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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Mo 14.12.2009 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | In welchen Punkten sind die folgenden Funktionen f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] und g: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] stetig?
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 0} \\ x^2, & \mbox{für } x \mbox{ >0} \end{cases}
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 0} \\ 1/n, & \mbox{für } 1/n\le x\le1/(n-1) \qquad n \in \IN, n>1\\ 1, &\mbox{für} x\ge 1\end{cases} [/mm] |
Hallo,
bei f(x) habe ich mir gedacht, wenn der y Wert bei beiden gleich ist, kann ich sagen, dass die Funktion stetig ist
d.h.: [mm] 0=x^2 [/mm]
für x gleich 0
0=0 --->stetig? kann ich das so sagen oder muss ich das anders machen?
Lg Melisa
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Hallo melisa,
wie habt ihr denn Stetigkeit definiert?
Ihr habt bestimmt soentwas wie "Für jede Folge [mm] $(x_n)_n \in \IR$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] x$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] gilt [mm] $f(x_n) \to [/mm] f(x)$. Diese Formulierung ist nützlich Unstetigkeit zu zeigen.
Anschaulich stimmt das ja aber schon z.B. bei deiner ersten Funktion. Aber allein $0=0$ hinzuschreiben reicht da nicht um Stetigkeit zu zeigen.
Du könntest die [mm] $\epsilon [/mm] - [mm] \delta$-Definition [/mm] nehmen (die hattet ihr bestimmt), damit steht Stetigkeit quasi schon fast da.
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mo 14.12.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
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> Du könntest die [mm]\epsilon - \delta[/mm]-Definition nehmen (die
> hattet ihr bestimmt), damit steht Stetigkeit quasi schon
> fast da.
>
ja die hatten wir, aber ich habe die überhaupt nicht verstanden. Kann man das auch anders lösen??
Lg Melisa
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> Hallo,
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> >
> > Du könntest die [mm]\epsilon - \delta[/mm]-Definition nehmen (die
> > hattet ihr bestimmt), damit steht Stetigkeit quasi schon
> > fast da.
> >
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>
> ja die hatten wir, aber ich habe die überhaupt nicht
> verstanden. Kann man das auch anders lösen??
>
Diese Definition ist wahnsinnig wichtig. Die wird dir in deinem Studium noch das ein oder andere mal begegnen. Am bessten versuchst du dich da reinzudenken!
Ein einfacherer Weg fällt mir auf die schnelle auch nicht ein. Ich weiß ja nicht welche Sätze ihr alle schon bewiesen habt.
Die Funktion [mm] $x^2$ [/mm] ist stetig, ich denke das ist bekannt. Kritisch ist in diesem Fall also (ich rede von der ersten Funktion) die Stelle [mm] $x_0=0$
[/mm]
Eine Funktion heißt doch genau dann stetig in [mm] $x_0$, [/mm] wenn für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ existiert, sodass aus [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] folgt, dass [mm] $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$. [/mm] Anschaulich soll das heißen, dass kleine Änderungen der x-Werte auch nur zu kleinen Änderungen in den $y=f(x)$ führen.
Fangen wir mal an: Betr. $x>0$
[mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] = |f(x) - f(0)| = [mm] |x^2 [/mm] - 0| = [mm] |x^2| [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw |x-x_0|=|x-0|=|x|<\wurzel{\varepsilon}$
[/mm]
Damit haben wir unser [mm] $\delta=\wurzel{\varepsilon}$ [/mm] gefunden.
So könnte es gehen. Am bessten versuchst du zu verstehen, was ich gemacht habe, und wagst dich dann an die zweite Funktion. Notfalls kannst du ja auch nochmal nachfragen!
> Lg Melisa
lg Kai
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> In welchen Punkten sind die folgenden Funktionen f: [mm]\IR[/mm] ->
> [mm]\IR[/mm] und g: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] stetig?
