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Hallo ich habe mal bitte eine dringende Frage:
Sei f: [mm] \IR \supsetD \to \IR [/mm] eine Funktion auf dem Definitionsbereich D und sei [mm] x^{\*} \in \IR.
[/mm]
Wir sagen, dass für x gegen [mm] x^{\*} [/mm] den Grenzwert [mm] y^{\*} [/mm] hat, wenn für jede Folge [mm] (x_k)_{k \in \IN} [/mm] von Punkten in D \ { [mm] {x^{\*}} [/mm] }, die gegen [mm] x^{\*} [/mm] konvergeirt, der Limes [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} f(x_k) [/mm] existiert und gleich [mm] y^{\*} [/mm] ist.
Notation: [mm] \limes_{x\rightarrow\ x^{\*}} f(x)=y^{\*}
[/mm]
Ich will nicht sagen, dass ich aus solcher Definition nur Bahnhof verstehe. Aber wofür genau benötige ich diesen Satz???
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> Sei f: [mm]\IR \supsetD \to \IR[/mm] eine Funktion auf dem
> Definitionsbereich D und sei [mm]x^{\*} \in \IR.[/mm]
Hallo,
eher: f: [mm] D\to \IR,
[/mm]
wobei [mm] D\subseteq \IR, [/mm] oder?
> Wir sagen,
> dass für x gegen [mm]x^{\*}[/mm] [mm] \red{f} [/mm] den Grenzwert [mm]y^{\*}[/mm] hat, wenn für
> jede Folge [mm](x_k)_{k \in \IN}[/mm] von Punkten in D \ [mm] {{x^{\*}\}
> }, [/mm] die gegen [mm]x^{\*}[/mm] konvergeirt, der Limes
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} f(x_k)[/mm] existiert und gleich
> [mm]y^{\*}[/mm] ist.
> Notation: [mm]\limes_{x\rightarrow\ x^{\*}} f(x)=y^{\*}[/mm]
>
> Ich will nicht sagen, dass ich aus solcher Definition nur
> Bahnhof verstehe. Aber wofür genau benötige ich diesen
> Satz???
Du sagst ja selbst: das ist eine Definition.
In dieser Definition wird erklärt, was unter dem Grenzwert einer Funktion an der Stelle [mm] x^\{\*\} [/mm] zu verstehen ist.
Es wird also der Grenzwert von Funktionen definiert.
Verwendet wird er sicher kurze Zeit später, wenn nämlich die Stetigkeit definiert wird. Ach - "Stetigkeit" hast Du ja auch als Titel Deines Posts gewählt.
Du weißt das also. Irgendwie. Ein bißchen.
Schau Dir also mal die Definition der Stetigkeit an.
Was steht da sinngemäß drin?
Daß eine Funktion an einer Stelle a stetig ist, wenn der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle gerade der Funktionswert ist.
Das ist nicht selbstverständlich.
Schauen die wie folgt definierte Funktion [mm] f:\IR \to \IR [/mm] an:
[mm] f(x):=\begin{cases} 5, & \mbox{für } x\not=27 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x=27 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
Es ist [mm] \lim_{x\to 27}f(x)=5, [/mm] jedoch ist f(27)=1. Grenzwert der Funktion und Funktionswert stimmen an dieser Stelle nicht überein, als ist f nicht stetig.
Gruß v. Angela
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Okay das leuchtet mir ein wenig ein. Das heißt dann im Prinzip [mm] \limes_{x\rightarrow\ x^{\*}} f(x)=y^{\*} [/mm] (für mein x gegen [mm] x^{\*} [/mm] muss der Funktionswert gleich dem Grenzwert der Funktion sein). Bleibt nur noch zu klären, warum dort steht [mm] \limes_{x\rightarrow\ x^{\*}} f(x)=y^{\*} [/mm] und nicht [mm] \limes_{x\rightarrow\ x^{\*}} f(x^{\*})=y^{\*}. [/mm] Ich hätte jetzt nämlich gedacht, dass x und [mm] x^{\*} [/mm] zwei völlig verschiedene Sachen sind aber du schreibst ja, es ist [mm] \lim_{x\to 27}f(x)=5 [/mm] jedoch ist f(27)=1. Hoffe du verstehst was ich meine.
MFG domenigge135
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> Okay das leuchtet mir ein wenig ein. Das heißt dann im
> Prinzip [mm]\limes_{x\rightarrow\ x^{\*}} f(x)=y^{\*}[/mm] (für mein
> x gegen [mm]x^{\*}[/mm] muss der Funktionswert gleich dem Grenzwert
> der Funktion sein). Bleibt nur noch zu klären, warum dort
> steht [mm]\limes_{x\rightarrow\ x^{\*}} f(x)=y^{\*}[/mm] und nicht
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x^{\*}} f(x^{\*})=y^{\*}.[/mm] Ich hätte
> jetzt nämlich gedacht, dass x und [mm]x^{\*}[/mm] zwei völlig
> verschiedene Sachen sind aber du schreibst ja, es ist
> [mm]\lim_{x\to 27}f(x)=5[/mm] jedoch ist f(27)=1. Hoffe du verstehst
> was ich meine.
>
Hallo,
manchmal hilft es, die Dinge ein bißchen umzutaufen. Ich glaub', ich hatte das zuvor auch schon getan. Nennen wir das x* lieber a.
Das a ist eine vorgegebene Zahl. Beliebig, aber fest.
Betrachten wir nun also [mm] \lim_{x\to a}f(x).
[/mm]
Was tun wir, wenn wir diesen Grenzwert betrachten? Wir gucken, was mit f(x) passiert, wenn unser variables x immer dichter ans a heranrutscht. "x rutscht immer dichter an a" schreibt man als [mm] x\to [/mm] a.
x und a sind völlig verschiedene Sachen. a ist eine feste Stelle, die wir unter die Lupe nehmen. x ist variabel.
Es ist [mm] \lim_{x\to 27}f(x)=5, [/mm] weil für jede Folge [mm] (x_n), [/mm] die gegen 27 konvergiert, die Folge der Funktionswerte [mm] (f(x_n)) [/mm] gegen 5 konvergiert.
Daß der Funktionswert an dieser Stelle =1 ist, steht auf einem völlig anderen Blatt. Das hat mit der Definition der Funktion f zu tun.
Gruß v. Angela
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Das mit dem umtaufen ist echt besser. So wurde vorher nämlich der Grenzwert definiert als [mm] x^{\*} [/mm] weshalb mich das ganze nun verwirrt hat. Denn wenn x gegen [mm] x^{\*} [/mm] bedeutet das ja nun das mit dem Kapitel zuvor x gegen den Grenzwert läuft. Aber aus welchem Grund sollte man das nun machen...
Jedenfalls danke ich dir vielmals für deine Hilfe.
Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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