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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Do 14.01.2010 | | Autor: | Steirer |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit im Nullpunkt.
Es sei stets f(0,0) und für (x,y) [mm] \not=(0,0) [/mm]
a) f(x,y)= [mm] \bruch{3x^2+2y^2}{x^2+y^2}
[/mm]
b)f(x,y)= [mm] \bruch{x^3*y^2}{(x^2+y^2)^\bruch{5}{2}}
[/mm]
c)f(x,y)= [mm] \bruch{x^4+y^4}{(x^2+y^2)^\bruch{3}{2}} [/mm]
d)f(x,y)= [mm] \bruch{x^2*y}{x^2+y^2}
[/mm]
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a) und b) hab ich folgendermaßen gelöst:
Das einzige problem ist das ich hie nicht auf stetigkeit untersuche sondern auf unstetigkeit.
ich ersetze x=t, y=t
für a: f(x,y)= [mm] \bruch{3t^2+2t^2}{t^2+t^2}
[/mm]
und berechne mir ob es eine funktion gibt deren Grenzwert [mm] \not=0 [/mm] ergibt.
[mm] \limes_{t\rightarrow0} \bruch{3t^2+2t^2}{t^2+t^2}= \bruch{5t^2}{2t^2}= \bruch{5}{2}\not=0
[/mm]
daraus folgt es gibt eine Richtung in der der Grenzwert [mm] \not=0 [/mm] ist wenn x,y [mm] \to [/mm] 0 gehen. d.h. die Funktion ist nicht stetig.
b) funktioniert analog.
bei c) und d) weis ich aber nicht weiter da egal was ich einsetze immer 0 rauszukommen scheint. Ich kann es aber nicht beweisen das es nicht doch eine richtung gibt für die das nicht stimmt. Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich vermute mit dem [mm] \delta [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] Kriterium wäre das zu lösen aber da hab ich so meine Probleme damit.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:54 Fr 15.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu d)
Versuche mal zu zeigen, dass
$|f(x,y)| = [mm] \bruch{x^2|y|}{x^2+y^2}\le [/mm] |y|$
ist
FRED
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