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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mo 21.09.2015 | | Autor: | Hias |
| Aufgabe | | Ist eine nicht-degenierierte, scchiefsymmetrische Matrix stetig? |
Hallo,
ich untersuche gerade nicht-degenerierte 2-Formen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und frage mich, ob die nicht-degenieriertheit genügt, um darauf schließen zu können, dass die Matrix stetig ist.
Ich gehe davon aus, dass die Vektorfelder die ich in die 2-Form stekce [mm] $C^\infty [/mm] $sind, die machen also keine Probleme. Aus der allgemeinen Darstellung für k-Formen (z.B im Königsberger zu finden) stelle ich folgende allgmeine 2-Form auf.
[mm] $\omega=\summe_{i
Dieser Ausdruck ist unstetig genau dann wenn ein [mm] $a_{ij}(p)$ [/mm] unstetig ist.
Aber es können in der Matrix unstetige Ausdrücke stehen, die Frage die ich mir stelle ist, kann es passieren, dass ich einer solchen Unstetigkeitsstelle zu nahe komme?
Nehmen wir z.B
[mm] $\omega= \pmat{ 0 & \bruch{1}{||x||} \\ \bruch{-1}{||x||} & 0}$ [/mm] für ||x||= [mm] \wurzel[2]{x_1^2+_2^2}, [/mm] und meine Mannigfaltigkeit ist eine Sphäre. Dann würde die Unstetigkeit für keine Sphäre die echt größer 0 ist relevant werden.
Hat jemand einen Tipp?
Danke im Voraus
Hias
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Hallo,
ich denke du hast die Antwort schon gegeben. Meiner Meinung nach kann man a priori nicht sagen ob die Matrix Matrix stetig ist. Wichtig ist eben der Definitionsbereich. Dies ist ja aber bei "ganz normalen" Funktionen genauso.
Die Frage die sich auch stellt: Benötigt man wirklich solch eine globale Form.
Nimm eine stark symplektische Mannigfaltigkeit [mm] $(M,\omega)$. [/mm] Dann sichert dir das Darboux-Theorem, dass du lokal immer eine symplektische Form der Art
[mm] \omega=\sum{dx_i}\wedge{dy_i}
[/mm]
findest. Oder allgemeiner, dass die symplektische Form konstant in dieser Umgebung ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Mi 23.09.2015 | | Autor: | Hias |
Hallo und danke für deine Antwort.
Ja so hätte ich dann auch argumentiert. Genauer handelt es sich um folgendes Korollar:
Sei [mm] $(M,\Omega)$ [/mm] eine symplektische Mannigfaltigkeit stetiger 2-Form [mm] $\Omega$ [/mm] und einer kompakten Teilmenge [mm] $A\subset [/mm] M, sowie [mm] $X_H$ [/mm] ein hamiltonsches Vektorfeld mit Fluss [mm] $\Phi^t:I\subset \R \rightarrow [/mm] A. Dann ist [mm] $\Phi^t$ [/mm] Volumenerhaltend, in Zeichen [mm] $$\int_A (\Phi^t) ^\* \Omega =\int_{A}\Omega.$$
[/mm]
(Ob man wirklich annehmen kann, dass der Fluss nach A abbildet ist mir nicht ganz klar. Als Gegenbeispiel hätte ich den [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] angegeben mit unbeschränkten Fluss, dann existiert kein kompaktes A. Ich denke man müsste an den Voraussetzungen noch etwas verändern.)
Für mich war es jetzt eben nicht klar, ob man einfach so integrieren kann, deshalb habe ich mir folgede Erklärung "zusammengesucht":
Es kann integriert werden, wenn die eingesetzten Vektorfelder stetig sind, denn laut [Königsberger, Seite 422] ist jede stetige k-Form auf einer kompakten Teilmenge [mm] $A\subset [/mm] M$ einer orientierbaren Mannigfaltigkeit über A integrierbar. Jede symplektische Mannigfaltigkeiten kann laut [Marsden und Ratiu, Seite 155] durch die sogenannte Liouvillsche Volumenform orientiert werden. Für die allgemeine Darstellung einer 2-Form
[mm] $$\Omega_p=\sum_{i
können wir [mm] $a_{ij}\in C(M,\mathbb{R})$ [/mm] annehmen, da wir durch den Satz von Darboux, nachzulesen in [Marsden und Ratiu, Seite 154], die 2-Form lokal durch die standard-symplektische Form [mm] $$\Omega_p=\sum_{i=1}^{n}dp_i \wedge dq_i$$ [/mm] darstellen können. Somit ist [mm] $\Omega \in [/mm] C(T_pM [mm] \times [/mm] T_pM, [mm] \mathbb{R}) \Leftrightarrow [/mm] die eingesetzten Vektorfelder $X,Y [mm] \in C(T_pM,\mathbb{R}^{2n})$ [/mm] sind.
Klingt das schlüssig? Ich bin schon etwas arbeitsblind.
MfG
Hias
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Grüß dich!
> Hallo und danke für deine Antwort.
