Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Irgendwie ist mir der Begriff der Stetigkeit bisher nur beschränkt klargeworden. Insbesondere den Unterschied von Links- und Rechtsstetigkeit habe ich nicht verstanden. Vielleicht hat jemand ein Beispiel für eine Funktion die rechts- aber nicht linksstetig ist und andersherum.
Aber auch allgemein wüßte ich gerne wie man beweist daß eine Funktion (/nicht) stetig ist. die Funktion f(x) = sqrt(x) ist bekanntlich stetig in R für x/=0.
Daß x=0 eine Definitionslücke ist, ist offensichtlich, aber wie kann man beweisen, daß f(x) für alle anderen Werte stetig ist? Da es unendlich viele sind, kann man ja schlecht "alle durchprobieren" 
Schönen Dank schonmal,
Tom
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 So 14.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo ImperatoM,
willkommen im MatheRaum  !
> Irgendwie ist mir der Begriff der Stetigkeit bisher nur
> beschränkt klargeworden. Insbesondere den Unterschied von
Ich schicke erstmal drei formale Definitionen für die Stetigkeit vorweg (es gibt noch mehr), und erkläre es dann mit meinen eigenen Worten.
[mm] $D\subseteq\IC$, [/mm] $f: [mm] D\to\IK$ $(\IK=\IR,\IC)$
[/mm]
Definition 1
f heißt stetig im Punkt [mm] $a\in [/mm] D$, wenn
[mm] $$\limes_{x\to a,x\in D} [/mm] f(x)=f(a)$$
Definition 2(äquivalent)
f heißt stetig im Punkt [mm] $a\in [/mm] D$, wenn gilt:
Für jede Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] mit [mm] $x_n\in [/mm] D$ für alle $n$ und [mm] $\limes_{x\to\infty} x_n=a$ [/mm] gilt: [mm] $\limes_{n\to\infty}f(x_n)=f(a)$
[/mm]
Definition 3 (äquivalent)
f heißt stetig im Punkt [mm] $a\in [/mm] D$, wenn gilt:
Zu jedem (noch so kleinen) [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ gibt es ein [mm] $\delta>0$ [/mm] mit [mm] $|f(x)-f(a)|\le \varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] D$ mit [mm] $|x-a|\le\delta$
[/mm]
So, nun meine eigenen Worte dazu, die Definitionen wirst du ja bereits kennen.
Die Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft einer Funktion, d.h., es wird nur eine einzige Stelle [mm] $a\in [/mm] D$ betrachtet. Dieser Stelle $a$ ist ja der Funktionswert $f(a)$ zugeordnet.
Mit der Stetigkeit untersucht man nun, ob Funktionswerte, die an Stellen in der Nähe von $a$ gebildet werden auch in der Nähe von $f(a)$ liegen.
Die zweite Definition ist vielleicht besonders anschaulich. Hier muß ja für jede Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$, [/mm] die den Grenzwert $a$ hat gelten, dass auch die Folge der Bildpunkte [mm] $(f(x_n)){n\in\IN}$ [/mm] einen Grenzwert hat, nämlich $f(a)$.
Dies ist dann eine exakte Fassung der Anschauung, dass stetige Graphen ohne "Absetzen des Stiftes" gezeichnet werden können. Die Führung Stiftes muß sich ja ständig nach dem Funktionswert an der aktuellen Stelle richten; aber nur, wenn der aktuelle Funktionswert "nahe" beim vorherigen liegt, zeichnet man durch. Liegt der Funktionswert plötzlich wonanders (=Sprungstelle) muß man den Stift absetzen.
Zwei Beispiele:
a) [mm] $f(x)=x^2$
[/mm]
Sei [mm] $(x_n)$ [/mm] eine Folge mit [mm] $\limes_{n\to\infty} x_n=a$.
