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| Aufgabe | Zeigen Sie:
Für festes M [mm] \subset \IR^{n} [/mm] ist die Abbildung
f: [mm] \IR^{n} \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x) := d(x,M)
stetig. |
Hallo zusammen,
Hoffe, Ihr könnt mir hier weiterhelfen.
d(x,M) ist definiert als inf{|x-y| : y [mm] \in [/mm] M}.
Ich weiß nicht wirklich, wie ich das zeigen soll.
Mit der Definition für Stetigkeit komme ich nicht weiter...
Würde mich über eure Hilfe freuen.
Gruß Michael
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Do 06.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Do 06.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Michael,
> Zeigen Sie:
> Für festes M [mm]\subset \IR^{n}[/mm] ist die Abbildung
> f: [mm]\IR^{n} \to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] f(x) := d(x,M)
> stetig.
> Hallo zusammen,
>
> Hoffe, Ihr könnt mir hier weiterhelfen.
>
> d(x,M) ist definiert als inf[mm]\{|x-y| : y \in M\}[/mm] .
>
> Ich weiß nicht wirklich, wie ich das zeigen soll.
> Mit der Definition für Stetigkeit komme ich nicht
> weiter...
Du kannst es z.B. mit dem Folgenkriterium nachrechnen:
Sei $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] fest und sei [mm] $(x_m)$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR^n$ [/mm] mit [mm] $x_m \to [/mm] x$ ($m [mm] \to \infty$). [/mm] Für jedes $y [mm] \in [/mm] M$ und $m [mm] \in \IN$ [/mm] gilt dann zunächst
$$|x-y| [mm] \le |x-x_m|+|x_m-y|\,$$
[/mm]
also [mm] $\text{inf}\{|x-y|:\;y \in M\} \le |x-x_m|+|x_m-y|\,.$
[/mm]
Also gilt $d(x,M) [mm] \le |x-y|\,,$ [/mm] da die rechte Seite bei $m [mm] \to \infty$ [/mm] gegen $|x-y|$ strebt (Stetigkeit der eukidischen Norm).
Angenommen, es wäre $d(x,M)=:D < [mm] |x-y|\,.$ [/mm] Dann existiert eine Folge [mm] $(y_k)$ [/mm] in $Y$ mit [mm] $d(x,y_k) \to [/mm] D$ ($k [mm] \to \infty$)... [/mm] (Führe das mal zum Widerspruch!)
Gruß,
Marcel
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