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 0} \\ x^2, & \mbox{für } x \mbox{ >0} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 0} \\ 1/n, & \mbox{für } 1/n\le x\green{<}1/(n-1) \qquad n \in \IN, n>1\\ 1, &\mbox{für} x\ge 1\end{cases}[/mm]
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> Hallo,
>
> bei f(x) habe ich mir gedacht, wenn der y Wert bei beiden
> gleich ist, kann ich sagen, dass die Funktion stetig ist
>
> d.h.: [mm]0=x^2[/mm]
>
> für x gleich 0
>
> 0=0 --->stetig? kann ich das so sagen oder muss ich das
> anders machen?
>
Hallo,
das, was Du da schreibst, ist natürlich eine mittlere Katastrophe - aber die grobe Richtung stimmt.
Trag mal in Dein Profil ein, was Du studierst, dann weiß man besser, was Du wissen muß.
Es ist ein Unterschied, ob jemand fürs höhere Lehramt Mathe studiert, oder ob ein Biologie- oder Sonderpädagogikstudent den Pflichtschein macht.
Wenn man wie oben abschnittweise definierte Funktionen zu untersuchen hat, macht man das meist nur mit dem [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium, [/mm] wenn man von irgendjemandem dazu gezwungen wird, z.B. weil es explizit in der Aufgabenstellung steht.
Bei solchen Funktionen wie oben nutzt man aus, daß man einen Fundus von Funktionen hat, von denen man weiß, daß sie stetig sind, zusammen mit dem Satz, der sagt, daß Kompositionen stetiger Funktionen stetig sind. Mit diesem Wissen hat man die Stetigkeit der Funktionen über großen Teilbereichen (die jeweiligen Abschnitte ohne ihre eventuellen Enden) bereits gezeigt.
Zu untersuchen bleiben dann noch die Nahtstellen, an denen die Funktionsstücke "zusammengeklebt" werden und separat definierte Punkte.
Hier bedient man sich der folgenden Tatsache: f ist stetig in a <==> [mm] \lim_{x\to a}f(x)=f(a).
[/mm]
Hierzu sind die Grenzwerte von rechts und von links anzuschauen und festzustellen, ob sie gleich sind. Wenn sie nicht gleich sind, existiert [mm] \lim_{x\to a}f(x) [/mm] nicht, und die Funktion ist bei x=a nicht stetig.
Das, was ich Dir hier über den Grenzwert erzählt habe, hängt eng mit der Definition der Stetigkeit über Folgen zusammen, ggf. nacharbeiten genau wie das Thema "Grenzwerte von Funktionen".
Jetzt konkret zur ersten Funktion:
aus den erwähnten Gründen steht ihre Stetigkeit für [mm] x\in ]-\infty,0[ [/mm] und [mm] x\in ]0,\infty[ [/mm] außer Frage.
Zu untersuchen bleibt der Punkt x=0. Es ist ja f(x)=0, und wir untersuchen nun den GW von rechts und von links:
[mm] \lim_{x\to 0^{+}}f(x)= \lim_{x\to 0^{+}}x^2=0=f(0),
[/mm]
[mm] \lim_{x\to 0^{-}}f(x)= \lim_{x\to 0^{-}}0=0=f(0),
[/mm]
also ist die Funktion stetig im Punkt x=0, und insgesamt stetig über ganz [mm] \IR.
[/mm]
Überlege Dir nun, welche Abschnitte und welche "Ausnahme"punkte Du bei Deiner 2.Funktion zu untersuchen hast.
Du bei der Def. der Funktion hat sich übrigens ein Fehler eingeschlichen: wie sollte [mm] 1/n\le x\le1/(n-1) [/mm] denn richtig heißen?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 Mi 16.12.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
> Du bei der Def. der Funktion hat sich übrigens ein Fehler
> eingeschlichen: wie sollte [mm]1/n\le x\le1/(n-1)[/mm] denn
> richtig heißen?