[/mm]
Die Folge der Bildpunkte [mm] $(f(x_n))$ [/mm] konvergiert nach den Grenzwertsätzen ebenfalls; der Grenzwert lautet dann:
[mm] $\limes_{n\to\infty} f(x_n)$ $=\limes_{n\to\infty} x_n^2$ $=\limes_{n\to\infty} x_n*x_n$ $=\underbrace{\limes_{n\to\infty}x_n}_{\mbox{existiert}}*\underbrace{\limes_{n\to\infty}x_n}_{\mbox{existiert}}$ [/mm] $=a*a$ [mm] $=a^2$ [/mm] $=f(a)$
b) [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
-1, & \mbox{wenn } x<0 \\
1, & \mbox{wenn }x\ge 0
\end{matrix}\right.[/mm]
Hier hat man ganz klar eine Sprungstelle an der Stelle 0, was man auch formal zeigen kann, durch zwei konkrete Folgen [mm] $(x_n)$, [/mm] die die Bedingungen der Stetigkeit nicht erfüllen. Zum Beispiel die hier [mm] $x_n:=-1/n$ [/mm] und [mm] $y_n:=1/n$
[/mm]
Für sie gilt: [mm] $\limes_{n\to\infty}x_n=\limes_{n\to\infty}y_n=0$, [/mm] aber:
[mm] $\limes_{n\to\infty}f(x_n)=\limes_{n\to\infty}-1=-1$ [/mm] und
[mm] $\limes_{n\to\infty}f(y_n)=\limes_{n\to\infty}1=1$
[/mm]
Da Definition 2 aber fordert, dass die Bedingung für alle Folgen gilt (und alle Folgen denselben Grenzwert haben), ist $f$ nicht stetig an der Stelle 0.
> Links- und Rechtsstetigkeit habe ich nicht verstanden.
> Vielleicht hat jemand ein Beispiel für eine Funktion die
> rechts- aber nicht linksstetig ist und andersherum.
Das kann man auch gut an dem letzten Beispiel deutlich machen.
Die einseitige Stetigkeit ist eine "schwächere" Stetigkeit, sie fordert nur, dass Folgen, die sich von rechts- oder links an eine Stelle annähern die Definition 2 erfüllen
(analog kann man die anderen äquivalenten Definitionen umformulieren).
Die umformulierte Definition 2 für einseitige Stetigkeit würde lauten:
Definition 2
f heißt rechtsseitig stetig im Punkt [mm] $a\in [/mm] D$, wenn gilt:
Für jede Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] mit [mm] $x_n\in [/mm] D$ und [mm] $\blue{x_n\ge a}$ [/mm] für alle $n$ und [mm] $\limes_{x\to\infty} x_n=a$ [/mm] gilt: [mm] $\limes_{n\to\infty}f(x_n)=f(a)$
[/mm]
(analog für linksseitige Stetigkeit)
Natürlich gilt: $f(x)$ stetig in $a$ [mm] $\gdw$ [/mm] $f(x)$ links- und rechtsseitig stetig in $a$.
Das letzte Beispiel (der stückweise definierten Funktion) ist rechtsseitig stetig, denn jeder Funktionswert [mm] $f(x_n)$ [/mm] eines Folgengliedes [mm] $x_n$ [/mm] einer beliebigen Folge [mm] $(x_n)$, [/mm] die sich nur rechts von $a=0$ aufhält, ist $1=f(a)$.
Anders sieht es es linksseitig aus.
Dort gilt für eine linksseitige Folgenglieder [mm] $x_n$ $(x_n
> Aber auch allgemein wüßte ich gerne wie man beweist daß
> eine Funktion (/nicht) stetig ist. die Funktion f(x) =
> sqrt(x) ist bekanntlich stetig in R für x/=0.
Du meinst wahrscheinlich die Funktion $1/x$, denn [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] ist stetig in $0$ (überraschenderweise vielleicht, da man zunächst nur annehmen würde, sie sei rechtsseitig stetig. Weil sie aber links von $0$ nicht definiert ist, fallen alle Folgen, die Folgenglieder im Definitionsbereich $D$ haben, mit den rechtsseitigen Folgen zusammen)
> Daß x=0 eine Definitionslücke ist, ist offensichtlich,
> aber wie kann man beweisen, daß f(x) für alle anderen Werte
> stetig ist? Da es unendlich viele sind, kann man ja
> schlecht "alle durchprobieren"
Aber man sieht schon, dass sich für alle Stellen dieselbe Rechnung ergeben würde bzw. dass sich die Rechnungen zu verschiedenen Stellen nur durch konkrete Zahlenwerte unterscheiden.
