Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 So 13.07.2014 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Bestimme die Punkte (x,y) [mm] \in \IR^2, [/mm] wo die Funktion f: [mm] \IR^2 \rightarrow \IR [/mm] definiert durch
[mm] f(x,y):=\begin{cases} \bruch{xsin(\bruch{1}{x})+y}{x+y}, & \mbox{für } x+y\not=0 und x \not=0 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{ } sonst \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
stetig ist |
Hallo zusammen,
da ich immer so meine schwierigkeiten haben zu stetigkeit, hoffe ich ihr könnt mir bei diese aufgabe helfen.
Die funktion ist als Komposition stetiger funktion wider stetig für x+y [mm] \not=1 [/mm] (richtig?). daher überprüfen wir die krit. Stellen für die der Nenner Null wird, dh (x,y)=(0,0) (kann es z.b auch (x,y)=(1,-1) bzw. (x,y)=(-1,1) sein, denn dafür wird der Nenner auch null?)
In dem ich eine Folge gebastelt habe, die gegen 1 konvergiert d.h [mm] x_n=1+ \bruch{1}{2 \pi n} [/mm] und [mm] y_n=1+ \bruch{1}{n}. [/mm] Das habe ich dann in die Funktion eingesetzt:
[mm] \bruch{1+ \bruch{1}{2 \pi n}sin(\bruch{1}{1+ \bruch{1}{2 \pi n}})+1+ \bruch{1}{n}}{1+ \bruch{1}{2 \pi n}+1+ \bruch{1}{n}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1+ \bruch{1}{2 \pi n}sin(\bruch{1}{1+ \bruch{1}{2 \pi n}})+1+ \bruch{1}{n}}{1+ \bruch{1}{2 \pi n}+1+ \bruch{1}{n}} [/mm] durch zusammenfassen und am ende den limes für n gegen unendl. laufen lassen erhalte dann...=1. ich weiß das ich diese folgekrit. theoretisch nur benutzen kann um zu zeigen dass es nicht stetig ist in diesem pkt. aber ich wusste nicht wie ich es anstellen soll. nach meine lgs wäre sie nur für diesen beiden folgen stetig.
ich habe dann noch mal anders versucht:
[mm] |\bruch{xsin(\bruch{1}{x})+y}{x+y}-1|=|\bruch{xsin(\bruch{1}{x})+y-y-x}{x+y}|=|\bruch{xsin(\bruch{1}{x})-x}{x+y}|\le |\bruch{1-x}{x+y}|, [/mm] da sin(1/x) [mm] \le [/mm] 1/x
weiter komme ich leider nicht, scheint mir irgendwie auch falsch. ich bin leider mit meinem latein am ende und es ist bestimmt einfach, aber ich komme einfach nicht drauf.hoffe ihr könnt mir dabei helfen. dankeschön im voraus
gruß,
knowhow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Mo 14.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. sin(1/x) [mm] \le [/mm] 1/x ist falssch setz für [mm] x=1/(n*\pi) [/mm] ein!
2. warum nicht eine allgemeine folgx=a+r, y=-a+s r,s gegen 0
Gru0 leduart
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