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Hallo zusammen
Ich muss folgende Übung lösen:
Ohne Beweis kann verwendet werden, das sich jede von Null verschiedene komplexe Zahl z eindeutig in der Form [mm] z=re^{ip}, [/mm] p [mm] \in [0,2\pi) [/mm] schreiben lässt.
Sei f: [mm] \IC [/mm] --> [mm] \IC
[/mm]
z [mm] \mapsto \begin{cases} |cos(p)|, & \mbox{falls } z=re^{ip} \not= 0 \mbox{} \\ 1, & \mbox{falls } z=0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
a) Ist f stetig in 0?
b) Ist die Einschränkung [mm] f|_{\IR} [/mm] von f auf [mm] \IR [/mm] stetig in 0?
Hat mir vielleicht jemand einige Tipps, wie ich diese Übung lösen könnte?
Vielen Dank bereits im voraus.
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ohne Beweis kann verwendet werden, das sich jede von Null
> verschiedene komplexe Zahl z eindeutig in der Form
> [mm]z=re^{ip},[/mm] p [mm]\in [0,2\pi)[/mm] schreiben lässt.
>
> Sei f: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC[/mm]
>
> z [mm]\mapsto \begin{cases} |cos(p)|, & \mbox{falls } z=re^{ip} \not= 0 \mbox{} \\ 1, & \mbox{falls } z=0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> a) Ist f stetig in 0?
> b) Ist die Einschränkung [mm]f|_{\IR}[/mm] von f auf [mm]\IR[/mm] stetig in
> 0?
>
> Hat mir vielleicht jemand einige Tipps, wie ich diese
> Übung lösen könnte?
Fuer a): es ist offenbar nicht stetig (ansonsten waer b) trivial). Also musst du eine Nullfolge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] finden mit [mm] $\lim_{n\to\infty} f(a_n) \neq [/mm] f(0) = 1$.
Waehle doch [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n} e^{i p}$ [/mm] fuer ein geschickt gewaehltes $p$; dann ist ja [mm] $f(a_n) [/mm] = [mm] |\cos(p)|$ [/mm] unabhaengig von $n$, womit du [mm] $\lim_{n\to\infty} f(a_n)$ [/mm] kennst.
Fuer b) hast du nur zwei Grenzwerte zu ueberpruefen: [mm] $\lim_{x \to 0+} [/mm] f(x)$ und [mm] $\lim_{x \to 0-} [/mm] f(x)$.
LG Felix
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