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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:13 Mi 17.01.2007 | | Autor: | maybe. |
| Aufgabe | Sei D [mm] \subseteq \IR [/mm] und f: D [mm] \to \IR [/mm] eine monotone Funktion und es soll
gelten: [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] ]inf f, sup f[ [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] D : f(x)=y
Dann ist f stetig. |
Hallo,
also ich hab ein Problem mit der Aufgabe.
Ich will die Stetigkeit per Widerspruch zeigen. Also annehmen dass f monoton aber nicht stetig ist. Dann gibt es salopp "einen Sprung" in der Funktion, bei dem f manche y [mm] \in [/mm] ]inf f, sup f[ "auslässt", also überhaupt nicht "trifft", da f monoton ist.
Das wär dann der gewünschte Widerspruch und somit f stetig.
Also etwas formaler:
Annahme: f nicht stetig auf ganz D
==> f in einem Punkt p [mm] \in [/mm] D nicht stetig:
[mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall \delta [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit |x-p| < [mm] \delta [/mm] und
|f(x) - f(p)| [mm] \ge \varepsilon [/mm]
Fixiere [mm] \varepsilon [/mm] .
Dann bleibt:
[mm] \forall \delta [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit |x-p| < [mm] \delta [/mm] und |f(x) - f(p)| [mm] \ge \varepsilon [/mm]
Also ich kann ein beliebig kleines Intervall ]p- [mm] \delta, [/mm] p+ [mm] \delta[ [/mm] betrachten und finde immer ein x in diesem Intervall so dass f(x) noch mehr als [mm] \varepsilon [/mm] von f(p) weg ist.
Nimmt man jetzt mal an dass f monoton wächst (monoton fallend geht ja am ende analog). Dann muss man doch daraus folgen koennen, dass f manche Werte im Intervall ]inf f, sup f[ nicht annimt.
Aber genau da hänge ich gerade. Anschaulich ist mir das klar ich kann es nur nicht formulieren.
Ich wäre daher für jeden noch so kleinen Anstoss dankbar!!!
Gruss.
Ich hab diese Frage sonst nirgends gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 19.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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