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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:05 Di 16.03.2010 | | Autor: | kuba |
Hallo,
ich soll folgende Funktion auf Stetigkeit, Diefferenzierbarkeit bzw. stetig Differenzierbarkeit untersuchen.
a>=0 [mm] f_a: [/mm] R->R
[mm] f(x)_a=\begin{cases} x^a*sin(1/x), & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } sonst \end{cases}
[/mm]
ich habe folgenden Ansatz gewählt:
1.Fall a=0
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+}x^a*sin(1/x)=1*\infty
[/mm]
unbestimmter Grenzwert also nicht stetig in 0. ungleich f(0)=0
2.Fall a>0
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+}x^a*sin(1/x)=0*\infty
[/mm]
auch wiederum unbestimmt also kein Grenzwert und nicht stetig. ungleich f(0)=0
Stimmt mein Ansatz bis hier hin?
Gruss Kuba
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> Hallo,
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> ich soll folgende Funktion auf Stetigkeit,
> Diefferenzierbarkeit bzw. stetig Differenzierbarkeit
> untersuchen.
>
> a>=0 [mm]f_a:[/mm] R->R
>
> [mm]f(x)_a=\begin{cases} x^a*sin(1/x), & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } sonst \end{cases}[/mm]
>
> ich habe folgenden Ansatz gewählt:
>
> 1.Fall a=0
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+}x^a*sin(1/x)=1*\infty[/mm]
>
> unbestimmter Grenzwert also nicht stetig in 0. ungleich
> f(0)=0
>
> 2.Fall a>0
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+}x^a*sin(1/x)=0*\infty[/mm]
>
> auch wiederum unbestimmt also kein Grenzwert und nicht
> stetig. ungleich f(0)=0
>
> Stimmt mein Ansatz bis hier hin?
>
> Gruss Kuba
Halo,
die Fallunterscheidung ist nicht so übel, aber [mm] \lim_{x\to 0}sin(1/x)=\infty [/mm] ist verkehrt.
Und selbst, wenn es richtig wäre: der Schluß
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+}x^a*sin(1/x)=0*\infty[/mm]
>
> auch wiederum unbestimmt also kein Grenzwert
wäre trotzdem ohne weitere Untersuchung falsch. Bei [mm] 0*\infty [/mm] kann prinzipiell alles mögliche rauskommen - und man muß herausfinden, was.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Di 16.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich soll folgende Funktion auf Stetigkeit,
> Diefferenzierbarkeit bzw. stetig Differenzierbarkeit
> untersuchen.
>
> a>=0 [mm]f_a:[/mm] R->R
>
> [mm]f(x)_a=\begin{cases} x^a*sin(1/x), & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } sonst \end{cases}[/mm]
>
> ich habe folgenden Ansatz gewählt:
>
> 1.Fall a=0
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+}x^a*sin(1/x)=1*\infty[/mm]
>
> unbestimmter Grenzwert also nicht stetig in 0. ungleich
> f(0)=0
Tipp: betrachte die Nullfolge [mm] (x_n) [/mm] = [mm] (\bruch{2}{n* \pi}) [/mm] und die Bildfolge [mm] (f(x_n))
[/mm]
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> 2.Fall a>0
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+}x^a*sin(1/x)=0*\infty[/mm]
>
> auch wiederum unbestimmt also kein Grenzwert und nicht
> stetig. ungleich f(0)=0
Tipp: Es ist [mm] $|f(x)|\le |x|^a$
[/mm]
FRED
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> Stimmt mein Ansatz bis hier hin?
>
> Gruss Kuba
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