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| Aufgabe | Sei f [mm] \in \mathcal{L}^{1}(\IR,\lambda) [/mm] und
[mm] F(x):=\integral_{-\infty}^{x}f(t)dt:=\integral_{(-\infty,x]}f d\lambda
[/mm]
für x [mm] \in \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass F stetig auf [mm] \IR [/mm] ist. |
Hallo,
wäre jetzt an die Aufgabe folgendermaßen herangegangen:
F(x) stetig auf [mm] \IR \gdw lim_{y \rightarrow x} [/mm] F(y)=F(x), y<x, [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR, [/mm] sowie [mm] lim_{y \rightarrow x}F(y)=F(x), [/mm] y>x, [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm]
Es gilt [mm] lim_{y \rightarrow x} [/mm] F(y)= [mm] lim_{y \rightarrow x} \integral_{(-\infty,y]}f d\lambda [/mm] = [mm] \integral_{(-\infty,x]}f d\lambda, [/mm] y<x, [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR, [/mm]
analog für y>x.
Wäre das schon alles? 
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Di 27.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei f [mm]\in \mathcal{L}^{1}(\IR,\lambda)[/mm] und
>
> [mm]F(x):=\integral_{-\infty}^{x}f(t)dt:=\integral_{(-\infty,x]}f d\lambda[/mm]
>
> für x [mm]\in \IR.[/mm] Zeigen Sie, dass F stetig auf [mm]\IR[/mm] ist.
>
> Hallo,
> wäre jetzt an die Aufgabe folgendermaßen herangegangen:
>
> F(x) stetig auf [mm]\IR \gdw lim_{y \rightarrow x}[/mm] F(y)=F(x),
> y<x, [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR,[/mm] sowie [mm]lim_{y \rightarrow x}F(y)=F(x),[/mm]
> y>x, [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR[/mm]
>
> Es gilt [mm]lim_{y \rightarrow x}[/mm] F(y)= [mm]lim_{y \rightarrow x} \integral_{(-\infty,y]}f d\lambda[/mm]
> = [mm]\integral_{(-\infty,x]}f d\lambda,[/mm] y<x, [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR,[/mm]
> analog für y>x.
> Wäre das schon alles?
Natürlich nicht !!
Du schreibst:
$ [mm] lim_{y \rightarrow x} \integral_{(-\infty,y]}f d\lambda [/mm] = [mm] \integral_{(-\infty,x]}f d\lambda, [/mm] $
Das ist doch aber genau das, was Du zeigen musst !
FRED
>
> LG
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:23 Di 27.01.2015 | | Autor: | derriemann |
Ich versteh nur grad nicht, wie man das jetzt genau mathematisch zeigen sollte. Von der Anschauung ist es mir einfach klar, dass die Gleichheit gilt....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Di 27.01.2015 | | Autor: | Jodocus |
Ich würde mal das epsilon-delta-Kriterium und den Mittelwertsatz bemühen.
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