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| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR->\IR [/mm] die Abbildung, die gegeben ist durch f(x)=3x³-2x²+4x-10 für alle x [mm] \in \IR. [/mm] Sei a [mm] \in \IR.
[/mm]
Zeige, dass [mm] \Delta [/mm] a/f(x)=3(x²+xa+a²)-2(x+a)+4. |
Tipp war: mit diesem Satz kann man sagen dass [mm] \Delta [/mm] a/f (x) stetig ist:
Seien f, g: [mm] A->\IR [/mm] Abbildungen, die beide an der Stelle a [mm] \in [/mm] A stetig sind.
(1) Für alle b,c [mm] \in \IR [/mm] ist die Abbildung bf+cg an der Stelle a stetig.
(2) Die Abbildung f g ist an der Stelle a stetig.
(3) Nehme an, dass [mm] f(x)\not=0 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] A. Dann ist die Abbildung 1/f an der Stelle a stetig.
Meine Frage ist jetzt, wie kann ich nur anhand dieses Satzes sagen, dass [mm] \Delta [/mm] a/f (x) stetig ist, wenn ich doch nicht weiß, ob f stetig ist oder nicht???
Irgendwie muss man den Satz mehrmals anwenden, aber mir ist nicht klar wie.
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> Sei f: [mm]\IR->\IR[/mm] die Abbildung, die gegeben ist durch
> f(x)=3x³-2x²+4x-10 für alle x [mm]\in \IR.[/mm] Sei a [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Zeige, dass [mm]\Delta[/mm] a/f(x)=3(x²+xa+a²)-2(x+a)+4.
Hallo,
hast Du die Aufgabenstellung irgendwie verstümmelt?
Da fehlt was, oder?
"Zeige, daß [mm]\Delta[/mm] a/f(x)=3(x²+xa+a²)-2(x+a)+4 stetig ist." So?
Irgendwie kapiere ich das alles nicht.
Was ist denn [mm] \Delta [/mm] a? Oder weiß "man" das, und bloß ich weiß es nicht? Nicht ausgeschlossen. Leider.
Oder heißt hier einfach aus Lust und Laune eine Funktion [mm] \Delta [/mm] a, und sie ist durch [mm] \Delta [/mm] a/f (x):= 3(x²+xa+a²)-2(x+a)+4 definiert?
Dann weiß ich nicht, was das f soll...
> Meine Frage ist jetzt, wie kann ich nur anhand dieses
> Satzes sagen, dass [mm]\Delta[/mm] a/f (x) stetig ist, wenn ich doch
> nicht weiß, ob f stetig ist oder nicht???
f ist stetig. f ist doch eine Komposition stetiger Funktionen.
Etwas ratloser
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Di 26.05.2009 | | Autor: | delicious |
Also mit [mm] \Delta [/mm] a/f meine ich [mm] \bruch{f(x)-f(a)}{x-a}.
[/mm]
Und meine Frage hat eigentlich nicht direkt was mit der Aufgabenstellung zu tun. Die ist schon so richtig geschrieben, man soll halt zeigen, dass so die Ableitung von f aussieht.
Aber vorher muss man ja sagen, dass [mm] \Delta [/mm] a/f (x) (also s.o.) stetig ist, damit man sagen kann, dass f differenzierbar und das kann man mit Hilfe des Satzes sagen, aber ich weiß nicht wie.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Di 26.05.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo delicious,
> Sei f: [mm]\IR->\IR[/mm] die Abbildung, die gegeben ist durch
> f(x)=3x³-2x²+4x-10 für alle x [mm]\in \IR.[/mm] Sei a [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Zeige, dass [mm]\Delta[/mm] a/f(x)=3(x²+xa+a²)-2(x+a)+4.
> Tipp war: mit diesem Satz kann man sagen dass [mm]\Delta[/mm] a/f
> (x) stetig ist:
> Seien f, g: [mm]A->\IR[/mm] Abbildungen, die beide an der Stelle a
> [mm]\in[/mm] A stetig sind.
> (1) Für alle b,c [mm]\in \IR[/mm] ist die Abbildung bf+cg an der
> Stelle a stetig.
> (2) Die Abbildung f g ist an der Stelle a stetig.
> (3) Nehme an, dass [mm]f(x)\not=0[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] A. Dann ist
> die Abbildung 1/f an der Stelle a stetig.
>
> Meine Frage ist jetzt, wie kann ich nur anhand dieses
> Satzes sagen, dass [mm]\Delta[/mm] a/f (x) stetig ist, wenn ich doch
> nicht weiß, ob f stetig ist oder nicht???
> Irgendwie muss man den Satz mehrmals anwenden, aber mir
> ist nicht klar wie.
Na, du "zerstückelst" die Funktion $f(x)$ in Terme, von denen du weißt, dass sie stetig auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] sind.
Z.B.: [mm] $f_1(x)=1$, $g_1(x)=x$ [/mm] sind stetig (Beweis oder Verweis auf Skript) [mm] $\stackrel{\text{Satz (1)}}{\Longrightarrow}$ $4*f_1(x)+(-10)*g_1(x)=4x-10$ [/mm] ist stetig
Nach dem Satz gilt die Stetigkeit zwar nur für einen Punkt [mm] $a\in\mathbb{R}$, [/mm] aber da die "Grundfunktionen" [mm] ($f_1, g_1$) [/mm] auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] stetig sind, kannst du den Satz an allen [mm] $a\in\mathbb{R}$ [/mm] anwenden...
So machst du jetzt weiter, bis du die Stetigkeit von [mm] $f(x)=3x^3-2x^2+4x-10$ [/mm] nachgewiesen hast. $f(a)$ ist konstant, also stetig. Noch mal den Satz...
Und so weiter, bis du schließlich gezeigt hast, dass der Quotient [mm] $\Delta f_a(x)$ [/mm] (ich denke mal, so soll die Schreibweise lauten) stetig ist. (Überall?)
Aber ich denke, die Begründung, dass [mm] $\Delta f_a(x)$ [/mm] aus Stetigen Funktionen zusammengesetzt ist reicht aus....
Lieben Gruß,
Fulla
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