Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Di 29.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, also habe hier eine Aufgabe, bei der ich folgendes zeigen soll, ich habe diese Umformung etwas anders gemacht als in meiner vorhandenen Lösung und möchte deshalb kontrollieren lassen, ob dies so Ok ist wie ich es machen würde!
Gegeben sei die Funktion:
[mm] f:\IR^{2} \to\IR [/mm] :(x,y) [mm] \mapsto \begin{cases} \bruch{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+2y^{2}}, & \mbox{für } (x,y) \not=\mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = \mbox{ (0,0)} \end{cases}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass
|f(x,y)| [mm] \le x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] für alle (x,y) [mm] \in\IR [/mm] ^{2} gilt.
ich hab jetzt folgendermaßen umgeformt:
[mm] |\bruch{(x^{2}+y^{2})(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+2y^{2})}| \le x^{2}+y^{2} [/mm] jetzt das ganze geteilt durch [mm] (x^{2}+y^{2}). [/mm] da dieser Ausdruck für alle R positiv
[mm] \Rightarrow |\bruch{(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+2y^{2})}| \le [/mm] 1
[mm] \Rightarrow ((x^{2}-y^{2}) \le x^{2}+2y^{2} [/mm] gilt für alle x,y [mm] \in\IR [/mm] ????
stimmt das so?
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Di 29.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo, also habe hier eine Aufgabe, bei der ich folgendes
> zeigen soll, ich habe diese Umformung etwas anders gemacht
> als in meiner vorhandenen Lösung und möchte deshalb
> kontrollieren lassen, ob dies so Ok ist wie ich es machen
> würde!
>
> Gegeben sei die Funktion:
>
> [mm]f:\IR^{2} \to\IR[/mm] :(x,y) [mm]\mapsto \begin{cases} \bruch{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+2y^{2}}, & \mbox{für } (x,y) \not=\mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = \mbox{ (0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass
> |f(x,y)| [mm]\le x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] für alle (x,y) [mm]\in\IR[/mm] ^{2}
> gilt.
>
> ich hab jetzt folgendermaßen umgeformt:
> [mm]|\bruch{(x^{2}+y^{2})(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+2y^{2})}| \le x^{2}+y^{2}[/mm]
> jetzt das ganze geteilt durch [mm](x^{2}+y^{2}).[/mm] da dieser
> Ausdruck für alle R positiv
>
> [mm]\Rightarrow |\bruch{(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+2y^{2})}| \le[/mm] 1
> [mm]\Rightarrow ((x^{2}-y^{2}) \le x^{2}+2y^{2}[/mm] gilt für alle
> x,y [mm]\in\IR[/mm] ????
>
> stimmt das so?
Fast. Du könntest konsequenterweise noch [mm] -x^2+y^2 [/mm] rechnen und kommst auf die noch offensichtlichere Aussage [mm] 0\le 3y^2.
[/mm]
Vergiss nicht, in deiner Beweisführung auch den trivialen Fall (x,y)=(0,0) zu erwähnen.
Aber das wichtigste: ein Beweis beginnt nie mit der Behauptung. Beginne also mit "Stets gilt [mm] 0\le 3y^2" [/mm] und kehre davon ausgehend den ganzen bisherigen Weg von unter nach oben um (oder du formulierst alle Teilschritte als Kette von "genau dann wenn"-Aussagen).
Ach so, sehe ich jetzt erst: Im letzten Schritt deiner Umformung sind die Betragsstriche plötzlich verschwunden. Wenn man exakt ist, braucht man dafür eine Fallunterscheidung.
Gruß Abakus
>
> lg Surfer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Di 29.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok super danke für die Kontrolle!
Was mir im folgenden der Aufgabe noch unklar ist und zwar ist hier zu begründen, warum die Funktion f im punkt (x,y) = (0,0) stetig ist!
Aber wie zeige ich so etwas?
lg Surfer
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Hallo Surfer,
das geht am einfachsten, wenn du in Polarkoordinaten rechnest.
Das erspart dir jegliche Abschätzung, die du wohl benötigen wirst, wenn du mit dem [mm] $\varepsilon/\delta$-Kriterium [/mm] rechnest
Setze mal [mm] $x:=r\cdot{}\cos(\phi)$ [/mm] und [mm] $y:=r\cdot{}\sin(\phi)$ [/mm] in die Funktionsvorschrift ein.
Dabei ist $r$ = Länge des Vektors $(x,y)$ und [mm] $\phi$ [/mm] der Winkel, den $(x,y)$ mit der x-Achse einschließt.
Dann lasse [mm] $r\downarrow [/mm] 0$ (bzw. [mm] $r\to [/mm] 0^+$) gehen.
Wenn dieser GW unabhängig vom Winkel [mm] $\phi$ [/mm] den Wert $0 (=f(0,0))$ ergibt, hast du gewonnen 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Di 29.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok dann hätte ich doch dastehen:
f(r) = [mm] \bruch{(r*cos(\phi))^{4}-(r*sin(\phi))^{4}}{(r*cos(\phi))^{2}+2*(r*sin(\phi))^{2}}
[/mm]
Lasse ich jetz r [mm] \to 0^{+} [/mm] gehen erhalte ich unklar? alles 0 oder?
lg Surfer
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Hallo Surfer,
ja, das stimmt soweit.
Nur musst du das Ganze noch zusammenfassen, vereinfachen und begründen, dass es für [mm] $r\to [/mm] 0^+$ auch wirklich unabhängig von [mm] $\phi$ [/mm] gegen 0 strebt.
Ich hatte vorher den ersten Teil der Aufgabe nur überflogen - Asche über mein Haupt
Da wurde die für den [mm] $\varepsilon-\delta$-Beweis [/mm] notwendige Abschätzung bereits gezeigt
Du musst nur das, was du mit diesem Kriterium zeigen musst, hinschreiben, dann steht's schon da.
Das zu dem beliebig vorgegebenen [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] zu konstruierende [mm] $\delta$ [/mm] kannst du dann per Hinsehen bestimmen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Kannst du mir das mit dem [mm] \delta-\varepsilon [/mm] Kriterium erklären? Was ist dabei zu tun und vorzugehen?
lg Surfer
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> Kannst du mir das mit dem [mm]\delta-\varepsilon[/mm] Kriterium
> erklären? Was ist dabei zu tun und vorzugehen?
Hallo,
schreib mal erstmal das [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium auf.
Als nächstes schreibe auf, was das für Dein konkretes Problem bedeutet.
Dann fomuliere in Worten, was zu tun ist: "zu vorgegebenem [mm] \varepsilon>0 [/mm] muß ich ...".
Danach kann man weitersehen, aber die Vorarbeiten sind Deine.
Gruß v. Angela
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