>
auf meinem arbeitsblatt steht das so da also [mm] \bruch {1}{n}\le [/mm] x [mm] \le \bruch{1}{n-1}
[/mm]
muss ich jetzt den GW rechts und links für [mm] \lim_{x\to 0^{+}} [/mm] wegen [mm] x\le [/mm] 0
und $ [mm] \lim_{x\to 1} [/mm] wegen [mm] x\le [/mm] 1 untersuchen?
Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Mi 16.12.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo Zusammen,
> Du bei der Def. der Funktion hat sich übrigens ein Fehler
> eingeschlichen: wie sollte [mm]1/n\le x\le1/(n-1)[/mm] denn
> richtig heißen?
>
auf meinem arbeitsblatt steht das so da also [mm] \bruch {1}{n}\le [/mm] x [mm] \le \bruch{1}{n-1}
[/mm]
muss ich jetzt den GW rechts und links für [mm] \lim_{x\to 0^{+}} [/mm] wegen [mm] x\le [/mm] 0
und $ [mm] \lim_{x\to 1} [/mm] wegen [mm] x\le [/mm] 1 untersuchen?
Lg Melisa
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> Hallo Zusammen,
>
> > Du bei der Def. der Funktion hat sich übrigens ein Fehler
> > eingeschlichen: wie sollte [mm]1/n\le x\le1/(n-1)[/mm] denn
> > richtig heißen?
> >
>
> auf meinem arbeitsblatt steht das so da also [mm]\bruch {1}{n}\le[/mm]
> x [mm]\le \bruch{1}{n-1}[/mm]
Hallo,
dann mußt Du bei Deinen Chefs nochmal nachfragen, denn so weiß man ja nicht, was der Funktionswert von [mm] \bruch{1}{5} [/mm] sein soll: [mm] \bruch{1}{5} [/mm] oder [mm] \bruch{1}{6}?
[/mm]
Eins der beiden Zeichen muß "<" sein statt [mm] "\le".
[/mm]
>
> muss ich jetzt den GW rechts und links für [mm]\lim_{x\to 0^{+}}[/mm]
> wegen [mm]x\le[/mm] 0
>
> und $ [mm]\lim_{x\to 1}[/mm] wegen [mm]x\le[/mm] 1 untersuchen?
Unter anderem.
Aber hast Du Dir die Funktion mal skizziert, Dich also genauestens mit ihr beschäftigt?
Du wirst sehen, daß eine Vielzahl von Punkten zu untersuchen ist, nämlich alle Punkte [mm] x_n=\bruch{1}{n} [/mm] für [mm] n\in \IN.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Lg Melisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Mi 16.12.2009 | | Autor: | melisa1 |
ohw sry das zweite ist < hab mich da irgendwie doppelt vertan :S
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Mi 16.12.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
[mm] \lim_{x\to 0^+} [/mm] f(x)= [mm] \lim_{x\to 0^+} [/mm] 0=0=f(0)
[mm] \lim_{x\to 0^+}f(x)= \lim_{x\to 0^+}\bruch{1}{n}=\bruch{1}{n}=f(\bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] \lim_{x\to 0^+}f(x)= \lim_{x\to 0^+}1=1=f(1) [/mm] und somit nicht stetig
stimmt das bis hierhin also für 0 unstetig :S
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Mi 16.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dies ist ganz unverständlich: du hast immer den GW gegen 0^+ aber ganz verschiedene Stellen betrachtet.
Du musst bei 0, 1/n, 1 untersuchen und zwar jeweils den GW von links und von rechts.
wie ist das etwa für 1/2?
1.hast du die fkt mal stückweise aufgemalt?
2. Sei wirklich so nett und ergänze dein Profil, man hat so keine Ahnung, auf welchem Niveau man dir antworten soll. 11. Klasse Schule, 1. Semester Nebenfach, Hauptfach oder was sonst.
Gruss leduart
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