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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 So 14.03.2010 | | Autor: | Hermi655 |
| Aufgabe | | Gesucht ist ein Beispiel für eine reelle Funktion, die an den Stellen 1 und -1 stetig, und sonst überall unstetig ist. |
Hallo an alle,
ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und die oben
angeführte Aufgabe bereitet mir ein wenig Kopfzerbrechen. Ich hoffe mir kann jemand behilflich sein. Ich kann mir schwer vorstellen wie eine Funktion nur in diesen beiden Stellen stetig sein kann. Dafür müsste sie ja eigentlich wild hin und her springen. Aber wie schafft man das dann, dass sie dennoch in den beiden Stellen stetig ist und auch wirklich nur in den beiden?
Erst habe ich überlegt die Funktion einfach nur in den beiden Stellen zu definieren, aber ich glaube das widerspricht der Aufgabenstellung :) Dann habe ich überlegt irgendetwas mit den rationalen und den
irrationalen Zahlen zu machen. Aber ich komm da nicht wirklich weiter.
Wäre toll wenn mir jemand weiter helfen könnte.
Vielen, vielen Dank schon einmal im Voraus :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Erst habe ich überlegt die Funktion einfach nur in den beiden Stellen zu definieren, aber ich glaube das widerspricht der Aufgabenstellung :)
Gute Idee, aber ein Schritt hast du übersprungen:
Dann habe ich überlegt irgendetwas mit den rationalen und den
irrationalen Zahlen zu machen.
Genau! Damit fangen wir an. Vielleicht habt ihr in der Vorlesung schon eine überall unstetige Funktion kennen gelernt. Falls nicht wirst du schnell auf die Dirichlet-Funktion stoßen. Sie ist definiert als
$$D: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\ [/mm] ,\ f(x) := [mm] \left\{\begin{array}{ll}1\ ,&x \in \mathbb{Q}\ ,\\0\ ,&x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\ ,\end{array}\right.$$
[/mm]
Sie ist an jeder Stelle unstetig.
Nun musst du noch mit deiner ersten Idee, die speziellen Stellen geeignet anpassen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 So 14.03.2010 | | Autor: | Hermi655 |
| Aufgabe | | Gesucht ist ein Beispiel für eine reelle Funktion, die an den Stellen 1 und -1 stetig und sonst überall unstetig ist. |
Super vielen Dank, du hast mir schon sehr geholfen.
Wäre es dann ausreichend, wenn ich dann zusätzlich sagen würde für x=1 und x=-1 gilt 0?
Dadurch entstehen doch in der Umgebung von 1 und -1 keine neuen Stetigkeitsstellen oder?
Viele Grüße!
Ich habe diese Frage in noch keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 So 14.03.2010 | | Autor: | pelzig |
> Super vielen Dank, du hast mir schon sehr geholfen.
> Wäre es dann ausreichend, wenn ich dann zusätzlich sagen
> würde für x=1 und x=-1 gilt 0?
> Dadurch entstehen doch in der Umgebung von 1 und -1 keine
> neuen Stetigkeitsstellen oder?
Hä? Du musst schon eine konkrete Funktion hinschreiben, nicht son Wischi-Waschi. Der Tip mit der Dirichlet Funktion soll dir nur verdeutlichen wie man eine Funktion konstruieren kann, die ziemlich unstetig ist. Damit ist man aber noch nicht fertig...
Gruß, Robert
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