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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Also, damit sich niemand wundert: ich beschäftige mich jetzt ein bisschen mit Ana I bzw. Ana II... Kann sein, dass da demnächst des öfteren auch mal Fragen von mir kommen. 
Also, ich hab' hier folgende Aufgabe:
Zeigen Sie mit der [mm] \varepsilon-\delta-Definition [/mm] der Stetigkeit, dass die Exponentialfunktion [mm] exp:\IR\to\IR^{+} [/mm] an jeder Stelle [mm] x\in \IR [/mm] stetig ist.
Irgendwie bin ich zu blöd dazu... ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Ich gehe doch jetzt davon aus, dass gilt:
[mm] |e^x-e^a|<\varepsilon
[/mm]
und muss daraus |x-a| so abschätzen, dass ich halt ein [mm] \delta [/mm] erhalte, oder? (und das [mm] \delta [/mm] hängt wohl von [mm] \varepsilon [/mm] ab oder kann zumindest davon abhängen, oder?)
So, aber wie forme ich denn [mm] |e^x-e^a| [/mm] überhaupt um?
Wär schön, wenn mir jemand nur den nächsten Schritt oder einen Tipp geben könnte - irgendwann muss ich das ja mal selber auf die Reihe bekommen...
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Bastiane, hallo Rest 
Tatsächlich hatte ich noch mehr Fehler, deshlab lösche ich jetzt den kläglichen Versuch. Ich hätte wenn auch eine Fallunterscheidung machen müssen, weil ich sonst nicht immer die Abschätzung hatte benutzen können.
Max
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Hallo Max,
[mm]\left|\frac{x-a}{1-(x-a)}\right|\le\frac{|x-a|}{1+|x-a|}[/mm]
Das stimmt i.A. nicht. Aber ich denke auch das dein Weg der richtige ist.
viele Grüße
von Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Christian!
> [mm]\left|\frac{x-a}{1-(x-a)}\right|\le\frac{|x-a|}{1+|x-a|}[/mm]
> Das stimmt i.A. nicht. Aber ich denke auch das dein Weg
> der richtige ist.
Dass das nicht stimmt, habe ich mittlerweile auch festgestellt. Aber wie kann man es denn dann trotzdem so beweisen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane,
Mit Max Rechentrick kommt noch das [mm] e^a [/mm] mit dazu das lass ich mal weg.
Gucken wir erstmal an was z.z. ist
[mm]|e^{x-a}-1|<\varepsilon[/mm]
Sei mal x-a>0
[mm]e^{x-a}-1<\varepsilon[/mm]
[mm]e^{x-a}<1+\varepsilon[/mm]
[mm]x-a
Damit
[mm]{\delta}_1=ln(1+\varepsilon)[/mm]
So und jetzt noch [mm] {\delta}_2 [/mm] für x-a<0 und dann das Minimum von beiden nehmen und mit [mm] e^a [/mm] zu einem für die richtige Funktion zusammenfassen.
Falls Du nicht weiterkommen solltest kannst ja mal nachfragen.
viele Grüße
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Max |
So billig - schade das es mir nicht eingefallen ist.
@Chrisitan: Ich hatte noch mehr Fehler. Ich kennzeichne mal als falsch,
Max
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Hallo Bastiane,
hab mir noch überlegt das man ja im Beweis die Monotonie der ln Funtkion benötigt.
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Ob du die noch zeigen mußt?
gruß
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo mathemaduenn!
> Max' Rechentrick war ja
> [mm]|e^x-e^{a}|<\varepsilon[/mm]
> [mm]|e^a||e^{x-a}-1|<\varepsilon[/mm]
> [mm]|e^{x-a}-1|<\bruch{\varepsilon}{|e^a|}[/mm]
> Jetzt kannst Du wie oben weitermachen.
Okay - das ist jetzt klar. Leider hatte Max ja seinen Artikel gelöscht, sodass ich es nicht mehr nachlesen konnte. Und auf meinen ganzen Schmierzetteln nach der Stelle zu suchen, an der ich das stehen hatte - das hätte zu lange gedauert...
> > > Sei mal x-a>0
> > > [mm]e^{x-a}-1<\varepsilon[/mm]
> > > [mm]e^{x-a}<1+\varepsilon[/mm]
> > > [mm]x-a
> > > Damit
> > > [mm]{\delta}_1=ln(1+\varepsilon)[/mm]
> > Okay - das verstehe ich so weit. Für x-a<0 sieht das
> bei
> > mir dann so aus:
> > [mm]|e^{x-a}-1|=1-e^{x-a}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> > [mm]\gdw 1-\varepsilon
> > [mm]\gdw x-a>\ln(1-\varepsilon)[/mm]
>
> >
> > Und ich bräuchte doch eine Abschätzung mit "<" oder? Oder
> Und was passiert wenn Du auf beiden Seiten Betragsstriche
> setzt
> Was Du im Übrigen auch zeigen mußt.
Leider verstehe ich irgendwie nicht, was du meinst!? Wieso sollte ich da noch Betragsstriche setzen? Ich nehme doch gerade die beiden Fälle x-a>0 und x-a<0, damit ich die Betragsstriche weglassen kann, oder nicht? Ist denn da jetzt ein Fehler in meinen Umformungen, oder wie bekomme ich die richtige Beziezung hin? Und was meinst du, müsste ich noch zeigen?
> > wieso soll ich jetzt das Minimum davon nehmen?
> Wenn [mm]|x-a|
> und [mm]|x-a|<\delta_2[/mm] ....also [mm]|f(x)-f(a)|<\varepsilon[/mm].
> Der Einfachheit halber kannst Du jetzt das Minimum nehmen
> kannst aber nat. auch argumentieren.
Ja, das dachte ich mir schon so. Aber wenn ich habe: [mm] \delta_1<... [/mm] und [mm] \delta_2>... [/mm] dann ist es doch Unsinn so etwas zu machen. Und da ich ja einmal < und einmal > heraushatte, wunderte mich das. ![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]")
Und das mit der Monotonie vom ln das lassen wir mal - ich werde die Aufgabe sowieso nicht abgeben, aber da ich von Ana ziemlich wenig Ahnung habe und doch irgendwann mal ne Prüfung drüber machen muss, dachte ich mir, höre ich mir die Vorlesung an, und wenn die Aufgaben nicht zu schwierig sind oder ich Zeit habe, dann wollte ich sie auch machen. Dass diese Aufgabe doch wesentlich aufwendiger ist, als ich dachte, hätte ich mir nicht vorstellen können.
Viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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Hallo Bastiane,
Definition der Stetigkeit in a
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 : |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon[/mm]
Am Anfang und am Ende von deiner Beweiskette müssen also Beträge in der Ungleichung stehen. Das ist's was zu zeigen ist. Um zwischendurch die Beträge weglassen zu können sollte man diese Fallunterscheidung machen.
Und wenn x-a<0 und [mm] ln(1-\varepsilon)<0 [/mm] bedeutet das setzen von Betragsstrichen eine Multiplikation mit -1 also Umkehr des > in <. Oder umgekehrt. So genau hab ich nicht hingeguckt aber klappt bestimmt. [mm] \mu [/mm] fast sicher
Hmm... Alles klar? Oder hab ich was vergessen?
gruß
Christian
Ps: Hab gerade gesehen Da gibt's dieselbe Frage nochmal. Mit vielen neuen interessanten Ideen.
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