> Ja so hätte ich dann auch argumentiert. Genauer handelt es
> sich um folgendes Korollar:
> Sei [mm]$(M,\Omega)$[/mm] eine symplektische Mannigfaltigkeit
> stetiger 2-Form [mm]$\Omega$[/mm] und einer kompakten Teilmenge
> [mm]$A\subset[/mm] M, sowie [mm]$X_H$[/mm] ein hamiltonsches Vektorfeld mit
> Fluss [mm]$\Phi^t:I\subset \R \rightarrow[/mm] A. Dann ist [mm]$\Phi^t$[/mm]
> Volumenerhaltend, in Zeichen [mm]\int_A (\Phi^t) ^\* \Omega =\int_{A}\Omega.[/mm]
Klar erhalten die Flüsse das Volumen. Die Flüsse sind Symplektomorphismen. Der Beweis ist auch total simpel. Ich schreibe mal [mm] F_t [/mm] für die Flüsse des Hamiltonschen Vektorfelds. Punktweise gilt dann
[mm] \frac{d}{dt}F^\*_t\omega=F^\*_t\frac{d}{dt}F^\*_t\omega=F^\*_t(\mathcal{L}_{X_H}\omega)=F^\*_t(d(\iota_{X_H}\omega)+\iota_{X_H}d\omega))=F^\*_t(d(-dH))=0
[/mm]
Mit der Anfangsbedingung [mm] F^\*_0=\mathrm{id} [/mm] folgt dann dass [mm] F^\*_t\omega=\omega.
[/mm]
Da die Volumenform [mm] \Omega_n=\omega\wedge\ldots\wegde\omega [/mm] ist, folgt dann auch, dass [mm] F^\*_t\Omega=\Omega, [/mm] also volumenerhaltend.
Die Definition mit der Integration ist mir neu. Sollte aber an sich kaum etwas verändern. DIe Integral sind gleich, wenn die Integranden gleich sind. Und das ist ja der Fall.
>
> (Ob man wirklich annehmen kann, dass der Fluss nach A
> abbildet ist mir nicht ganz klar. Als Gegenbeispiel hätte
> ich den [mm]\mathbb{R}^2[/mm] angegeben mit unbeschränkten Fluss,
> dann existiert kein kompaktes A. Ich denke man müsste an
> den Voraussetzungen noch etwas verändern.)
>
> Für mich war es jetzt eben nicht klar, ob man einfach so
> integrieren kann, deshalb habe ich mir folgede Erklärung
> "zusammengesucht":
>
> Es kann integriert werden, wenn die eingesetzten
> Vektorfelder stetig sind, denn laut [Königsberger, Seite
> 422] ist jede stetige k-Form auf einer kompakten Teilmenge
> [mm]A\subset M[/mm] einer orientierbaren Mannigfaltigkeit über A
> integrierbar. Jede symplektische Mannigfaltigkeiten kann
> laut [Marsden und Ratiu, Seite 155] durch die sogenannte
> Liouvillsche Volumenform orientiert werden. Für die
> allgemeine Darstellung einer 2-Form
> [mm]\Omega_p=\sum_{i
> können
> wir [mm]$a_{ij}\in C(M,\mathbb{R})$[/mm] annehmen, da wir durch den
> Satz von Darboux, nachzulesen in [Marsden und Ratiu, Seite
> 154], die 2-Form lokal durch die standard-symplektische
> Form [mm]\Omega_p=\sum_{i=1}^{n}dp_i \wedge dq_i[/mm] darstellen
> können. Somit ist [mm]$\Omega \in[/mm] C(T_pM [mm]\times[/mm] T_pM,
> [mm]\mathbb{R}) \Leftrightarrow[/mm] die eingesetzten Vektorfelder
> $X,Y [mm]\in C(T_pM,\mathbb{R}^{2n})$[/mm] sind.
>
> Klingt das schlüssig? Ich bin schon etwas arbeitsblind.
Eine Mannigfaltigkeit ist orientierbar, wenn eine nichtverschwindende Volumenform existiert.
> MfG
> Hias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:13 Do 24.09.2015 | | Autor: | Hias |
Danke für den Beweis. Diesen hatte ich bereits, darum handelt es sich bei der Aussage um ein Korollar, da es eben sofort folgt. Die Frage die ich mir gestellt hatte war, warum ich überhaupt integrieren kann. Ich finde es nicht sofort klar, dass ich einfach über die Mannigfaltigkeit oder Teilmengen davon integrieren kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Do 24.09.2015 | | Autor: | Richie1401 |
Morgen,
ich wüsste ehrlich gesagt nicht, was dagegen spricht.
Das Korollar spricht ja auch von einer beliebigen kompakten Menge $A$. Über kompakte Mannigfaltigkeiten (bzw. kompakte Teilmengen) oder über kompakte Differentialformen kann man immer integrieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Do 24.09.2015 | | Autor: | Hias |
Mir ist klar, dass es geht, aber es muss ja auch begründet werden, warum man integrieren darf.
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