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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Sa 09.06.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] A\in\IR [/mm] und a>0. Es ist zu zeigen, dass die Funktion
[mm] f:[a,\infty)\to\IR, f(x):=x+\bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
auf [mm] [a,\infty) [/mm] gleichmäßig stetig ist. |
Hi,
diese gleichmäßige Stetigkeit bereitet mir richtige Probleme. Ich denke, bei gleichmäßiger Stetigkeit ist das Epsilon-Delta-Kriterium anzuwenden.
Ich weiß, was das [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] besagt.
[mm] f:D\to\IR
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall x_1,x_2\in D:|x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.
[/mm]
Ich kann es aber nicht anwenden und möchte dieses Kriterium unbedingt beherrschen.
Und an Beispielen lernt man am Besten.
Kann mir das jemand anhand des Beispiels erklären?
Oder kennt jmd. Seiten, auf denen das richtig gut erklärt wird. Wikipedia scheidet ausnahmsweise mal aus 
MfG
barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Sa 09.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich machs nur für [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] denn x ist zu leicht .
[mm] $|\bruch{1}{\wurzel{x_2}}-\bruch{1}{\wurzel{x_1}}|=|\bruch{\wurzel{x_1}-\wurzel{x_2}}{\wurzel{x_1*x_2}}|$
[/mm]
wie immer bei sowas erweitern mit [mm] \wurzel{x_1}+\wurzel{x_2}
[/mm]
dann hast du :
[mm] $|\bruch{|x_2-x_1|}{(\wurzel{x_1}+\wurzel{x_2})*\wurzel{x_1*x_2}}<\bruch{\delta}{(\wurzel{x_1}+\wurzel{x_2})*\wurzel{x_1*x_2}}$
[/mm]
Wegen x1,x2>a ist der Nenner [mm] >2a^3 [/mm] also insgesamt
[mm] $|\bruch{1}{\wurzel{x_2}}-\bruch{1}{\wurzel{x_1}}|<\bruch{\delta}{2a^3}$ [/mm]
also kannst du [mm] \delta<2a^3*\varepsilon [/mm] wählen unabhängig von x1 und damit glm. stetig.
(man sieht gleichzeitig, dass das nicht mehr für a gegen 0 geht.)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Sa 09.06.2007 | | Autor: | barsch |
Wow, vielen Dank, über eine so ausführliche Rechnung freue ich mich. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich glaube, es wird langsam klarer.
Nur noch eine Frage:
> Hallo
> ich machs nur für [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm] denn x ist zu
> leicht .
>
Muss ich das für das einzelne x aus noch zeigen?
MfG
barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Sa 09.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
da für x [mm] \varepsilon=\delta [/mm] (eine Zeile) natürlich auch ein gemeinsames [mm] \delta.
[/mm]
versuchs aufzuschreiben! unterscheide a>1 und a<1
Denk dran mit einem [mm] \delta, [/mm] das richtig gewählt wurde, tuns natürlich auch alle kleineren [mm] \delta.
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 So 10.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
[mm]|\bruch{1}{\wurzel{x_2}}-\bruch{1}{\wurzel{x_1}}|=|\bruch{\wurzel{x_1}-\wurzel{x_2}}{\wurzel{x_1*x_2}}|[/mm]
>
> wie immer bei sowas erweitern mit [mm]\wurzel{x_1}+\wurzel{x_2}[/mm]
> dann hast du :
>
> [mm]|\bruch{|x_2-x_1|}{(\wurzel{x_1}+\wurzel{x_2})*\wurzel{x_1*x_2}}<\bruch{\delta}{(\wurzel{x_1}+\wurzel{x_2})*\wurzel{x_1*x_2}}[/mm]
>
> Wegen x1,x2>a ist der Nenner [mm]>2a^3[/mm] also insgesamt
>
Warum gilt für den Nenner [mm]>2a^3[/mm].
Das leuchtet mir noch nicht ganz ein.
MfG
barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 So 10.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
so Fehler- und ich hab einen gemacht- solltest du selbst korrigieren können. ich hät also erwartet muss das nicht... sein!
Nenner [mm] >2*a^{3/2} [/mm] wenn du die x durch a ersetzt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 So 10.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke.
> Hallo
> so Fehler- und ich hab einen gemacht- solltest du selbst
> korrigieren können. ich hät also erwartet muss das nicht...
> sein!
Naja, ich habe an deiner Angabe ja nie gezweifelt. Und wollte deshalb nur wissen, wie du darauf gekommen bist. Jetzt leuchtet es mir natürlich ein
MfG
barsch
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