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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass es keine stetige Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] gibt, die jeden Wert aus [mm] \IR [/mm] exakt zweimal annimmt. Geben Sie außerdem ein Beispiel für eine stetige Funktion g: [mm] \IR \to \IR, [/mm] die jeden Wert aus [mm] \IR [/mm] exakt dreimal annimmt. |
Hat jemand nen Tipp für den Beweis und das Beispiel?
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Guten Tach.
Poste mal bitte deine Lösungsansätze.
Als Tipp kann ich dir sagen: Beweis durch Widerspruch. Nimm an es gibt eine stetige Funktion die für [mm] x_{1}\not=x_{2} \Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2}) \forall x_{1},x_{2} \in \IR. [/mm]
Das dann irgendwie zum Widerspruch mit der stetigkeit der Funktion führen.
Einen schönen Tach noch und frohe Weihnachten
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Das Problem ist ich habe keinen Ansatz. Dadran scheiterts ja schon.
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Also der Ansatz ist ja wie oben.
Also für [mm] \exists x_{1}, x_{2} \in \IR [/mm] mit [mm] x_{1}\not=x_{2} [/mm] und [mm] f(x_{1})=f(x_{2}). [/mm] f ist stetig also gilt Zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] \delta [/mm] >0 so dass aus aus [mm] |x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x_{1}-f(x_{2})|<\epsilon. [/mm] Jetzt muss du einen Widerspruch zur Definition der stetigkeit herstellen.
Einen schönen Gruß
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Also ich habe mir überlegt als Beispiel ne zickzack funktion zu basteln. das sollte klappen
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hi flachtrudeln
zum ersten teil:
Betrachte doch mal [mm] 0\in \IR.
[/mm]
Für genau zwei Werte [mm] x_1, x_2 [/mm] muss [mm] f(x_1) =f(x_2) [/mm] = 0.
Also hätte f dann genau zwei Nullstellen. O.B.d.A. kannst du davon ausgehen, dass
f zwischen diesen beiden Werten >0 ist (warum?)...
Und da f stetig sein soll, muss es somit ein Maximum von Funktionswerten an einer Stelle zwischen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] geben.
So, das ist schon ziemlich viel....
Viel Spaß
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