n[/mm] macht: Schön wäre es etwa zu
> > wissen, dass [mm]y_n \to y_0[/mm] gilt. Aber man kann ja noch
> > nichtmal wirklich davon ausgehen, dass [mm](y_n)_n[/mm] überhaupt
> > konvergiert.
> >
> > Aber: [mm](y_n)_n[/mm] ist eine Folge im Kompaktum [mm]J\,,[/mm] hat daher
> > eine Teilfolge [mm](y_{n_k})_k\,,[/mm] die gegen ein [mm]y \in J[/mm]
> > konvergiert. Und jetzt kann man die Abschätzung aus dem
> > Hinweis dann natürlich auch auf
> > [mm]F(x_{n_k})=f(x_{n_k},y_{n_k})[/mm] anwenden, und sollte damit
> > dann sehen, dass dann aber [mm]f\,[/mm] unstetig in [mm](x,y) \in I \times J[/mm]
> > wäre. (Bedenke: Es galt [mm]x_n \to x[/mm] und [mm](x_{n_k})_k[/mm]
> > konvergiert dann als Teilfolge von [mm](x_n)_n[/mm] ... naja:
> > Wogegen?)
>
> [mm](x_{n_k})_k[/mm] konvergiert dann natürlich auch gegen [mm]x[/mm], da
> die Folge [mm](x_n)[/mm] ja konvergent ist.
>
> So hätte ich ja dann auch tatsächlich meinen Widerspruch,
> denn es würde ja dann gelten: [mm]$\left\lvert f(x_n_k,y_n_k)-\:f(x,y_0)\right\rvert>\varepsilon$,[/mm]
> und das ist nicht vereinbar mit
> [mm]\forall\varepsilon>0\:\exists n_0\in\mathbb{N}\:\forall n\geqslant n_0: \lvert f(x_n,y_n)-f(x,y)\rvert <\varepsilon,[/mm]
> also der Stetigkeit von f, falls das oben die richtige
> Formulierung dafür ist (also wegen
> [mm]$f({\color{red}x_n},{\color{blue}y_n})$).[/mm]
>
> > Sofern ich so spät da nicht irgendwo einen Denkfehler habe
> > - also bitte nochmal alles genauestens lesen und am besten
> > an Stellen, die Dir unklar erscheinen, nachfragen.
> > Vermutlich liegt dann da ein Schnellschuss/Fehler von mir
> > vor.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
Zum Rest: Schau' unbedingt in Seckis Mitteilung!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Di 08.05.2012 | | Autor: | Lustique |
Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 So 06.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> Aber: [mm](y_n)_n[/mm] ist eine Folge im Kompaktum [mm]J\,,[/mm] hat daher
> eine Teilfolge [mm](y_{n_k})_k\,,[/mm] die gegen ein [mm]y \in J[/mm]
> konvergiert. Und jetzt kann man die Abschätzung aus dem
> Hinweis dann natürlich auch auf
> [mm]F(x_{n_k})=f(x_{n_k},y_{n_k})[/mm] anwenden, und sollte damit
> dann sehen, dass dann aber [mm]f\,[/mm] unstetig in [mm](x,y) \in I \times J[/mm]
> wäre. (Bedenke: Es galt [mm]x_n \to x[/mm] und [mm](x_{n_k})_k[/mm]
> konvergiert dann als Teilfolge von [mm](x_n)_n[/mm] ... naja:
> Wogegen?)
Das reicht, a priori, nicht. Erstmal konvergeirt das ganze gegen ein [mm]f(x,y)\le F(x)[/mm]. was an sich kein Widerspruch zur Stetigkeit von f ist - das kann ja durchauch kleiner sein als [mm]F(x)[/mm]! Allerdings nehme man obiges [mm]y_0[/mm] mit [mm]F(x)=f(x,y_0)[/mm] und betrachte die Folge [mm]f(x_n,y_0)[/mm] für [mm](x_n,y_0)\to (x,y_0)[/mm] und hat den Widerspruch beisammen.
Als Bonus kann man sich dann überlegen, dass, wenn man J auch mal als nicht kompakt zu lässt, man [mm]\liminf_{x_n\to x} F(x_n) \ge F(x)[/mm] immer erreicht. Also das ganze immer unterhalbstetig ist. Allerdings nicht immer stetig, oder?
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:47 Mo 07.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Secki,
> > Aber: [mm](y_n)_n[/mm] ist eine Folge im Kompaktum [mm]J\,,[/mm] hat daher
> > eine Teilfolge [mm](y_{n_k})_k\,,[/mm] die gegen ein [mm]y \in J[/mm]
> > konvergiert. Und jetzt kann man die Abschätzung aus dem
> > Hinweis dann natürlich auch auf
> > [mm]F(x_{n_k})=f(x_{n_k},y_{n_k})[/mm] anwenden, und sollte damit
> > dann sehen, dass dann aber [mm]f\,[/mm] unstetig in [mm](x,y) \in I \times J[/mm]
> > wäre. (Bedenke: Es galt [mm]x_n \to x[/mm] und [mm](x_{n_k})_k[/mm]
> > konvergiert dann als Teilfolge von [mm](x_n)_n[/mm] ... naja:
> > Wogegen?)
>
> Das reicht, a priori, nicht. Erstmal konvergeirt das ganze
> gegen ein [mm]f(x,y)\le F(x)[/mm]. was an sich kein Widerspruch zur
> Stetigkeit von f ist - das kann ja durchauch kleiner sein
> als [mm]F(x)[/mm]!
sehr gut aufgepasst - das war mir nicht so ganz klar. Da war der Haken, den ich zu so später Stunde nicht gesehen habe!
> Allerdings nehme man obiges [mm]y_0[/mm] mit [mm]F(x)=f(x,y_0)[/mm]
> und betrachte die Folge [mm]f(x_n,y_0)[/mm] für [mm](x_n,y_0)\to (x,y_0)[/mm]
> und hat den Widerspruch beisammen.
Bäng - *Brett gegen Kopf hau*
Natürlich!! So einfach kann's manchmal sein, und dann bricht man sich einen ab ^^
> Als Bonus kann man sich dann überlegen, dass, wenn man J
> auch mal als nicht kompakt zu lässt, man [mm]\liminf_{x_n\to x} F(x_n) \ge F(x)[/mm]
> immer erreicht. Also das ganze immer unterhalbstetig ist.
> Allerdings nicht immer stetig, oder?
Dadrüber denke ich ein andermal nach. Allerdings vermute ich, dass letzteres i.a. nicht gilt - d.h. wenn [mm] $J\,$ [/mm] ein beliebiges Intervall Teilmenge [mm] $\IR$ [/mm] ist, dass man dann nicht immer die Stetigkeit von [mm] $F\,$ [/mm] erfüllt bekommt!
Danke für die Korrektur und die Ergänzung!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Di 08.05.2012 | | Autor: | Lustique |
Danke auch für deinen Beitrag! So wie du es gemacht hast, erscheint mir das ganze auch ein bisschen leichter nachzuvollziehen.
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