Für $1/x$ kann man zur Stetigkeitsuntersuchung auch einfache Sätze heranziehen, in diesem Fall zum Beispiel:
$f: [mm] D\to\IK$ [/mm] und [mm] $g:D\to\IK$ [/mm] seien im Punkt [mm] $a\in [/mm] D$ stetig. Dann gilt:
Ist [mm] $g(x)\neq0$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] D$, so ist der Quotient $f/g$ stetig in $a$.
Hier müßtest du also "nur" einsehen, dass die Funktion $f(x)=1$ und $g(x)=x$ stetig sind für alle [mm] $x\neq0$. [/mm] Diese Beweise sind aber sehr einfach, mache es doch mal zur Übung.
Bei weiteren Unklarheiten (z.B. falls ich etwas nicht ausführlich genug erklärt habe) frage bitte einfach nach.
Alles Gute,
Marc
|
|
|
| |
|
Hallo Marc!
Zunächst einmal herzlichen Dank für deine sehr ausführliche Antwort!
Die Stetigkeit habe ich nun besser verstanden. Defintionion 1 verstehe ich zwar nicht ganz, aber die anderen beiden schon - und insbesondere die dritte finde ich sehr schön und anschaulich!
Die rechts- und linksseitige Stetigkeit habe ich nun auch zum ersten Mal an den schönen Beispiel verstanden - klasse!
Lediglich der Schlußpunkt ist mir leider noch etwas unklar geblieben.
Die Aufspaltung in zwei Teilfunktionen macht Sinn und ich verstehe schon, daß es reicht wenn jede für sich genommen stetig ist.
bei f(x)=1 ist das ganze wohl trivial und bei g(x)=x ist es natürlich auch leicht nachvollziehbar. Der Beweis ist dann schon schwieriger...
Bei g(x)=x könnte nach Definition 3 das passende Delta zum jeweiligen Epsilon wohl z.B. [mm] \epsilon = \delta / 2 [/mm] sein.
Daran würde zumindest deutlich werden, daß das ganze unabhängig vom speziellen Punkt a immer gleich funktioniert.
Wie kann ich das aber formal korrekt aufschreiben? Außerdem ist es ja bisher lediglich eine (wahre) Behauptung von mir aber noch nicht bewiesen wenn ich das richtig sehe.
Bei f(x)=1 ist die Sache wohl etwas einfacher:
Für jedes a ungleich x gilt f(a) = f(x) + 0
und [mm] \delta = 0 ist < \epsilon [/mm] für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 (tatsächlich trivial, ich hoffe auch richtig?)
Ich hoffe, ich bin auf dem richtigen Weg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 So 14.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo ImperatoM,
> Die Stetigkeit habe ich nun besser verstanden.
> Defintionion 1 verstehe ich zwar nicht ganz, aber die
> anderen beiden schon - und insbesondere die dritte finde
> ich sehr schön und anschaulich!
Gut, dass ich sie auch erwähnt habe Wenn du diese Def. verstehst und sogar anschaulich findest, dann bist du ja schon fortgeschritten. Die einzelnen Definitionen sind natürlich Geschmackssache, und man wird sie auch in Abhängigkeit des Problems auswählen.
Die Def. 1 ist ganz ähnlich der zweiten Def., sie ist nur etwas kompakter, da sie einem in der Formulierung "für jede Folge" erspart; [mm] $\limes_{x\to a}$ [/mm] ist eine Grenzbetrachtung sämtlicher Folgen [mm] $(x_n)$ [/mm] mit [mm] $\limes_{n\to\infty} x_n=a$.
[/mm]
> Die rechts- und linksseitige Stetigkeit habe ich nun auch
> zum ersten Mal an den schönen Beispiel verstanden -
> klasse!
Schön, das freut mich.
> Lediglich der Schlußpunkt ist mir leider noch etwas unklar
> geblieben.
> Die Aufspaltung in zwei Teilfunktionen macht Sinn und ich
> verstehe schon, daß es reicht wenn jede für sich genommen
> stetig ist.
