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| Aufgabe | | Es seinen a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a < b und f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig. Zeigen Sie: Gilt f([a,b]) [mm] \subseteq [/mm] [a,b], dann existiert ein x [mm] \in \IR [/mm] mit f(x) = x. |
Hallo zusammen,
ich kann mir zwar anschaulich vorstellen, dass die Behauptung stimmt, aber leider weiß ich nicht genau, wie ich dies mathematisch korrekt beweise...
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
Vielen Dank,
Gruß Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Mo 13.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Ist f(a) = a oder f(b) = b, so sind wir fetig.
Sei also f(a) [mm] \not= [/mm] a und f(b) [mm] \not= [/mm] b. Wegen f([a,b]) $ [mm] \subseteq [/mm] $ [a,b] ist dann f(a) >a und f(b) < b.
Betrachte jetzt g(x):= f(x) -x für x in [a,b]. Es ist g(a) >0 und g(b) <0. Nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen gibt es ein x in [a,b] mit g(x) = 0, also F(x) = x.
FRED
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Vielen Dank für die Hilfe, habs nun verstanden.
Bis dann,
Gruß Michael
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