Stetigkeit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich soll untersuchen in welchen Punkten die Funktion f(x) = [mm] |cos(x^2)| [/mm] stetig ist.
Mir ist klar, dass diese Funktion in unendlich vielen (abgeschlossenen) Intervallen stetig ist, die um x=0 recht "groß" sind und mit x gegen unendlich immer kleiner werden.
Aber wie gehe ich die Aufgabe an?
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> ich soll untersuchen in welchen Punkten die Funktion f(x) =
> [mm]|cos(x^2)|[/mm] stetig ist.
>
> Mir ist klar, dass diese Funktion in unendlich vielen
> (abgeschlossenen) Intervallen stetig ist, die um x=0 recht
> "groß" sind und mit x gegen unendlich immer kleiner
> werden.
>
> Aber wie gehe ich die Aufgabe an?
Das hängt davon ab, was Du über Stetigkeit alles als selbstverständlich bekannt voraussetzen darfst.
Idealerweise ist es nicht nötig zu zeigen, dass die Funktionen [mm] $f_1: x\mapsto x^2$, $f_2: x\mapsto \cos(x)$ [/mm] und [mm] $f_3: x\mapsto [/mm] |x|$ stetig sind. Wenn Du zudem verwenden darfst, dass die Zusammensetzung stetiger Funktionen stetig ist, dann kannst Du sogleich schliessen, dass auch diese Zusammensetzung [mm] $f(x)=f_3(f_2(f_1(x)))$ [/mm] bzw. [mm] $f=f_3\circ f_2\circ f_1$ [/mm] (für alle [mm] $x\in\IR$) [/mm] stetig ist.
Mühsamer wird die Sache, wenn Du alles klein-klein via [mm] $\varepsilon$/$\delta$-Argumente [/mm] beweisen musst. In diesem Falle müsstest Du ein [mm] $x_0$ [/mm] und ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] als vorgegeben annehmen und zeigen können, dass es dann ein [mm] $\delta [/mm] >0$ geben muss, so dass für alle $x$ gilt
[mm]|x-x_0|<\delta \Rightarrow \big||\cos(x^2)|-|\cos(x_0^2)|\big| <\varepsilon[/mm]
Mit anderen Worten: in diesem zweiten (mühsameren) Falle zeigst Du, dass $f$ die Definition von "stetig an der Stelle [mm] $x_0$" [/mm] (für alle [mm] $x_0\in\IR$) [/mm] erfüllt.
|
|
|
| |
|
Ich soll aber nicht nur die Stetigkeit in einem Punkt sondern alle stetigen Punkte der Funktion ermitteln...
|
|
|
| |
|
> Ich soll aber nicht nur die Stetigkeit in einem Punkt
> sondern alle stetigen Punkte der Funktion ermitteln...
Da die drei Funktionen [mm] $x\mapsto x^2$, $x\mapsto \cos(x)$ [/mm] und [mm] $x\mapsto [/mm] |x|$ in allen Punkten [mm] $x\in\IR$ [/mm] stetig sind, folgt eben auch, dass Dein [mm] $f(x)=|\cos(x^2)|$ [/mm] in allen Punkten [mm] $x\in\IR$ [/mm] stetig ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Di 08.01.2008 | | Autor: | DaReava |
Eine Lösung kann ich dir gerade leider nicht anbieten,
vielleicht aber einen Ansatz:
Schreibe die Funktion als drei einzelne,
miteinander verknüpfte Funktionen.
Dann müsstest du "lediglich" nachweisen, dass die [mm] x^2-Funktion, [/mm] die cos-Funktion und die Betragsfunktion stetig sind. (die Verknüpfung stetiger Funktionen ist ebenfalls stetig).
Das ist sicher nicht die eleganteste Lösung (und ich bin mir auch nicht 100% sicher ob das so einfach funtioniert).
Betrachte es einfach als Denkanstoß.
|
|
|
|