> bei f(x)=1 ist das ganze wohl trivial und bei g(x)=x ist
> es natürlich auch leicht nachvollziehbar. Der Beweis ist
> dann schon schwieriger...
>
> Bei g(x)=x könnte nach Definition 3 das passende Delta zum
> jeweiligen Epsilon wohl z.B. [mm]\epsilon = \delta / 2[/mm] sein.
Da ist ein Denkfehler. Das [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist beliebig, aber fest (von außen) vorgegeben. Das kannst du nicht selbst wählen. Das [mm] $\delta$ [/mm] ist die Größe, die du hier variieren kannst, und zwar so, dass die Ungleichungen mit dem vorgegebenen [mm] $\varepsilon$ [/mm] erfüllt sind.
> Daran würde zumindest deutlich werden, daß das ganze
> unabhängig vom speziellen Punkt a immer gleich
> funktioniert.
> Wie kann ich das aber formal korrekt aufschreiben?
> Außerdem ist es ja bisher lediglich eine (wahre) Behauptung
> von mir aber noch nicht bewiesen wenn ich das richtig
> sehe.
Na gut, machen wir es mal formal korrekt.
Beh.: $g: [mm] D\to \IK$, [/mm] $g(x)=x$ ist stetig.
Bew.: Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und [mm] $a\in [/mm] D$ gegeben.
Zu zeigen ist nun, dass [mm] $\delta>0$ [/mm] existiert mit: Für alle [mm] $x\in [/mm] D$ mit [mm] $|x-a|<\delta$ [/mm] gilt: [mm] $|g(x)-g(a)|<\varepsilon$
[/mm]
Wähle [mm] $\delta:=\epsilon$.
[/mm]
Denn: Für alle [mm] $x\in [/mm] D$ mit [mm] $|x-a|<\delta$ [/mm] gilt: [mm] $|\underbrace{g(x)}_{=x}-\underbrace{g(a)}_{=a}|=|x-a|<\delta=\varepsilon$.
[/mm]
> Bei f(x)=1 ist die Sache wohl etwas einfacher:
> Für jedes a ungleich x gilt f(a) = f(x) + 0
> und [mm]\delta = 0 ist < \epsilon[/mm] für alle [mm]\epsilon[/mm] > 0
> (tatsächlich trivial, ich hoffe auch richtig?)
Das verstehe ich nicht so ganz. Sehe ich das richtig, dass du [mm] $\delta=0$ [/mm] setzt? Das geht nicht, da [mm] $\delta>0$ [/mm] gefordert ist.
Hier kannst du tatsächlich jedes [mm] $\delta>0$ [/mm] nehmen, das spielt keine Rolle:
Beh.: $g: [mm] D\to \IK$, [/mm] $f(x)=1$ ist stetig.
Bew.: Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und [mm] $a\in [/mm] D$ gegeben.
Zu zeigen ist nun, dass [mm] $\delta>0$ [/mm] existiert mit: Für alle [mm] $x\in [/mm] D$ mit [mm] $|x-a|<\delta$ [/mm] gilt: [mm] $|g(x)-g(a)|<\varepsilon$
[/mm]
Wähle [mm] $\delta:=1$ [/mm] (oder [mm] $\delta:=\varepsilon$ [/mm] oder [mm] $\delta:=4711$).
[/mm]
Denn: Für alle [mm] $x\in [/mm] D$ mit [mm] $|x-a|<\delta$ [/mm] gilt: [mm] $|\underbrace{f(x)}_{=1}-\underbrace{f(a)}_{=1}|=|0|=0<\varepsilon$.
[/mm]
> Ich hoffe, ich bin auf dem richtigen Weg
Ich denke schon, jedenfalls hast du ja schon in den MatheRaum gefunden
Alles Gute,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Mo 15.03.2004 | | Autor: | ImperatoM |
Cool, schönen Dank nochmal!
Ich hatte da noch nen kleinen Denkfehler drin, aber ich denke ich daß ich es jetzt verstanden habe.
Werde jetzt mal probieren das ein wenig anzuwenden, Ende April ist Klausur.
|
|
|
|
