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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Di 07.12.2004 | | Autor: | Chlors |
Hallo,
ich benötige für eine Aufgabe zwei Funktionen, die an keiner Stelle stetig sind. Ich komme leider nicht auf zwei Beispiele.
Wie kann ich auf einfache Weise solche Funktionen finden??
Danke für eure Hilfe.
Liebe Grüße, Conny.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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Ich hätte da zwei:
$$ f: [mm] \IR \to \IR; [/mm] x [mm] \mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in \IQ \\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] $$
Und dann die 2.:
$$ g: [mm] \IR \to \IR; [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 1-f(x) $$
;o)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 Mi 08.12.2004 | | Autor: | taura |
Sind Funktionen dieser Form wirklich die einzigen die an keiner Stelle stetig sind, wenn ich eben alle x aus Q auf einen Wert schicke und und alle irrationalen euf einen anderen?
Und wenn ja wie kann ich das beweisen? Hat jemand ne Idee?
Danke schonmal,
Biggi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Biggi!
Nein, das sind nicht die einzigen. Eine recht große Klasse nirgends stetiger Funktionen wird hier genannt.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Chlors |
Wenn man Funktionen wählt, die einen Wert für die rationalen zahlen und einen anderen Wert für die irrationalen zahlen zugewiesen bekommen. Warum sind sie dann an keiner Stelle stetig, wenns eine abbildung von den reellen zahlen in die reellen zahlen ist?
bei den rationalen Zahlen ist sie logischerweise nicht stetig, aber bei den irrationalen Zahlen hat sie doch immer denselben wert und dort ist sie doch dann stetig oder nicht, weil neben einer irrationalen zahl liegen ja auf beiden seiten wieder irrationale zahlen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:55 Do 09.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Chlors,
> Wenn man Funktionen wählt, die einen Wert für die
> rationalen zahlen und einen anderen Wert für die
> irrationalen zahlen zugewiesen bekommen. Warum sind sie
> dann an keiner Stelle stetig, wenns eine abbildung von den
> reellen zahlen in die reellen zahlen ist?
Nehmen wir doch mal MixiMathMixs Beispiel, die sogenannte Dirichlet-Funktion:
$ f: [mm] \IR \to \IR; [/mm] x [mm] \mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in \IQ \\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] $
und untersuchen die Stetigkeit an der Stelle [mm] $x_0=\bruch{1}{3}\in\IQ$
[/mm]
Ich wähle [mm] $\varepsilon:=\bruch{1}{2}$.
[/mm]
Dann ist doch klar, dass es kein [mm] $\delta\in\IR$ [/mm] gibt, so dass
[mm] $\left|f\left(\bruch{1}{3}\right)-f(x)\right|<\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit [mm] $\left|\bruch{1}{3}-x\right|<\delta$.
[/mm]
Du kannst die Umgebung um [mm] $x_0=\bruch{1}{3}$ [/mm] so klein machen wie du willst, in ihr liegen immer (auch) irrationale Zahlen (das ist ja gerade die Dichtheit von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$).
[/mm]
Wenn nun aber in jeder Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] auch eine irrationale Zahl liegt, sagen wir, [mm] $x_1\in\IR\setminus\IQ$, [/mm] dann gilt doch aber
[mm] $|f(x_0)-f(x_1)|=|0-1|=1\not<\varepsilon$, [/mm] d.h., die eine irrationale Zahl bewirkt, dass die Funktionswerte nicht in die [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $f(x_0)$ [/mm] abgebildet werden.
> bei den rationalen Zahlen ist sie logischerweise nicht
> stetig, aber bei den irrationalen Zahlen hat sie doch immer
> denselben wert und dort ist sie doch dann stetig oder
> nicht, weil neben einer irrationalen zahl liegen ja auf
> beiden seiten wieder irrationale zahlen??
Das verstehe ich nicht so ganz.
Mein Argument von oben gilt aber genauso, wenn man die dortigen Rollen "irrational" und "rational" vertauscht.
Denn in jeder Umgebung einer irrationalen Zahl liegt mindenstens eine rationale Zahl.
Viele Grüße,
Marc
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Hallo
Wir haben die Aufgabe zwei Funktionen zu bestimmen, die an keiner Stelle stetig sind, dafür aber f+g,g*g und f/g
Als zweite Aufgabe " Kann man [mm] f\ge [/mm] 0 erreichen?
Also kann man meiner Meinung nach nicht, aber wie beweist man das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Yellowbird!
Wähle
$f : [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & , & \mbox{falls} \quad x \in \IQ,\\[5pt] -1 & , & \mbox{falls} \quad x \in \IR \setminus \IQ. \end{array} \right.$
[/mm]
und
$g : [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} -1 & , & \mbox{falls} \quad x \in \IQ,\\[5pt] 1 & , & \mbox{falls} \quad x \in \IR \setminus \IQ. \end{array} \right.$.
[/mm]
Dann sind $f$ und $g$ unstetig, aber
$f+g [mm] \equiv [/mm] 0$,
$g [mm] \cdot [/mm] g [mm] \equiv [/mm] 1$
und
[mm] $\frac{f}{q} \equiv [/mm] -1$
als konstante Funktionen stetig.
> Als zweite Aufgabe " Kann man [mm]f\ge[/mm] 0 erreichen?
Damit $f$ unstetig ist? Dafür wirde doch bereits ein Beispiel gefunden:
$f : [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & , & \mbox{falls} \quad x \in \IQ,\\[5pt] 0 & , & \mbox{falls} \quad x \in \IR \setminus \IQ. \end{array} \right.$
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Mi 08.12.2004 | | Autor: | taura |
Die Frage war nach einem f, das die ersteren Bedingungen erfüllt und trotzdem größer/gleich Null ist... Dein f erfüllt das schonmal nicht, die Frage ist gibt es irgendeine Möglichkeit? Eventuell mit anderen, an keiner Stelle stetigen Funktionen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Wenn $g$ in keinen Punkt, [mm] $g^2$ [/mm] aber in jedem Punkt stetig sein soll, dann muss es in jeder Umgebung jedes Punktes Wert $x$ mit $g(x)>0$ und $y$ mit $g(y)<0$ geben. Wäre $f [mm] \ge [/mm] 0$, so gäbe es in jeder Umgebung jedes Punktes Werte $x$ mit [mm] $\frac{f}{g}(x)\ge [/mm] 0$ und $y$ mit [mm] $\frac{f}{g}(y)\le [/mm] 0$, was nur im Falle [mm] $\frac{f}{g} \equiv [/mm] 0$ nicht zum Widerspruch der Stetigkeit von [mm] $\frac{f}{g}$ [/mm] führte. Dann aber wäre $f [mm] \equiv [/mm] 0$, Widerspruch.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Yellowbird |
Hallo
Also die beispiele hatte ich auch gefunden und die erste Aufgabe gelöst, die zweite Frage war allerdings wirklich so gemeint, dass die erste gilt und ob man dann [mm] f\ge [/mm] 0 erreichen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Also die beispiele hatte ich auch gefunden
Dann gib die bitte demnächst gleich an, denn das erspart einem einiges an Arbeit.
> die zweite Frage war allerdings wirklich so
> gemeint, dass die erste gilt und ob man dann [mm]f\ge[/mm] 0
> erreichen kann?
Ihr müsst dann aber auch die Fragen exakt (und ausführlicher) formulieren, denn wie soll man das riechen???
Viele Grüße
Julius
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