Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Karl87 |
| Aufgabe | Die Funktion f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] sei definiert durch
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x*y^2}{x^2+y^4}, & x^2+y^2 > 0 \\ 0, & x^2+y^2=0 \end{cases}.
[/mm]
Untersuchen Sie f auf Stetigkeit! |
Meine Frage:
Um zu zeigen, dass die Funktion außerhalb des Nullpunktes stetig ist, reicht die Begründung, dass die Funktion als Komposition stetiger Funktionen für [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] stetig ist!?
Mir ist klar, dass ich den Fall (x,y)=(0,0) extra betrachten muss! Hierbei würde ich mit Nullfolgen [mm] (x_n,y_n) [/mm] arbeiten! Richtig!?
LG
Karl
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Hiho,
> Um zu zeigen, dass die Funktion außerhalb des Nullpunktes
> stetig ist, reicht die Begründung, dass die Funktion als
> Komposition stetiger Funktionen für [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] stetig
> ist!?
Korrekt.
>
> Mir ist klar, dass ich den Fall (x,y)=(0,0) extra
> betrachten muss! Hierbei würde ich mit Nullfolgen [mm](x_n,y_n)[/mm]
> arbeiten! Richtig!?
Korrekt. Da fällt einem doch glatt x = [mm] y^2 [/mm] ins Auge 
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Karl87 |
Hehe, okay schön!
Habe jetzt auch im Nullpunkt mit den Folgen [mm] x_n=\bruch{1}{n} [/mm] und [mm] y_n=\bruch{1}{n} [/mm] auf Stetigkeit geprüft! Mein Ergebniss ist die Stetigkeit der Funktion in (0,0)! Richtig!?
LG
Karl
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Hallo,
> Hehe, okay schön!
>
> Habe jetzt auch im Nullpunkt mit den Folgen
> [mm]x_n=\bruch{1}{n}[/mm] und [mm]y_n=\bruch{1}{n}[/mm] auf Stetigkeit
> geprüft! Mein Ergebniss ist die Stetigkeit der Funktion in
> (0,0)! Richtig!?
Hmm... nimm doch am bessten mal eine Nullfolge [mm] $x_n$ [/mm] und schau mal was passiert wenn du die Punkte [mm] $(x^2_n, x_n)$ [/mm] einsetzt.
Dann geht der Punkt [mm] $x^0=(x^2_n, x_n)$ [/mm] gegen "0", und was machst [mm] $f(x^0)$? [/mm]
> LG
> Karl
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Karl87 |
Ahhhh, alles klar!
Für [mm] (x_n^2,x_n) [/mm] geht [mm] f(x^0) [/mm] gegen 2 und somit ist die Funktion doch nicht im Nullpunkt stetig! Richtig!?
Aber woran erkenne ich denn, dass eine jeweilige Fkt. im Nullpunkt stetig ist und wann nicht!?
Wie in meinem Bsp oben, wäre die Fkt für (1/n,1/n) stetig!
Gibt es da ein Trick!?
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Hm,
sie geht dann gegen [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] aber sonst stimmt die Begründung
> Aber woran erkenne ich denn, dass eine jeweilige Fkt. im
> Nullpunkt stetig ist und wann nicht!?
>
> Wie in meinem Bsp oben, wäre die Fkt für (1/n,1/n) stetig!
> Gibt es da ein Trick!?
Korrekt, aber das wäre ja nur EINE Folge, und nicht alle 
Also ein Gegenbeispiele finden, erfordert Übung.
Irgendwann hat man den Dreh raus..... hilfreich sind bei solchen Aufgaben meist auch Polarkoordinaten.
Ein solches Beispiel findest du hier
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Karl87 |
Ja richtig, 1/2! :)
Danke.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wobei die Sache mit den Polarkoordinaten auch mit ein wenig trickreich ist, z.B. gerade die Funktion in diesem Beitrag:
$ f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x\cdot{}y^2}{x^2+y^4}, & x^2+y^2 > 0 \\ 0, & x^2+y^2=0 \end{cases} $
Diese Funktion mit Polarkoordinaten sieht so aus ( für den Fall (x,y) \not= (0,0):
$f(x,y) = \bruch{ r^3*cos\phi*sin^2\phi }{ r^4 (\bruch{cos^2\phi}{r^2} + sin^4\phi )}}$
Wenn $r$ jetzt gegen Null geht, muss man erst einmal sehen, warum da nicht immer die Funktion gegen Null gehen soll^^
lg Kai
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