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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Abbildung d: [mm] \IC \times \IC \to \IR [/mm] mit d(z,w)=|z-w|stetig ist.
Zeigen sie, dass [mm] |1+e^{2\pi i/5}| [/mm] eine Lösung der Gleichung [mm] a^{2}-a-1=0 [/mm] ist. |
Guten Abend allerseits,
in der Vorlesung haben wir auf [mm] \IC [/mm] die Norm definiert....jetzt bedinden wir uns aber in [mm] \IC \times \IC....muss [/mm] ich jetzt die Produktnorm nehmen? Ich finde keine sinnvolle Definition für Stetigkeit, die ich nachrechnen soll...
Die Abbildung d sieht ja sehr nach einer Metrik auf [mm] \IC \times \IC [/mm] aus. Eine Norm habe ich auch, also würde ich einfach sagen:
|z-w|< [mm] \delta [/mm] => ||z|-|w||< [mm] \varepsilon [/mm] , aber das scheint mir falsch, denn ich nehme ja eigentlich dann |d(z,0)-d(w,0)| < [mm] \varepsilon [/mm] und das geht ja irgendwie nicht.
Zur zweiten Aufgabe nur eine kurze Frage. Wie soll ich die Beträge interpretieren. Ich kann e ... mit Eulerformel umschreiben als cos + i sin. Aber das Problem ist, dass ich im Sinus immernoch einen komplexen Eintrag habe. Sonst könnte ich e... als a+ib auffassen, wobei a,b = sin, cos [mm] \in \IR [/mm] sind. Das geht aber doch nicht, eben weil im Sinus noch ein i steht.
Oder kann ich annehmen, dass [mm] e^{2\pi i/5} [/mm] < 1 ist.....das kommt mir auch reichlich komisch vor.
Viele Grüße
Alex
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Du mußt für jedes [mm](z_0,w_0) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C}[/mm] zeigen, daß zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]\delta>0[/mm] existiert mit
[mm]\left| d(z,w) - d(z_0,w_0) \right| < \varepsilon[/mm], wenn nur [mm]|z-z_0| < \delta[/mm] und [mm]|w - w_0| < \delta[/mm] ist.
Das kennzeichnet die Produkttopologie, realisiert mittels der Maximumnorm.
Beachte hierzu die Umformung
[mm]\left| d(z,w) - d(z_0,w_0) \right| = \left| \, |z-w| - |z_0 - w_0| \, \right| \leq \left| (z-w) - (z_0 - w_0) \right|[/mm]
[mm]= \left| (z - z_0) - (w - w_0) \right| \leq |z - z_0| + |w - w_0|[/mm]
Bei der ersten Abschätzung wurde die umgekehrte Dreiecksungleichung [mm]|a-b| \geq \left| \, |a| - |b| \, \right|[/mm], bei der zweiten die Dreiecksungleichung [mm]|a+b| \leq |a| + |b|[/mm] verwendet.
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Ah sehr gut vielen Dank, das hilft mir schonmal weiter. Aber was meinst Du genau mit "realisiert" durch die Maximumsnorm? Der Rechenweg ist mir jetzt klar, aber die mathematische Bedeutung noch nicht. Werd mich nochmal davor setzen.
Fällt Dir/euch zu meiner zweiten Frage was ein. Ich würde ja gerne einfach die Definition der Norm auf [mm] \IC [/mm] nehmen, aber das kann ich ja so ohne weiteres nicht machen. Wär cool, wenn ihr mir nur dazu einen Tipp geben könntet, der Rest läuft wahrscheinlich wieder auf Rechnen hinaus, das müsste gehen.
:)
Viele Grüße
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Fr 03.02.2006 | | Autor: | Mathe_Alex |
Ok ich Blöd habe die Euler-Formel falsch abgeschrieben. :)
Das mit der Stetigkeit ist mir mittlerweile auch klar geworden.
Danke für eure Hilfe.
Gruß
Alex
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